(完整版)三角形各個心的定義及性質(zhì)

1、三角形的重心是三角形三條中線的交點(diǎn)。三角形的重心的性質(zhì)1.重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對邊中點(diǎn)的距離之比為2：1。2.重心和三角形3 個頂點(diǎn)組成的 3 個三角形面積相等。3.重心到三角形3 個頂點(diǎn)距離的平方和最小。4.在平面直角坐標(biāo)系中，重心的坐標(biāo)是頂點(diǎn)坐標(biāo)的算術(shù)平均，即其坐標(biāo)為 (X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空間直角坐標(biāo)系 橫坐標(biāo)：(X1+X2+X3)/3縱坐標(biāo)： (Y1+Y2+Y3)/3豎坐標(biāo)：（ Z1+Z2+Z3 ）/35.重心和三角形 3 個頂點(diǎn)的連線的任意一條連線將三角形面積平分。6.重心是三角形內(nèi)到三邊距離之積最大的點(diǎn)。三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)(或

2、內(nèi)切圓的圓心 )。三角形的內(nèi)心的性質(zhì)1.三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為三角形的內(nèi)心2.三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等，都等于內(nèi)切圓半徑r3.r=2S/(a+b+c)4.在 Rt ABC 中， C=90°，r=(a+b-c)/2 5.BOC = 90 °+A/2 BOA = 90 °+C/2 AOC = 90 °+B/26.S =(a+b+c)r/2 (r是內(nèi)切圓半徑 )三角形的外心是三角形三條垂直平分線的交點(diǎn)(或三角形外接圓的圓心) 。三角形的外心的性質(zhì)1.三角形三條邊的垂直平分線的交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為三角形外接圓的圓心 .2 三角形的外接圓有且只有

3、一個，即對于給定的三角形，其外心是唯一的，但一個圓的內(nèi)接三角形卻有無數(shù)個，這些三角形的外心重合。3.銳角三角形的外心在三角形內(nèi)；鈍角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心與斜邊的中點(diǎn)重合4.OA=OB=OC=R5.BOC=2 BAC ， AOB=2 ACB ， COA=2 CBA6.S ABC=abc/4R三角形的垂心是三角形三邊上的高的交點(diǎn)(通常用 H 表示 )。三角形的垂心的性質(zhì)1.銳角三角形的垂心在三角形內(nèi)；直角三角形的垂心在直角頂點(diǎn)上；鈍角三角形的垂心在三角形外2.三角形的垂心是它垂足三角形的內(nèi)心；或者說，三角形的內(nèi)心是它旁心三角形的垂心3. 垂心 O 關(guān)于三邊的對稱點(diǎn)，均在 ABC

4、 的外接圓上4.ABC 中，有六組四點(diǎn)共圓，有三組 (每組四個 )相似的直角三角形，且 AO·OD=BO· OE=CO· OF5. H 、A、B、C 四點(diǎn)中任一點(diǎn)是其余三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的垂心 (并稱這樣的四點(diǎn)為一 垂心組 )。6.ABC ， ABO ， BCO ， ACO 的外接圓是等圓。7.在非直角三角形中， 過 O 的直線交 AB、AC 所在直線分別于P、Q，則 AB/AP·tanB+ AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC8.三角形任一頂點(diǎn)到垂心的距離，等于外心到對邊的距離的2 倍。9.設(shè) O ，H 分別為 ABC 的外心和垂心，則 BAO= HAC ，ABH= OBC ， BCO= HCA 。 10. 銳角三角形的垂心到三頂點(diǎn)的距離之和等于其內(nèi)切圓與外接圓半徑