(完整版)排列組合知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、排列組合二項(xiàng)式定理1，分類計(jì)數(shù)原理完成一件事有幾類方法， 各類辦法相互獨(dú)立每類辦法又有多種不同的辦法（每一種都可以獨(dú)立的完成這個(gè)事情）分步計(jì)數(shù)原理完成一件事，需要分幾個(gè)步驟， 每一步的完成有多種不同的方法2，排列排列定義：從 n 個(gè)不同元素中，任取 m（mn）個(gè)元素（被取出的元素各不相同） ，按照一定的順序排成一列， 叫做從 n 個(gè)不同元素中取出 m個(gè)元素的一個(gè)排列。排列數(shù)定義；從n 個(gè)不同元素中，任取m（mn）個(gè)元素的所m有排列的個(gè)數(shù)An公式m=n!規(guī)定 0！=1An(n m)!3，組合組合定義 從 n 個(gè)不同元素中，任取 m（mn）個(gè)元素并成一組，叫做從 n 個(gè)不同元素中取出 m個(gè)元素的一

2、個(gè)組合組合數(shù)從 n 個(gè)不同元素中，任取m（mn）個(gè)元素的所有組合個(gè)數(shù)mCnm=n!Cnm!( nm)!mn mmmm 1性質(zhì)C n=C nC n 1CnC n排列組合題型總結(jié)一直接法1 . 特殊元素法例 1 用 1， 2， 3，4 ，5，6 這 6 個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)的四位數(shù)，試求滿足下列條件的四位數(shù)各有多少個(gè)（1 ）數(shù)字 1 不排在個(gè)位和千位（2）數(shù)字 1 不在個(gè)位，數(shù)字 6 不在千位。分析：（ 1）個(gè)位和千位有5 個(gè)數(shù)字可供選擇A52 ，其余2 位有四個(gè)可供選擇A42 ，由乘法原理：A52 A42 =2402 特殊位置法（2 ）當(dāng) 1 在千位時(shí)余下三位有A53 =60 ，1 不在千位時(shí)，千位

3、有A14 種選法，個(gè)位有A14 種，余下的有 A42 ，共有 A14 A14 A42 =192 所以總共有 192+60=252二 間接法 當(dāng)直接法求解類別比較大時(shí)，應(yīng)采用間接法。如上例中（2）可用間接法A42 A3A2=252654Eg 有五張卡片，它的正反面分別寫0與1，2與3，4 與5，6與7，8與9，將它們?nèi)我馊龔埐⑴欧旁谝黄鸾M成三位數(shù)，共可組成多少個(gè)不同的三位數(shù)？分析：任取三張卡片可以組成不同的三位數(shù)C5323A33 個(gè)，其中0 在百位的有 C 4222A22 個(gè)，這是不合題意的。故共可組成不同的三位數(shù)C5323A33 - C4222A22 =432Eg三個(gè)女生和五個(gè)男生排成一排（1

4、） 女生必須全排在一起有多少種排法（捆綁法）（2） 女生必須全分開（插空法須排的元素必須相鄰）（3） 兩端不能排女生（4） 兩端不能全排女生（5） 如果三個(gè)女生占前排，五個(gè)男生站后排，有多少種不同的排法二 插空法當(dāng)需排元素中有不能相鄰的元素時(shí)，宜用插空法。例 3 在一個(gè)含有 8 個(gè)節(jié)目的節(jié)目單中， 臨時(shí)插入兩個(gè)歌唱節(jié)目， 且保持原節(jié)目順序， 有多少中插入方法？分析：原有的8 個(gè)節(jié)目中含有9 個(gè)空檔，插入一個(gè)節(jié)目后，空檔變?yōu)?0 個(gè)，故有A19A101 =100中插入方法。三 捆綁法當(dāng)需排元素中有必須相鄰的元素時(shí)，宜用捆綁法。1四個(gè)不同的小球全部放入三個(gè)不同的盒子中，若使每個(gè)盒子不空，則不同的放

5、法有種（ C42 A33 ）,2，某市植物園要在30 天內(nèi)接待 20 所學(xué)校的學(xué)生參觀，但每天只能安排一所學(xué)校，其中有一所學(xué)校人數(shù)較多，要安排連續(xù)參觀2 天，其余只參觀一天，則植物園30 天內(nèi)不同的安排方法有（C 291A2819 ）（注意連續(xù)參觀 2 天，即需把 30 天種的連續(xù)兩天捆綁看成一天作為一個(gè)整體來選有C 291其余的就是19 所學(xué)校選28 天進(jìn)行排列）四 閣板法名額分配或相同物品的分配問題，適宜采閣板用法例 5某校準(zhǔn)備組建一個(gè)由12 人組成籃球隊(duì)，這12 個(gè)人由 8 個(gè)班的學(xué)生組成，每班至少一人，名額分配方案共種 。分析：此例的實(shí)質(zhì)是12 個(gè)名額分配給8 個(gè)班，每班至少一個(gè)名額，

6、可在12 個(gè)名額種的11 個(gè)空當(dāng)中插入 7 塊閘板，一種插法對(duì)應(yīng)一種名額的分配方式，故有C117 種五 平均分推問題eg6 本不同的書按一下方式處理，各有幾種分發(fā)？（1 ） 平均分成三堆，（2 ） 平均分給甲乙丙三人（3 ） 一堆一本，一堆兩本，一對(duì)三本（4 ） 甲得一本，乙得兩本，丙得三本（一種分組對(duì)應(yīng)一種方案）（5 ） 一人的一本，一人的兩本，一人的三本分析： 1 ，分出三堆書（ a1,a2 ）,(a 3,a4 )，（a5 ,a6 ）由順序不同可以有A33 =6種，而這 6種分法只算一種分堆方式，故6 本不同的書平均分成三堆方式有C62C42 C22 =15 種A332，六本不同的書，平均

7、分成三堆有x 種，平均分給甲乙丙三人3222就有 x A3種C6C4C212331233， C 6C5C35， A3 C 6C5C3五合并單元格解決染色問題Eg 如圖 1 ，一個(gè)地區(qū)分為5 個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)有四種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有種（以數(shù)字作答） 。分析：顏色相同的區(qū)域可能是2、3、4、5下面分情況討論 :( )當(dāng) 2、 4 顏色相同且3、 5 顏色不同時(shí)，將 2、 4合并成一個(gè)單元格，此時(shí)不同的著色方法相當(dāng)于442,4個(gè)元素的全排列數(shù)A44（）當(dāng)2 、4 顏色不同且 3 、 5 顏色相同時(shí)，與情形( )類似同理可得 A4種著色法（）當(dāng)

8、2、4 與 3、5分別同色時(shí)，將2、4；3、5分別合并，這樣僅有三個(gè)單元格2,43,533從 4種顏色中選 3 種來著色這三個(gè)單元格，計(jì)有C4A3 種方法433由加法原理知：不同著色方法共有2 A4C4 A3 =48+24=72（種）練習(xí) 1（天津卷（文） ）將 3 種作物種植12345在如圖的 5 塊試驗(yàn)田里，每快種植一種作物且相鄰的試驗(yàn)田不能種植同一作物不同的種植方法共 種（以數(shù)字作答） （72 ），2某城市中心廣場(chǎng)建造一個(gè)花圃，花圃6 分為個(gè)部分（如圖3），現(xiàn)要栽種4 種顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同一樣顏色的話，不同的栽種方法有種（以數(shù)字作答） （120 ）5B614D23ACE圖 3圖 43如圖 4 ，用不同的5 種顏色分別為 ABCDE 五部分著色，相鄰部分不能用同一顏色，但同一種顏色可以反復(fù)使用也可以不用，則符合這種要求的不同著色種數(shù)（540 ）4如圖 5 ：四個(gè)區(qū)域坐定 4 個(gè)單位的人，有四種不同顏色的服裝，每個(gè)單位的觀眾必須穿同種顏色的服裝，