一個期限為1個月的無紅利支付股票的歐式看跌期權(quán)現(xiàn)價...

1、1、一個期限為1個月的無紅利支付股票的歐式看跌期權(quán)現(xiàn)價為2.5美元，股票價格為47美元，執(zhí)行價格為50美元，無風(fēng)險年利率為6%。對套利者而言存在什么樣的機(jī)會？答案：對于無紅利支付股票的歐式看跌期權(quán)，其價值應(yīng)該滿足：由于： >2.5=P,故這里歐式看跌期權(quán)的價值被低估，我們可以構(gòu)造如下策略獲得套利：期初從銀行借入$49.5，期限一個月，買入一份歐式看跌期權(quán)和一股股票。在期權(quán)到期時：如果，不執(zhí)行期權(quán)，在現(xiàn)貨市場賣出股票，獲利，還清銀行借款：$49.75(=)，最后凈收益為：;如果,執(zhí)行看跌期權(quán)，賣出股票，獲利$50, 還清銀行借款：$49.75，凈收益為$0.25。2、一個期限為4個月的無紅

2、利支付股票的歐式看漲期權(quán)現(xiàn)價為5美元，股票價格為64美元，執(zhí)行價格為60美元，1個月后發(fā)紅利0.8美元，對所有期限的無風(fēng)險年利率為12%.對套利者而言存在什么樣的機(jī)會？答案：對于有紅利支付股票的歐式看漲期權(quán)，其價值應(yīng)該滿足：其中D為期權(quán)有效期內(nèi)股票支付紅利的現(xiàn)值，由于： >$5=C,故這里歐式看漲期權(quán)的價值被低估，我們可以構(gòu)造如下策略獲得套利：期初賣空一股股票，獲益$64，將所得收入的$0.79()存入銀行一個月，用于補償原股票持有人的紅利收入，將$5用于購買一份歐式看漲期權(quán)，剩余收益($58.21)存入銀行4個月。在期權(quán)到期時：如果，執(zhí)行看漲期權(quán)，取出存款，用$60買入一股股票，還清股

3、票，凈收益為： ;如果,不執(zhí)行期權(quán)，取出存款，在現(xiàn)貨市場上買入一股股票，成本為,還清股票，凈收益為。3.假設(shè)你是一家杠桿比例很高的公司的經(jīng)理及唯一的所有者。所有的債務(wù)一年后到期。如果那時公司的價值高于債務(wù)的面值，你就可以償還債務(wù)。如果公司的價值小于債務(wù)的面值，你就必須宣布破產(chǎn)，讓債務(wù)人擁有公司。 a）將公司價值作為期權(quán)的標(biāo)的物，描述你的頭寸狀況。 b）按照以公司價值為標(biāo)的物的期權(quán)的形式，描述債務(wù)人的頭寸狀況。 c）你應(yīng)當(dāng)如何做來提高你頭寸的價值。答案：設(shè)公司價值為(0<=t<=T, 0為當(dāng)前時刻，T為債務(wù)到期日)，債務(wù)面值為D。a) 在債務(wù)到期時，如果公司價值大于D，則還清債務(wù)后，

4、經(jīng)理擁有價值為：,否則如果公司價值小于D，則債務(wù)人擁有公司，經(jīng)理將一無所有，故經(jīng)理價值為0。綜上，經(jīng)理人的價值可以表示如下：即max(,0)，即可以看做擁有歐式看漲期權(quán)的多頭。b) 在債務(wù)到期時，如果公司價值大于D，則債務(wù)人可以得到D，否則如果公司價值小于D，則債務(wù)人擁有公司，價值為。綜上，債務(wù)人的價值可以表示如下：即,也可以表示成：即公司價值多頭與以公司價值為標(biāo)的的看漲期權(quán)空頭?？梢岳斫鉃?，債務(wù)人在初始時刻以借出的金額購買了公司，同時賣出一個看漲期權(quán)給經(jīng)理人，如果經(jīng)理人經(jīng)營得好，使公司價值高于債務(wù)價值，支付債務(wù)（執(zhí)行價）后，經(jīng)理人就可以拿回公司。也可以理解為抵押債務(wù),經(jīng)理人以公司價值作為抵押

5、物,到期資不抵債時債務(wù)人將拿走抵押物.c）因此，經(jīng)理人應(yīng)該努力提高公司價值，以提高自己的收益。4、 對一個歐式看漲期權(quán)，若有L在到期日T時滿足，則有對一個歐式看跌期權(quán)，若有U在到期日T時滿足，則有答案：分析：這里有兩種解決方案，一種是構(gòu)造兩個策略，直接證明不等關(guān)系，類似期權(quán)上下限的證明；另外一種方法是反證法，如果這種關(guān)系不成立，看是否存在套利機(jī)會，如果存在套利，說明在不存在套利機(jī)會的情況下，不等式成立。為了給大家介紹這兩種方法，第一個等式我們采取第一種方方法，第二個等式采取第二種方法。證明：不等式一、（可等價為：）組合A： 一份歐式看漲期權(quán)多頭的現(xiàn)金組合B：一單位標(biāo)的資產(chǎn)則在到期日：組合A的價

6、值為：由于，且故因此而故因此，由無套利定價原理，即不等式二、假設(shè)不等式不成立，即,等價地，這時是看跌期權(quán)價值高估，我們賣出看跌期權(quán)應(yīng)該有套利機(jī)會，因此構(gòu)造套利策略如下：賣出一份看跌期權(quán)，賣空一單位股票，將所得收入()存入銀行。在期權(quán)到期時：如果,期權(quán)多頭不會執(zhí)行期權(quán)，因此我們需要從市場上以的價格買入股票，還給持有人，成本為，同時存款的現(xiàn)金收益為,故凈收益為；如果,期權(quán)多頭會執(zhí)行期權(quán)，因此我們以X買入股票，還給持有人，成本為X，同時存款的現(xiàn)金收益為,故凈收益為；因此，此時存在套利機(jī)會。故在不存在套利機(jī)會的情況下，原不等式必須成立。5. 證明：兩種除執(zhí)行價格外，其他條件相同的歐式看漲期權(quán)（或歐式看跌期權(quán)）的價格差的絕對值不會超過它們執(zhí)行價格的差異現(xiàn)值的絕對值。答案：證明方法與第四題類似，為去掉絕對值，不妨設(shè),則根據(jù)看漲期權(quán)價值與執(zhí)行價格間的關(guān)系，,此時需要證明的關(guān)系為：等價于：因此我們只需做出下面的兩個組合：組合A：一份執(zhí)行價為的歐式看漲期權(quán)多頭的現(xiàn)金組合B：一份執(zhí)行價為的歐式看漲期權(quán)多頭的現(xiàn)金只要能證明即可，其中分別表示組合A、組合B在t時刻的價值，t0表示當(dāng)前，tT表示期權(quán)到期日。首先看在到期日