圓錐曲線中的最值與定值問(wèn)題0000

1、圓錐曲線中常見(jiàn)最值問(wèn)題方法一、定義轉(zhuǎn)化法根據(jù)圓錐曲線的定義,把所求的最值轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)之間的距離、點(diǎn)線之間的距離等。例1已知定點(diǎn)(3,2M ,F 是拋物線22y x =的焦點(diǎn),在此拋物線上求一點(diǎn)P ,使P M P F+取得最小值,求點(diǎn)P 的坐標(biāo)。變式訓(xùn)練1:已知橢圓22+=1167x y ,定點(diǎn)(1,2G ,M 為橢圓上動(dòng)點(diǎn),B 為右焦點(diǎn),求43MG MB +的最小值。變式訓(xùn)練2:已知雙曲線1322=-y x ,有一點(diǎn)2,3(Q ,2F 為右焦點(diǎn),雙曲線上一點(diǎn)M ,使得221MF MP +的值最小,求M 的坐標(biāo)方法二、參數(shù)法根據(jù)曲線方程的特點(diǎn),用適當(dāng)?shù)膮?shù)表示曲線上點(diǎn)的坐標(biāo),把所求的最值歸結(jié)

2、為求解關(guān)于這個(gè)參數(shù)的函數(shù)的最值的方法。例2.在平面直角坐標(biāo)系中,(,P x y 是橢圓2213x y +=上動(dòng)點(diǎn),求t x y =+的最大值變式訓(xùn)練、橢圓22221x y a b+=的切線 與兩坐標(biāo)軸分別交于A,B 兩點(diǎn) , 求三角形OAB 的最小面積 。分析;寫(xiě)出橢圓參數(shù)方程cos sin a xb y =,設(shè)切點(diǎn)為(cos ,sin P a a ,可得切線方程。解: 設(shè)切點(diǎn)為(cos ,sin P a a , 則切線方程為cos sin 1x y a b+=. 令y=0, 得切線與x 軸交點(diǎn)(,0cos a A ;令x=0,得切線與y 軸交點(diǎn)B(0,sin b 1|2AOB S OA OB

3、 =|.2sin cos sin 2ab abab = min .S ab =點(diǎn)悟 利用圓錐曲線參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)的最值問(wèn)題,再利用三角函數(shù)的有界性得出結(jié)果。方法三:函數(shù)法把所求最值的目標(biāo)表示為關(guān)于某個(gè)變量的函數(shù),通過(guò)研究這個(gè)函數(shù)求最值,是求各類(lèi)最值較為普遍的方法。例3.求點(diǎn)30,2P 到橢圓2214x y +=上點(diǎn)的最大距離,并求此時(shí)橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)。變式訓(xùn)練:已知雙曲線22:1C x y -=,P 為C 上任意一點(diǎn),點(diǎn)(3,0A ,則PA 的最小值為_(kāi)。方法四、切線法當(dāng)所求的最值是圓錐曲線上點(diǎn)到某條直線的距離的最值是,可以通過(guò)作與這條直線平行的圓錐曲線的切線,則兩平行線間的距離就是所求

4、的最值,切點(diǎn)就是曲線上取得最值是的點(diǎn)。212x y +=上的點(diǎn)到直線y x =+ 并求取得最值時(shí)橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)。變式訓(xùn)練:動(dòng)點(diǎn)P 在拋物線上2y x =,則點(diǎn)P 到直線4y x =+的距離最小值為_(kāi),此時(shí)點(diǎn)P 的坐標(biāo)為_(kāi)。(一:四道題。四種題型。1:已知橢圓C :1162522=+y x 內(nèi)有一點(diǎn)A (2,1,F 是橢圓C 的左焦點(diǎn),P 為橢圓C 上的動(dòng)點(diǎn),求|PA |+35|PF |的最小值。2: 已知橢圓1162522=+y x 內(nèi)有一點(diǎn)A (2,1,F 為橢圓的左焦點(diǎn),P 是橢圓上動(dòng)點(diǎn),求|PA |+|PF |的最大值與最小值。3:已知橢圓1162522=+y x 外一點(diǎn)A (5,6,l

5、 為橢圓的左準(zhǔn)線,P 為橢圓上動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P 到l 的距離為d ,求|PA |+d 53的最小值。4、定長(zhǎng)為3的線段AB 的兩個(gè)端點(diǎn)在y=x 2上移動(dòng),AB 中點(diǎn)為M ,求點(diǎn)M 到x 軸的最短距離。分析:(1可直接利用拋物線設(shè)點(diǎn),如設(shè)A(x 1,x 12,B(x 2,X 22,又設(shè)AB 中點(diǎn)為M(x 0y 0用弦長(zhǎng)公式及中點(diǎn)公式得出y 0關(guān)于x 0的函數(shù)表達(dá)式,再用函數(shù)思想求出最短距離。(2M 到x 軸的距離是一種“點(diǎn)線距離”,可先考慮M 到準(zhǔn)線的距離,想到用定義法。 解法一:設(shè)A(x 1,x 12,B(x 2,x 22,AB 中點(diǎn)M(x 0,y 0則=+=+=-+-022210212222122

6、1229(y x x x x x x x x x 由得(x 1-x 221+(x 1+x 22=9 即(x 1+x 22-4x 1x 2·1+(x 1+x 22=9 由、得2x 1x 2=(2x 02-2y 0=4x 02-2y 0 代入得 (2x 02-(8x 02-4y 0·1+(2x 02=92020041944x x y +=-, 114914(4944202020200-+=+=x x x x y ,5192=- 450y 當(dāng)4x 02+1=3 即 220±=x 時(shí),45(min 0=y 此時(shí)45,22(±M法二:如圖,32222=+=+=AB

7、 BF AF BB AA MM232 MM , 即451MM , 當(dāng)M 到x 點(diǎn)評(píng):線,轉(zhuǎn)化為A 、B 不能直接得出。 5,定長(zhǎng)為3的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)在拋物線y2=x上移動(dòng),記線段AB的中點(diǎn)為M(1求點(diǎn)M到y(tǒng)軸的最短距離(2求點(diǎn)M到y(tǒng)軸的最短距離時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo) 求點(diǎn)M到y(tǒng)軸的最短距離,根據(jù)拋物線的定義,轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的最短距離。如圖,MJ+JK=MK= = AB,當(dāng)弦AB過(guò)焦點(diǎn)F時(shí),取等號(hào),故此時(shí)M到y(tǒng)軸的距離最短,MJ最短距離是:3-JK=3-=。M到y(tǒng)軸的最短距離。由AG=+,BH=+,且AG+BH=AB=3,求得+=,所以AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)是。再根據(jù)A B的長(zhǎng)為3就可以求出中點(diǎn)的縱坐標(biāo)了。

8、圓錐曲線中的定值問(wèn)題【名師導(dǎo)航】圓錐曲線中的定值問(wèn)題是高考命題的一個(gè)熱點(diǎn),也是圓錐曲線問(wèn)題中的一個(gè)難點(diǎn).解決這個(gè)難點(diǎn)的基本思想是函數(shù)思想,可以用變量表示問(wèn)題中的直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等,這些直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等不受變量所影響的一個(gè)值,就是要求的定值.具體地說(shuō),就是將要證明或要求解的量表示為某個(gè)合適變量的函數(shù),化簡(jiǎn)消去變量即得定值. 【熱點(diǎn)難點(diǎn)精析】在圓錐曲線中,某些幾何量在特定的關(guān)系結(jié)構(gòu)中,不受相關(guān)變?cè)闹萍s而恒定不變,則稱(chēng)該變量具有定值特征.解答此類(lèi)問(wèn)題的基本策略有以下兩種:1、把相關(guān)幾何量的變?cè)厥饣?在特例中求出幾何量的定值,再證明結(jié)論與特定狀態(tài)無(wú)關(guān).2、把相關(guān)幾何量用曲線系

9、里的參變量表示,再證明結(jié)論與求參數(shù)無(wú)關(guān).1:過(guò)拋物線m :2y ax =(a >0的焦點(diǎn)F 作直線l 交拋物線于,P Q 兩點(diǎn),若線段PF 與FQ 的長(zhǎng)分別為,p q ,則11p q -+的值必等于( . A .2a B .12a C .4a D .4a解法1:(特殊值法令直線l 與x 軸垂直,則有l(wèi) :14y a =12p q a=,所以有114p q a -+= 解法2:(參數(shù)法如圖1,設(shè)11(,P x y ,22(,Q x y 且PM ,QN 分別垂直于準(zhǔn)線于,M N .114p PM y a =+,214q QN y a=+ 拋物線2y ax =(a >0的焦點(diǎn)1(0,4F

10、 a ,準(zhǔn)線1y =-. l :14y kx a =+ 又由l m ,消去x 得222168(1210a y a k y -+= 212122121,216k y y y y a a+=, 21212221111,(4164k k p q pq y y y y a a a a +=+= 114p q a -+=.2、若AB 是過(guò)橢圓中心的一條弦,M 是橢圓上任意一點(diǎn),且AM ,BM 與坐標(biāo)軸不平 行,分別表示直線AM ,BM 的斜率,則=( A. B. C. D. 【答案】B以.故選B .3、已知F 1、F 2是兩個(gè)定點(diǎn),點(diǎn)P 是以F 1和F 2為公共焦點(diǎn)的橢圓和雙曲線的一個(gè)交點(diǎn),并且PF 1

11、PF 2,e 1和e 2分別是上述橢圓和雙曲線的離心率,則有 A.+=4B.+=2C.e 12+e 22=4D.e 12+e 22=2【答案】B 設(shè)橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a 1,雙曲線實(shí)軸長(zhǎng)為2a 2,焦距均為2c,圖1 |PF2|=a1+a2,|PF1|=a1-a2.PF1與PF2垂直,|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2.(a1+a22+(a1-a22=4c2,2a12+2a22=4c2.+=2.3、如圖2所示,F為雙曲線C:=1的左焦點(diǎn),雙曲線C上的點(diǎn)P i與P7-i(i=1,2,3關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),則|P1F|+|P2F|+|P3F|-|P4F|-|P5F|-|P6F|的值是 圖2【答案】C

12、 取雙曲線右焦點(diǎn)記為F2, P3與P4關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),|P4F|=|P3F2|.|P3F|-|P4F|=|P3F|-|P3F2|=2a=6.同理,|P2F|-|P5F|=|P1F|-|P6F|=6.|P1F|+|P2F|+|P3F|-|P4F|-|P5F|-|P6F|=18.4、雙曲線-y2=1的虛軸端點(diǎn)與一個(gè)焦點(diǎn)連線的中點(diǎn)恰在雙曲線的一條準(zhǔn)線上,PQ是雙曲線的一條垂直于實(shí)軸的弦,O為坐標(biāo)原點(diǎn),則·等于【答案】答案:C解析:由題意知2=c得c2=2a2,又c2=a2+ b2= a2+1,a2=1.雙曲線為x2-y2=1.設(shè)P(x0,y0,則Q(x0,-y0. 故=(x0,y0,=(x0

13、,-y0,·=x02-y02=1.5、過(guò)點(diǎn)M(p,0任作一條直線交拋物線y2=2px(p>0于P、Q兩點(diǎn),則+的值為 A. B. C. D.【答案】答案:D 【解析】不妨取PQx軸,則P(p,p,Q(p,-p,|MP|=p,|MQ|=p. +=.6、已知拋物線y2=2px(p>0的焦點(diǎn)為F,過(guò)F的直線l與拋物線交于A,B兩點(diǎn),A,B在拋物線準(zhǔn)線上的射影分別是A1,B1,點(diǎn)M是A1B1的中點(diǎn),若|AF|=m,|BF|=n,則|MF|= ( A.m+nB.C.【答案】答案:C【解析】本題考查拋物線的定義及性質(zhì)和圖像等知識(shí).如圖, 連接A l F、B l F,由拋物線的定義,有

14、AA l=AF,BB l=BF,則有AA1F=AFA1,BB1F=BFB1,容易證明A l FB1=90°.在直角梯形AA1B1B中,構(gòu)造直角三角形可解得 |A1B1|=7、經(jīng)過(guò)拋物線y2=2px(p>0的焦點(diǎn)作一條直線與該拋物線交于A(x1,y1、B(x2,y2兩點(diǎn),則y1·y2的值為( 【答案】D【解析】本題考查直線與拋物線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題,注意將交點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為方程的根來(lái)討論.已知拋物線y2=2px(p >0的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(,0,設(shè)過(guò)焦點(diǎn)的直線方程為:y=k(x-,則有,代入拋物線方程有: y2=2P(即y1·y2=-p2.8、橢圓=1(a>b>0上兩點(diǎn)A、B與中心O的連線互相垂直,則的值為( A. B. C. D.【答案】D解析:假設(shè)A、B為橢圓的長(zhǎng)軸和短軸的頂點(diǎn),則=.排除選項(xiàng)A、B、C,選D.9、過(guò)點(diǎn)M(-2,0的直線l與橢圓x2+2y2=2交于P1、P2兩點(diǎn),線段P1P2的中點(diǎn)為P,設(shè)直線l的斜率為k1(k10,直線OP的斜率為k2,則k1·k2的值為(C. 【答案】【解析】設(shè)P1(x1,y1、P2(x2,y2,中點(diǎn)P(x0,y0,則k1=,k2=.將P1、P2兩點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程x2+2y2=2,相減得=-. k1·k2=·=-.答案:D10、已知點(diǎn)P是雙曲線(a>0,b>