對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)1

1、對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)（1） 一、 教材分析本小節(jié)選自普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書-數(shù)學(xué)必修（一）（人教版）第二章基本初等函數(shù)（1）對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)（第一課時），主要內(nèi)容是學(xué)習(xí)對數(shù)函數(shù)的定義、圖象、性質(zhì)及初步應(yīng)用。對數(shù)函數(shù)是繼指數(shù)函數(shù)之后的又一個重要初等函數(shù)，無論從知識或思想方法的角度對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)都有許多類似之處。與指數(shù)函數(shù)相比，對數(shù)函數(shù)所涉及的知識更豐富、方法更靈活，能力要求也更高。學(xué)習(xí)對數(shù)函數(shù)是對指數(shù)函數(shù)知識和方法的鞏固、深化和提高，也為解決函數(shù)綜合問題及其在實際上的應(yīng)用奠定良好的基礎(chǔ)。雖然這個內(nèi)容十分熟悉，但新教材做了一定的改動，如何設(shè)計能夠符合新課標(biāo)理念，是人們十分關(guān)注的，正因如此，本人

2、選擇這課題立求某些方面有所突破。二、 學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析剛從初中升入高一的學(xué)生，仍保留著初中生許多學(xué)習(xí)特點，能力發(fā)展正處于形象思維向抽象思維轉(zhuǎn)折階段，但更注重形象思維。由于函數(shù)概念十分抽象，又以對數(shù)運算為基礎(chǔ)，同時，初中函數(shù)教學(xué)要求降低，初中生運算能力有所下降，這雙重問題增加了對數(shù)函數(shù)教學(xué)的難度。教師必須認(rèn)識到這一點，教學(xué)中要控制要求 的拔高，關(guān)注學(xué)習(xí)過程。三、設(shè)計理念本節(jié)課以建構(gòu)主義基本理論為指導(dǎo)，以新課標(biāo)基本理念為依據(jù)進行設(shè)計的，針對學(xué)生的學(xué)習(xí)背景，對數(shù)函數(shù)的教學(xué)首先要挖掘其知識背景貼近學(xué)生實際，其次，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，把學(xué)習(xí)的主動權(quán)交給學(xué)生，為他們提供自主探究、合作交流的機會，確實改變學(xué)

3、生的學(xué)習(xí)方式。四、教學(xué)目標(biāo)1通過具體實例，直觀了解對數(shù)函數(shù)模型所刻畫的數(shù)量關(guān)系，初步理解對數(shù)函數(shù)的概念，體會對數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型；2能借助計算器或計算機畫出具體對數(shù)函數(shù)的圖象，探索并了解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點；3通過比較、對照的方法，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合圖象類比指數(shù)函數(shù)，探索研究對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生運用函數(shù)的觀點解決實際問題。五、教學(xué)重點與難點重點是掌握對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難點是底數(shù)對對數(shù)函數(shù)值變化的影響六、教學(xué)過程設(shè)計 教學(xué)流程：背景材料 引出課題 函數(shù)圖象 函數(shù)性質(zhì) 問題解決歸納小結(jié)（一）熟悉背景、引入課題1讓學(xué)生看材料：材料1（幻燈）：馬王堆女尸千年不腐之謎：一九七二年，馬王堆考

4、古發(fā)現(xiàn)震驚世界，專家發(fā)掘西漢辛追遺尸時，形體完整，全身潤澤，皮膚仍有彈性，關(guān)節(jié)還可以活動，骨質(zhì)比現(xiàn)在六十歲的正常人還好，是世界上發(fā)現(xiàn)的首例歷史悠久的濕尸。大家知道，世界發(fā)現(xiàn)的不腐之尸都是在干燥的環(huán)境風(fēng)干而成，譬如沙漠環(huán)境，這類干尸雖然肌膚未腐，是因為干燥不利細(xì)菌繁殖，但關(guān)節(jié)和一般人死后一樣，是僵硬的，而馬王堆辛追夫人卻是在濕潤的環(huán)境中保存二千多年，而且關(guān)節(jié)可以活動。人們最關(guān)注有兩個問題，第一：怎么鑒定尸體的年份？第二：是什么環(huán)境使尸體未腐？其中第一個問題與數(shù)學(xué)有關(guān)。圖 41（如圖 41在長沙馬王堆“沉睡”近2200年的古長沙國丞相夫人辛追，日前奇跡般地“復(fù)活”了）那么，考古學(xué)家是怎么計算出古長

5、沙國丞相夫人辛追“沉睡”近2200年？上面已經(jīng)知道考古學(xué)家是通過提取尸體的殘留物碳14的殘留量p，利用估算尸體出土的年代，不難發(fā)現(xiàn)：對每一個碳14的含量的取值，通過這個對應(yīng)關(guān)系，生物死亡年數(shù)t都有唯一的值與之對應(yīng)，從而t是P的函數(shù)；如圖42材料2（幻燈）：某種細(xì)胞分裂時，由1個分裂成2個，2個分裂成4個 ，如果要求這種細(xì)胞經(jīng)過多少次分裂，大約可以得到細(xì)胞1萬個，10萬個 ，不難發(fā)現(xiàn)：分裂次數(shù)y就是要得到的細(xì)胞個數(shù)x的函數(shù),即；圖 421.引導(dǎo)學(xué)生觀察這些函數(shù)的特征：含有對數(shù)符號，底數(shù)是常數(shù)，真數(shù)是變量，從而得出對數(shù)函數(shù)的定義：函數(shù)，且叫做對數(shù)函數(shù)，其中是自變量，函數(shù)的定義域是（0，+）注意：

6、對數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類似，都是形式定義，注意辨別如： ， 都不是對數(shù)函數(shù) 對數(shù)函數(shù)對底數(shù)的限制：，且3根據(jù)對數(shù)函數(shù)定義填空；例1 （1）函數(shù) y=logax2的定義域是_ (其中a>0,a1) (2) 函數(shù)y=loga(4-x) 的定義域是_ (其中a>0,a1) 說明：本例主要考察對數(shù)函數(shù)定義中底數(shù)和定義域的限制，加深對概念的理解，所以把教材中的解答題改為填空題，節(jié)省時間，點到為止，以避免挖深、拓展、引入復(fù)合函數(shù)的概念。 設(shè)計意圖：新課標(biāo)強調(diào)“考慮到多數(shù)高中生的認(rèn)知特點，為了有助于他們對函數(shù)概念本質(zhì)的理解，不妨從學(xué)生自己的生活經(jīng)歷和實際問題入手”。因此，新課引入不是按舊教材從

7、反函數(shù)出發(fā)，而是選擇從兩個材料引出對數(shù)函數(shù)的概念，讓學(xué)生熟悉它的知識背景，初步感受對數(shù)函數(shù)是刻畫現(xiàn)實世界的又一重要數(shù)學(xué)模型。這樣處理，對數(shù)函數(shù)顯得不抽象，學(xué)生容易接受，降低了新課教學(xué)的起點（二）嘗試畫圖、形成感知 1確定探究問題教師：當(dāng)我們知道對數(shù)函數(shù)的定義之后，緊接著需要探討什么問題？學(xué)生1：對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)教師：你能類比前面研究指數(shù)函數(shù)的思路，提出研究對數(shù)函數(shù)圖象和性質(zhì)的方法嗎？學(xué)生2：先畫圖象，再根據(jù)圖象得出性質(zhì)教師：畫對數(shù)函數(shù)的圖象是否象指數(shù)函數(shù)那樣也需要分類？學(xué)生3：按和分類討論教師：觀察圖象主要看哪幾個特征？學(xué)生4：從圖象的形狀、位置、升降、定點等角度去識圖教師：在明確了探究方

8、向后，下面，按以下步驟共同探究對數(shù)函數(shù)的圖象：步驟一：（1）用描點法在同一坐標(biāo)系中畫出下列對數(shù)函數(shù)的圖象 （2）用描點法在同一坐標(biāo)系中畫出下列對數(shù)函數(shù)的圖象 步驟二：觀察對數(shù)函數(shù)、與、的圖象特征 ，看看它們有那些異同點。步驟三：利用計算器或計算機，選取底數(shù)，且的若干個不同的值，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出相應(yīng)對數(shù)函數(shù)的圖象。觀察圖象，它們有哪些共同特征？步驟四：規(guī)納出能體現(xiàn)對數(shù)函數(shù)的代表性圖象 步驟五：作指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)圖象的比較2學(xué)生探究成果（1）如圖 43、44較為熟練地用描點法畫出下列對數(shù)函數(shù) 、 、的圖象圖43圖44（2）如圖45學(xué)生選取底數(shù)=1/4、1/5、1/6、1/10、4、5、

9、6、10，并推薦幾位代表上臺演示幾何畫板，得到相應(yīng)對數(shù)函數(shù)的圖象。由于學(xué)生自己動手，加上幾何畫板的強大作圖功能，學(xué)生非常清楚地看到了底數(shù)是如何影響函數(shù)，且圖象的變化。圖45（3）有了這種畫圖感知的過程以及學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)的經(jīng)驗，學(xué)生很明確y = loga x （a>1）、y = loga x (0<a<1) 的圖象代表對數(shù)函數(shù)的兩種情形。（圖46）圖46y = loga x （a>1） y = loga x (0<a<1)（4）學(xué)生相互補充，自主發(fā)現(xiàn)了圖象的下列特征：圖象都在y軸右側(cè)，向y軸正負(fù)方向無限延伸；都過（1、0）點；當(dāng)a>1時，圖象沿x軸正向逐步

10、上升；當(dāng)0<a<1時，圖象沿x軸正向逐步下降；圖象關(guān)于原點和y軸不對稱，并且能從圖象的形狀、位置、升降、定點等角度指出指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象區(qū)別；如圖47圖473拓展探究：（1）對數(shù)函數(shù) 與 、 與 的圖象有怎樣的對稱關(guān)系？（2）對數(shù)函數(shù)y = loga x （a>1），當(dāng)a值增大，圖象的上升“程度”怎樣？說明：這是學(xué)生探究中容易忽略的地方，通過補充學(xué)生對對數(shù)函數(shù)圖象感性認(rèn)識就比較全面。設(shè)計意圖：舊教材是通過對稱變換直接從指數(shù)函數(shù)的圖象得到對數(shù)函數(shù)圖象，這樣處理學(xué)生雖然會接受了這個事實，但對圖象的感覺是膚淺的；這樣處理也存在著函數(shù)教學(xué)忽視圖象、性質(zhì)的認(rèn)知過程而注重應(yīng)用的“功

11、利”思想。因此，本節(jié)課的設(shè)計注重引導(dǎo)學(xué)生用特殊到一般的方法探究對數(shù)函數(shù)圖象的形成過程，加深感性認(rèn)識。同時，幫助學(xué)生確定探究問題、探究方向和探究步驟，確保探究的有效性。這個環(huán)節(jié)，還要借助計算機輔助教學(xué)作用，增強學(xué)生的直觀感受（三）理性認(rèn)識、發(fā)現(xiàn)性質(zhì)1確定探究問題 教師：當(dāng)我們對對數(shù)函數(shù)的圖象有了直觀認(rèn)識后，就可以進一步研究對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，提高我們對對數(shù)函數(shù)的理性認(rèn)識。同學(xué)們，通常研究函數(shù)的性質(zhì)有哪些途徑？學(xué)生：主要研究函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、對稱性、過定點等性質(zhì)。教師：現(xiàn)在，請同學(xué)們依照研究函數(shù)性質(zhì)的途徑，再次聯(lián)手合作，根據(jù)圖象特征探究出對數(shù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、對稱性、過定點等性質(zhì)2

12、學(xué)生探究成果 在學(xué)生自主探究、合作交流的的基礎(chǔ)上填寫如下表格：函 數(shù)y = loga x （a>1）y = loga x (0<a<1)圖 像定義域R+R+值 域RR單調(diào)性在（0，+ ）上是增函數(shù)在（0，+ ）上是減函數(shù)過定點（1，0）即x=1，y=0（1，0）即x=1，y=0取值范圍0<x<1時，y<0 x>1時，y>00<x<1時，y>0 x>1時，y<0設(shè)計意圖：發(fā)現(xiàn)性質(zhì)、弄清性質(zhì)的來龍去脈，是為了更好揭示對數(shù)函數(shù)的本質(zhì)屬性，傳統(tǒng)教學(xué)往往讓學(xué)生在解題中領(lǐng)悟。為了扭轉(zhuǎn)這種方式，我先引導(dǎo)學(xué)生回顧指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，再利

13、用類比的思想，小組合作的形式通過圖象主動探索出對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。教學(xué)實踐表明：當(dāng)學(xué)生對對數(shù)函數(shù)的圖象已有感性認(rèn)識后，得到這些性質(zhì)必然水到渠成（四）探究問題、變式訓(xùn)練 問題一：（幻燈）（教材p79 例8） 比較下列各組數(shù)中兩個值的大?。?1) log 23.4 , log 2 （2）log , log （3）log a5.1 , log a5.9 ( a0 , 且a1 ) 獨立思考：1。構(gòu)造怎樣的對數(shù)函數(shù)模型？2。運用怎樣的函數(shù)性質(zhì)？小組交流：（1）是增函數(shù) （2） 是減函數(shù) （3）y = loga x，分 和分類討論變式訓(xùn)練：1. 比較下列各題中兩個值的大小: log106 log108 log

14、6 log4 log log0.6 log0.6 log2已知下列不等式，比較正數(shù)m，n 的大?。?(1) log 3 m < log 3 n (2) log m > log n (3) log a m < loga n (0<a<1) (4) log a m > log a n (a>1)問題二：（幻燈）（教材p79 例9）溶液酸堿度的測量。 溶液酸堿度是通過pH刻畫的。pH的計算公式為pH= lg ，其中 表示溶液中氫離子的濃度，單位是摩爾/升。（1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)性質(zhì)及上述pH的計算公式，說明溶液酸堿度與溶液中氫離子的濃度之間的變化關(guān)系；（2）已知

15、純靜水中氫離子的濃度為 = - 摩爾/升，計算純靜水的pH獨立思考：解決這個問題是選擇怎樣的對數(shù)函數(shù)模型？運用什么函數(shù)性質(zhì)？小組交流：pH=-lg =lg =lg1/ , 隨著 的增大，pH 減小，即溶液中氫離子濃度越大，溶液的酸堿度就越大設(shè)計意圖：1。這個環(huán)節(jié)不做為本節(jié)課的重頭戲，設(shè)置探究問題只是從另一層面上提升學(xué)生對性質(zhì)的理解和應(yīng)用。問題一是比較大小，始終要緊扣對數(shù)函數(shù)模型，滲透函數(shù)的觀點（數(shù)形結(jié)合）解決問題的思想方法；2。舊教材在圖象與性質(zhì)之后，通常操練類似比較大小等技巧性過大的問題，而新教材引出問題二，還是強調(diào)“數(shù)學(xué)建模”的思想，并且關(guān)注學(xué)科間的聯(lián)系，這種精神應(yīng)予領(lǐng)會。當(dāng)然要預(yù)計到，實

16、際教學(xué)中學(xué)生理解這道應(yīng)用題題意會遇到一些困難，教師要注意引導(dǎo)（五）歸納小結(jié)、鞏固新知1議一議：（1）怎樣的函數(shù)稱為對數(shù)函數(shù)？（2）對數(shù)函數(shù)的圖象形狀與底數(shù)有什么樣的關(guān)系？（3）對數(shù)函數(shù)有怎樣的性質(zhì)？2看一看：對數(shù)函數(shù)的圖象特征和相關(guān)性質(zhì)對數(shù)函數(shù)的圖象特征對數(shù)函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)函數(shù)圖象都在y軸右側(cè)函數(shù)的定義域為（0，）圖象關(guān)于原點和y軸不對稱非奇非偶函數(shù)向y軸正負(fù)方向無限延伸函數(shù)的值域為R函數(shù)圖象都過定點（1，0）自左向右看，圖象逐漸上升自左向右看，圖象逐漸下降增函數(shù)減函數(shù)第一象限的圖象縱坐標(biāo)都大于0第一象限的圖象縱坐標(biāo)都大于0第二象限的圖象縱坐標(biāo)都小于0第二象限的圖象縱坐標(biāo)都小于0（六）作業(yè)布置、

17、課后自評1 必做題：教材P82習(xí)題22（A組） 第7、8、9、12題2 選做題：教材P83習(xí)題22（B組） 第2題3七、教學(xué)反思從教二十多年，每每設(shè)計函數(shù)的教學(xué)，始終存有困惑的感慨，同時也有遇舊如新的喜悅。函數(shù)始終是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的主線，對數(shù)函數(shù)始終是高中數(shù)學(xué)的難點。高中新課改的春風(fēng)，帶來了函數(shù)教學(xué)設(shè)計上的創(chuàng)新，促使我們在學(xué)生學(xué)習(xí)方法上、教學(xué)內(nèi)容的組織上、教學(xué)輔助手段上率先嘗試，但這只是一個起點，目前教學(xué)條件還受到制約，如圖形計算器未能普及、課時緊容量大，都影響函數(shù)的正常教學(xué)，通過這次活動希望能引起大家的廣泛關(guān)注并深入探討！【參考文獻(xiàn)】1。普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，人教社，2003 寧德市霞浦縣第六中學(xué) 郭星波點評：本文教學(xué)目標(biāo)的設(shè)計定位準(zhǔn)確，教學(xué)重點、難點明確。從兩個實際問題引出對數(shù)函數(shù)的概念，讓學(xué)生了解知識產(chǎn)生的背景，初步感受對數(shù)函數(shù)是刻畫現(xiàn)實世界的一個重要數(shù)學(xué)模型。教學(xué)設(shè)計注重引導(dǎo)學(xué)生用特殊到一般的方法探究對數(shù)函數(shù)圖象的形成過程，加深感性認(rèn)識。同時，幫助學(xué)生確定探究問題、探究方向和探究步驟，確保探究的有效性。同時借助計算機輔助教學(xué)，增強學(xué)生的直觀感受。教給學(xué)生方法比教給學(xué)生知識更重要。本設(shè)計能在前一節(jié)剛學(xué)過