四年級(jí)奧林匹克數(shù)學(xué)基礎(chǔ)資料庫 第16講 數(shù)陣圖（一）

1、第16講 數(shù)陣圖（一）我們?cè)谌昙?jí)已經(jīng)學(xué)習(xí)過輻射型和封閉型數(shù)陣，其解題的關(guān)鍵在于“重疊數(shù)”。本講和下一講，我們學(xué)習(xí)三階方陣，就是將九個(gè)數(shù)按照某種要求排列成三行三列的數(shù)陣圖，解題的關(guān)鍵仍然是“重疊數(shù)”。我們先從一道典型的例題開始。例1把19這九個(gè)數(shù)字填寫在右圖正方形的九個(gè)方格中，使得每一橫行、每一豎列和每條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和都相等。分析與解：我們首先要弄清每行、每列以及每條對(duì)角線上三個(gè)數(shù)字之和是幾。我們可以這樣去想：因?yàn)?9這九個(gè)數(shù)字之和是45，正好是三個(gè)橫行數(shù)字之和，所以每一橫行的數(shù)字之和等于45÷3=15。也就是說，每一橫行、每一豎列以及每條對(duì)角線上三個(gè)數(shù)字之和都等于15。在19

2、這九個(gè)數(shù)字中，三個(gè)不同的數(shù)相加等于15的有：951，942，861，852，843，762，753，654。因此每行、每列以及每條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)字可以是其中任一個(gè)算式中的三個(gè)數(shù)字。因?yàn)橹行姆礁裰械臄?shù)既在一個(gè)橫行中，又在一個(gè)豎列中，還在兩對(duì)角線上，所以它應(yīng)同時(shí)出現(xiàn)在上述的四個(gè)算式中，只有5符合條件，因此應(yīng)將5填在中心方格中。同理，四個(gè)角上的數(shù)既在一個(gè)橫行中，又在一個(gè)豎列中，還在一條對(duì)角線上，所以它應(yīng)同時(shí)出現(xiàn)在上述的三個(gè)算式中，符合條件的有2，4，6，8，因此應(yīng)將2，4，6，8填在四個(gè)角的方格中，同時(shí)應(yīng)保證對(duì)角線兩數(shù)的和相等。經(jīng)試驗(yàn)，有下面八種不同填法：上面的八個(gè)圖，都可以通過一個(gè)圖的旋轉(zhuǎn)和翻轉(zhuǎn)

3、得到。例如，第一行的后三個(gè)圖，依次由第一個(gè)圖順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，180°，270°得到。又如，第二行的各圖，都是由它上面的圖沿豎軸翻轉(zhuǎn)得到。所以，這八個(gè)圖本質(zhì)上是相同的，可以看作是一種填法。例1中的數(shù)陣圖，我國(guó)古代稱為“縱橫圖”、“九宮算”。一般地，將九個(gè)不同的數(shù)填在3×3（三行三列）的方格中，如果滿足每個(gè)橫行、每個(gè)豎列和每條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和都相等，那么這樣的圖稱為三階幻方。在例1中如果只要求任一橫行及任一豎列的三數(shù)之和相等，而不要求兩條對(duì)角線上的三數(shù)之和也相等，則解不唯一，這是因?yàn)樵诶?的解中，任意交換兩行或兩列的位置，不影響每行或每列的三數(shù)之和，故

4、仍然是解。例2用11，13，15，17，19，21，23，25，27編制成一個(gè)三階幻方。分析與解：給出的九個(gè)數(shù)形成一個(gè)等差數(shù)列，對(duì)照例1，19也是一個(gè)等差數(shù)列。不難發(fā)現(xiàn)：中間方格里的數(shù)字應(yīng)填等差數(shù)列的第五個(gè)數(shù)，即應(yīng)填19；填在四個(gè)角上方格中的數(shù)是位于偶數(shù)項(xiàng)的數(shù)，即13，17，21，25，而且對(duì)角兩數(shù)的和相等，即1325=1721；余下各數(shù)就不難填寫了（見右圖）。與幻方相反的問題是反幻方。將九個(gè)數(shù)填入3×3（三行三列）的九個(gè)方格中，使得任一行、任一列以及兩條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和互不相同，這樣填好后的圖稱為三階反幻方。例3將前9個(gè)自然數(shù)填入右圖的9個(gè)方格中，使得任一行、任一列以及兩條對(duì)角

5、線上的三個(gè)數(shù)之和互不相同，并且相鄰的兩個(gè)自然數(shù)在圖中的位置也相鄰。分析與解：題目要求相鄰的兩個(gè)自然數(shù)在圖中的位置也相鄰，所以這9個(gè)自然數(shù)按照大小順序在圖中應(yīng)能連成一條不相交的折線。經(jīng)試驗(yàn)有下圖所示的三種情況：按照從1到9和從9到1逐一對(duì)這三種情況進(jìn)行驗(yàn)算，只有第二種情況得到下圖的兩個(gè)解。因?yàn)榈诙N情況是螺旋形，故本題的解稱為螺旋反幻方。例4將九個(gè)數(shù)填入左下圖的九個(gè)空格中，使得任一行、任一列以及兩條證明：因?yàn)槊啃械娜龜?shù)之和都等于k，共有三行，所以九個(gè)數(shù)之和等于3k。如右上圖所示，經(jīng)過中心方格的有四條虛線，每條虛線上的三個(gè)數(shù)之和都等于k，四條虛線上的所有數(shù)之和等于4k，其中只有中心方格中的數(shù)是“重

6、疊數(shù)”，九個(gè)數(shù)各被計(jì)算一次后，它又被重復(fù)計(jì)算了三次。所以有九數(shù)之和+中心方格中的數(shù)×3=4k，3k+中心方格中的數(shù)×3=4k，注意：例4中對(duì)九個(gè)數(shù)及定數(shù)k都沒有特殊要求。這個(gè)結(jié)論對(duì)求解3×3方格中的數(shù)陣問題很實(shí)用。在3×3的方格中，如果要求填入九個(gè)互不相同的質(zhì)數(shù)，要求任一行、任一列以及兩條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和都相等，那么這樣填好的圖稱為三階質(zhì)數(shù)幻方。例5求任一列、任一行以及兩條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和都等于267的三階質(zhì)數(shù)幻方。分析與解：由例4知中間方格中的數(shù)為267÷389。由于在兩條對(duì)角線、中間一行及中間一列這四組數(shù)中，每組的三個(gè)數(shù)中都有89，所以每組的其余兩數(shù)之和必為267-89178。兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和為178的共有六組：5+17311167291494113747+13171+107。經(jīng)試驗(yàn)，可得右圖所示的三階質(zhì)數(shù)幻方。練習(xí)16×3的方格內(nèi)，使得每一橫行、每一豎列及兩條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和都等于66。2.將1，3，5，7，9，11，13，15，17填入3×3的方格內(nèi)，使其構(gòu)成一個(gè)幻方。3.用2，4，6，12，14，16，22，24，26九個(gè)偶數(shù)編制一個(gè)幻方。4.在下列各圖空著的方格內(nèi)填上合適的數(shù)，使每行、每列及每條對(duì)角線上的三