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可以證明在這種加法和乘法之下， 可以證明在這種加法和乘法之下 ， 所有 四元數(shù)作成一個(gè)環(huán)， 四元數(shù)作成一個(gè)環(huán)，對(duì)于四元數(shù) u = a + bi + cj + dk 其共軛四元數(shù)定義為 û = a bi cj - dk 這樣，就有u 這樣，就有uû = a2+b2+c2+d2。 u0 u0 i+0j+0 若 u0 （ 即 若 u0+0i+0j+0k ） ， 則 uû0，而 u -1 = 1 1 û = 2 û 2 2 2 a +b +c + d uu 故任意非0四元數(shù)有逆。因之， 故任意非0四元數(shù)有逆。因之，此環(huán)是一 個(gè)體， 稱為四元數(shù)體。 個(gè)體 ， 稱為四元數(shù)體 。 由于乘法不適 合交換律（ 例如ij=k ji=ij=k， 合交換律 （ 例如 ij=k ， ji=-k ） ， 所 以四元數(shù)體不是域。 以四元數(shù)體不是域。 以上羅列了各種環(huán)， 計(jì)有交換環(huán)， 以上羅列了各種環(huán) ， 計(jì)有交換環(huán) ， 含壹 消去環(huán)，整環(huán)， 域等。 環(huán)，消去環(huán)，整環(huán)，體，域等。 定義6 的一個(gè)子環(huán),若仍為體， 定義6.6.9 體K的一個(gè)子環(huán),若仍為體， 則叫子體；若又為域，則叫（ 則叫子體 ； 若又為域 ， 則叫 （K 的 ）子 同樣， 對(duì)于域F 也可以有F 域 ， 同樣 ， 對(duì)于域 F ， 也可以有 F 的子 環(huán)

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