怎樣畫(huà)帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡(裴際和)[1]

1、1怎樣畫(huà)帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡江西 省 吉 安縣 第 二 中學(xué) 裴際和不考慮帶電粒子的重力,在有界磁場(chǎng)中,帶電粒子垂直磁場(chǎng)方向進(jìn)入磁場(chǎng)。 若不能做完整的圓周運(yùn)動(dòng), 不管題中所求的是什么物理量, 都必須畫(huà)軌跡、 定圓 心、尋半徑、找圓心角、求運(yùn)動(dòng)時(shí)間幾個(gè)環(huán)節(jié)。然而最關(guān)鍵的一步是畫(huà)軌跡,畫(huà) 不出帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡,一切都是徒勞。如何畫(huà)軌跡?一、根據(jù)曲線運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)畫(huà)軌跡先確定帶電粒子所受的洛侖茲力 f 洛 方向,根據(jù)曲線運(yùn)動(dòng)是朝受力方向彎曲 的特點(diǎn)畫(huà)出軌跡。二、根據(jù)帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)規(guī)律畫(huà)軌跡規(guī)律 1:帶電粒子以與邊界成 角射入磁場(chǎng),從同一邊界出射時(shí),速度方向 與邊界仍成 角。如圖 1所示

2、。 規(guī)律 2:帶電粒子沿半徑方向射入圓形區(qū)域的磁場(chǎng),從磁場(chǎng)中出射時(shí)仍沿半 徑方向。如圖 2所示。例 1:電視機(jī)的顯像管中,電子束的偏轉(zhuǎn)是 用磁偏轉(zhuǎn)技術(shù)實(shí)現(xiàn)的。電子束經(jīng)過(guò)電壓為 U 的 加速電場(chǎng)后,進(jìn)入一圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū),如圖 3甲 所示,磁場(chǎng)方向垂直于圓面,磁場(chǎng)區(qū)的中心為 O ,半徑為 r ,當(dāng)不加磁場(chǎng)時(shí),電子束將通過(guò) O 點(diǎn)而打到屏幕的中心 M 點(diǎn),為了讓電子束射到屏幕邊緣 P ,需要加磁場(chǎng),使電子束偏轉(zhuǎn)一已知角度 ,此時(shí)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度 B 應(yīng)為多少?解析:由規(guī)律 2,畫(huà)出電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡,如圖 3乙,圓心為 C ,半徑 為 R 。以 表示電子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度, m 、 e 分別表示電子

3、的質(zhì)量和電量,則221m eU = Rm B e 2=又有 Rr =2tan× × × × × 圖 3乙2由以上各式解得 2tan21emU rB =規(guī)律 3:帶電粒子速度的偏轉(zhuǎn)角等于其圓弧所對(duì)的圓心角。 例 2:一質(zhì)量為 m ,帶電量為 q 的粒子以速度 0從 O 點(diǎn)沿 y 軸正方向射入磁感應(yīng)強(qiáng)度為 B 的一圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū) 域,磁場(chǎng)方向垂直于紙面,粒子飛出磁場(chǎng)區(qū)后,從 b 處穿 過(guò) x 軸,速度方向與 x 軸正向夾角為 30°,如圖 4甲所示 (粒子重力忽略不計(jì) ,試求圓形磁場(chǎng)區(qū)的最小面積。解析:將 x 軸 b 點(diǎn)處的 0方向反向延

4、長(zhǎng), 交 y 軸于 C 點(diǎn), 速度偏轉(zhuǎn)角為 bcy , 由速度方向與圓弧相切和規(guī)律 3,畫(huà)出軌跡,如圖 4 帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng) qBm R =由圖可知, ='60b O a ,磁場(chǎng)區(qū)域最小半徑qBm R r 2330cos 0=最小磁場(chǎng)面積 22202243Bq m r S =三、根據(jù)帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的臨界條件畫(huà)軌跡。 帶電粒子剛好從某邊界穿出磁場(chǎng)的臨界條件, 其運(yùn)動(dòng)軌跡與該邊界相切。 帶電粒子不從某邊界穿出磁場(chǎng)的臨界條件,其運(yùn)動(dòng)軌跡與該邊界相切。 例 3:一足夠長(zhǎng)的矩形區(qū)域 abcd 內(nèi)充滿磁感應(yīng)強(qiáng)度 為 B ,方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng),矩形區(qū)域的左邊界ad 長(zhǎng)

5、為 L ,現(xiàn)從 ad 中點(diǎn) O 垂直于磁場(chǎng)射入一速度方向與 ad 邊夾角為 30°,大小為 0的帶正電粒子,如圖 5甲所示, 已知粒子電荷量為 q ,質(zhì)量為 m (重力不計(jì) ,若要求粒子 能從 ab 邊射出磁場(chǎng), 0應(yīng)滿足什么條件?解析:要使粒子從 ab 邊射出,就不能從 dc 邊射出,所以軌跡圓與 cd 邊相 切,此時(shí)是粒子能從 ab 邊射出磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)軌跡圓半徑最大的情況,設(shè)此半徑為 R 1,如圖 5乙所示分析可知 ='60R O O ,則有11260cos R L R =+,得 L R =1要使粒子從 ab 邊射出,則軌跡圓與 ab 邊相切, 此時(shí)是粒子能從 ab 邊射出

6、磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)軌跡圓半徑最x圖 4甲x圖 5甲圖 5乙3小的情況,設(shè)此半徑為 R 2,如圖 5丙所示分析可知 ='120Q O O ,則有3, 230sin 222L R L R R =+故粒子從 ab 邊射出的條件為 L R L <3根據(jù) RmB q 200=,得mqBL mqBL <03。四、根據(jù)帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間畫(huà)軌跡 帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間 Tt 2=,通過(guò)計(jì)算,得出帶電粒子運(yùn)動(dòng)軌跡圓弧所對(duì)的圓心角,從而確定軌跡。例 4:如圖 6甲,在 a x y <<>0, 0的區(qū)域有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為 B 。在的 a x y &g

7、t;>, 0區(qū)域有垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁 感應(yīng)強(qiáng)度大小為 2B 。在 O 點(diǎn)處有一帶正電粒子沿 x 軸射入磁場(chǎng),最后會(huì)從 x 軸 上某點(diǎn)射出磁場(chǎng)(不計(jì)重力的影響 ,已知該粒子在 a x <<0的區(qū)域中運(yùn)動(dòng)的時(shí) 間與在 a x >的區(qū)域中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間之比為 2:3。在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為 5T /12。 其中 T 是該粒子在磁感應(yīng)強(qiáng)度為 B 的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中作圓周運(yùn)動(dòng)的周期。試求該粒 子從 x 軸上射出時(shí)的位置坐標(biāo)。 解析:帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡存在著多種可能性, 如圖 6乙所示中的幾 個(gè)軌跡圓弧。 因此先要通過(guò)題中給出的時(shí)間關(guān)系, 求出圓弧所對(duì)的圓心角, 才能 畫(huà)出軌

8、跡圓弧。設(shè)粒子在 a x <<0的區(qū)域中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 t 1,軌跡圓弧所對(duì)的圓心角為 1, 粒子在 a x >的區(qū)域中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t 2,軌跡圓弧所對(duì)圓心角為 2,則T T T t T t T t t t t 21, 360,360,125,322222112121=+=以上各式聯(lián)解得 =180, 6021,由此可得粒子運(yùn)動(dòng)軌跡是圖 6 乙中的 實(shí)線。不難求出粒子從 x 軸上射出時(shí)的位置坐標(biāo)為 a x 2=。圖 5丙x x4五 根據(jù)帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑畫(huà)軌跡根據(jù)題中給出的條件 , 運(yùn)用 R m B q /2= 得 R=mv/Bq 計(jì)算出軌跡半徑 , 畫(huà)出帶電粒子在勻

9、強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡 .例 5:如圖 7所示,質(zhì)量為 2g 的小球, 帶電量為-1×10-3C 。置于水平絕緣的桌面 MN 上的 P 點(diǎn), P 距右端點(diǎn) N 的距離為 0.5m , 小球與水平桌面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為 0.1。 桌面 MN 距水平面 OO 高度為 2.95m ,過(guò) N 點(diǎn)的豎直線 CD 右側(cè)存在互相正交的勻強(qiáng)電 場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng),電場(chǎng)方向豎直向下,場(chǎng)強(qiáng)E =20N/C,磁場(chǎng)方向水平向里,磁感應(yīng)強(qiáng)度 B =5T,現(xiàn)突然在桌面正上方, CD 線的左邊區(qū)域內(nèi)加一場(chǎng)強(qiáng)也為 E ,方向水平向左的勻 強(qiáng)電場(chǎng)。使小球 MN 運(yùn)動(dòng),最終落在水平面 OO 上, g 取 10m/s2,求小球從

10、P 點(diǎn) 到剛落到水平面 OO 所需的時(shí)間。解析:根據(jù)題意,小球從 P 到 N 點(diǎn)做勻加速直線運(yùn)動(dòng) 則 ma mg Eq =-,解得 9=a m/s232=PN as m/s, 311=at s小球從 N 點(diǎn)進(jìn)入 CD 線右邊的復(fù)合場(chǎng),因 N Eq N mg 22102, 102-=, 電場(chǎng)力等于重力 . 所以小球在洛侖茲力的作用下做勻圓周運(yùn)動(dòng), 最終落在水平面 OO 上。其運(yùn)動(dòng)軌跡存在著多種可能性。如圖 8所示中的幾個(gè)軌跡圓弧,只有準(zhǔn) 確地畫(huà)出軌跡, 才能求解。 因此先要通過(guò)題中條件, 算出軌跡圓弧的半徑, 才能 確定軌跡圓弧是哪條。由 R m B q /2=,得 2. 1=Bqm R m顯然軌跡是圖 8中的實(shí)線,