中考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)和二輪專(zhuān)題復(fù)習(xí)講座第1講 線段、角的計(jì)算與證明

1、第一講 線段、角的計(jì)算與證明問(wèn)題【前言】中考的解答題一般是分兩到三部分的。第一部分基本上都是一些簡(jiǎn)單題或者中檔題,目 的在于考察基礎(chǔ)。 第二部分往往就是開(kāi)始拉分的中, 難題了。 大家研究今年的北京一模就會(huì) 發(fā)現(xiàn),第二部分,或者叫難度開(kāi)始提上來(lái)的部分,基本上都是以線段,角的計(jì)算與證明開(kāi)始 的。 城鄉(xiāng) 18個(gè)區(qū)縣的一模題中, 有 11個(gè)區(qū)第二部分第一道題都是標(biāo)準(zhǔn)的梯形, 四邊形中線 段角的計(jì)算證明題。 剩下的 7個(gè)區(qū)縣題則將線段角問(wèn)題與旋轉(zhuǎn), 動(dòng)態(tài)問(wèn)題結(jié)合, 放在了更有 難度的倒數(shù)第二道乃至壓軸題當(dāng)中。可以說(shuō),線段角問(wèn)題就是中考數(shù)學(xué)有難度題的排頭兵。 對(duì)這些題輕松掌握的意義不僅僅在于獲得分?jǐn)?shù), 更

2、重要的是對(duì)于整個(gè)做題過(guò)程中士氣, 軍心 的影響。在這個(gè)專(zhuān)題中,我們對(duì)各區(qū)縣一模真題進(jìn)行總結(jié)歸納 , 分析研究,來(lái)探究線段,角 計(jì)算證明問(wèn)題的解題思路。第一部分 真題精講【例 1】 (2010,崇文,一模 如 圖 , 梯 形 ABCD 中 ,A D B C , 9038BD CD BDC AD BC =, °, , .求 AB 的長(zhǎng).【思路分析】線段,角的計(jì)算證明基本都是放在梯形中,利用三角形全等相似 , 直角三角 形性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行考察的。所以這就要求我們對(duì)梯形的性質(zhì)有很好的理解, 并且熟知梯形的輔助線做法。 這道題中未知的是 AB, 已知的是 AD,BC 以及 BDC

3、是等腰直 角三角形 , 所以要把未知的 AB 也放在已知條件當(dāng)中去考察 . 做 AE,DF 垂直于 BC, 則很輕易發(fā) 現(xiàn)我們將 AB 帶入到了一個(gè)有大量已知條件的直角三角形當(dāng)中 . 于是有解如下.【解析】作 AE BC 于 E DF BC , 于 F .DF AE ,AD BC , 四邊形 AEFD 是矩形.3EF AD AE DF =, .BD CD DF BC =, , DF 是 BDC 的 BC 邊上的中線. 19042BDC DF BC BF = =°, . 4431AE BE BF EF =-=-=, . 在 Rt ABE 中, 222AB AE BE =+ AB =【例

4、 2】 (2010,海淀,一模已知:如圖,在直角梯形 ABCD 中, AD BC , 90DCB =, AC BD 于點(diǎn) O , 2, 4DC BC =,求 AD 的長(zhǎng) .DCB A【思路分析】 這道題給出了梯形兩對(duì)角線的關(guān)系 . 求梯形上底 . 對(duì)于這種對(duì)角線之間或者 和其他線段角有特殊關(guān)系 (例如對(duì)角線平分某角 的題 , 一般思路是將對(duì)角線提出來(lái)構(gòu)造一個(gè) 三角形 . 對(duì)于此題來(lái)說(shuō) , 直接將 AC 向右平移 , 構(gòu)造一個(gè)以 D 為直角頂點(diǎn)的直角三角形 . 這樣就 將 AD 轉(zhuǎn)化成了直角三角形中斜邊被高分成的兩條線段之一 , 而另一條線段 BC 是已知的 . 于 是問(wèn)題迎刃而解 .EDCBA

5、【解析】過(guò)點(diǎn) D 作 /DE AC 交 BC 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) E . BDE BOC =. AC BD 于點(diǎn) O , 90BOC =. 90BDE =. /AD BC , 四邊形 ACED 為平行四邊形 . AD CE =. 90, 90BDE DCB =, 2DC BC CE =. 2, 4DC BC =, 1CE =. 1AD =此題還有許多別的解法,例如直接利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余關(guān)系,證明 ACD 和 DBC 相似,從而利用比例關(guān)系直接求出 CD 。有興趣的考生可以多發(fā)散思維去研究。【例 3】 (2010,東城,一模如圖, 在梯形 ABCD 中, AD BC , 90B =, =25

6、AD BC =, , E 為 DC 中點(diǎn),4tan 3C =. 求 AE 的長(zhǎng)度.EDCBA【思路分析】 這道題是東城的解答題第二部分第一道,就是我們所謂提難度的門(mén)檻題。 乍看之下好象直接過(guò) D 做垂線之類(lèi)的方法不行 . 那該怎樣做輔助線呢 ? 答案就隱藏在 E 是中點(diǎn) 這個(gè)條件中 . 在梯形中 , 一腰中點(diǎn)是很特殊的 . 一方面中點(diǎn)本身是多對(duì)全等三角形的公共點(diǎn) , 另 一方面中點(diǎn)和其他底 , 腰的中點(diǎn)連線就是一些三角形的中線 , 利用中點(diǎn)的比例關(guān)系就可以將已 知條件代入 . 比如這道題 , 過(guò)中點(diǎn) E 做 BC 的垂線 , 那么這條垂線與 AD 延長(zhǎng)線 ,BC 就構(gòu)成了兩個(gè)全等的直角三角形

7、. 并且這兩個(gè)直角三角形的一個(gè)銳角的正切值是已經(jīng)給出的 . 于是得解 .FEMDCBA【解析】過(guò)點(diǎn) E 作 BC 的垂線交于 BC 點(diǎn) F ,交 AD 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) M . 在梯形 ABCD 中, AD BC , E 是 DC 的中點(diǎn), M MFC DE CE =,在 M DE 和 FCE 中, M MFCDEM CEF DE CE = MDE FCE . EF ME DM CF =, 25AD BC =, 32DM CF =. 在 Rt FCE 中, 4tan 3EF C CF=, 2EF M E =.在 Rt AME 中, AE【總結(jié)】 以上三道真題 , 都是在梯形中求線段長(zhǎng)度的問(wèn)題 .

8、這些問(wèn)題一般都是要靠做出精 妙的輔助線來(lái)解決 . 輔助線的總體思路就是將梯形拆分或者填充成矩形 +三角形的組合 , 從而 達(dá)到利用已知求未知的目的 . 一般來(lái)說(shuō) , 梯形的輔助線主要有以下 5類(lèi) : 過(guò)一底的兩端做另一底的垂線,拆梯形為兩直角三角形 + 一矩形平移一腰,分梯形為平行四邊形 + 三角形 延長(zhǎng)梯形兩腰交于一點(diǎn)構(gòu)造三角形 平移對(duì)角線,轉(zhuǎn)化為平行四邊形 +三角形連接頂點(diǎn)與中點(diǎn)延長(zhǎng)線交于另一底延長(zhǎng)線構(gòu)筑兩個(gè)全等三角形或者過(guò)中點(diǎn)做底邊垂線構(gòu) 筑兩個(gè)全等的直角三角形以上五種方法就是梯形內(nèi)線段問(wèn)題的一般輔助線做法。對(duì)于角度問(wèn)題,其實(shí)思路也是一 樣的。 通過(guò)做輔助線使得已知角度通過(guò)平行, 全等方

9、式轉(zhuǎn)移到未知量附近。 之前三道例題主 要是和線段有關(guān)的計(jì)算。我們接下來(lái)看看和角度有關(guān)的計(jì)算與證明問(wèn)題?！纠?4】 (2010,延慶,一模如圖,在梯形 CD AB 中, AB DC , DB 平分 ADC ,過(guò)點(diǎn) A 作 AE BD ,交 CD 的延 長(zhǎng)線于點(diǎn) E ,且 2C E =, 30BDC =, 3AD =,求 CD 的長(zhǎng).ABDE【思路分析】 此題相對(duì)比較簡(jiǎn)單,不需要做輔助線就可以得出結(jié)果。但是題目中給的條 件都是此類(lèi)角度問(wèn)題的基本條件。 例如對(duì)角線平分某角, 然后有角度之間的關(guān)系。 面對(duì)這種 題目還是需要將已知的角度關(guān)系理順。首先根據(jù)題目中條件,尤其是利用平行線這一條件, 可以得出

10、(見(jiàn)下圖 角 C 與角 1, 2, 3以及角 E 的關(guān)系。 于是一系列轉(zhuǎn)化過(guò)后, 發(fā)現(xiàn)角 C=60度,即三角形 DBC 為 RT 三角形。于是得解。【解析】 :AB AE BD 13=, 2=E 12= 3=E 32=+=ADC E E 2C E = 60=ADC BCD 梯形 ABCD 是等腰梯形 3=BC AD 230=, 60=BCD 90=DBC 在 Rt DBC 中, 230=, 3=BC 6=CD【例 5】 (2009,西城,一模 已知:PA =4PB =,以 AB 為一邊作正方形 ABCD ,使 P 、 D 兩點(diǎn)落在直線 AB 的 兩側(cè) . 如圖,當(dāng) APB=45°時(shí),

11、求 AB 及 PD 的長(zhǎng);【思路分析】這是去年西城一模的壓軸題的第一小問(wèn)。如果線段角的計(jì)算出現(xiàn)在中間部 分,往往意味著難度并不會(huì)太高。但是一旦出現(xiàn)在壓軸題,那么有的時(shí)候往往比函數(shù)題,方 程題更為棘手。這題求 AB 比較容易,過(guò) A 做 BP 垂線,利用等腰直角三角形的性質(zhì),將 APB 分成兩個(gè)有很多已知量的 RT 。但是求 PD 時(shí)候就很麻煩了。 PD 所在的三角形 PAD 是個(gè)鈍角三角形,所以就需要我們將 PD 放在一個(gè)直角三角形中試試看。構(gòu)筑包含 PD 的直 角三角形,最簡(jiǎn)單的就是過(guò) P 做 DA 延長(zhǎng)線的垂線交 DA 于 F , DF 交 PB 于 G 。這樣一來(lái), 得到了 PFA AG

12、E 等多個(gè) RT 。于是與已求出的 AB 等量產(chǎn)生了關(guān)系,得解。 【解析】 :如圖,作 AE PB 于點(diǎn) E . APE 中, APE=45 °, PA =, sin 1AE PA APE =, cos 1PE PA APE =. 4PB =, 3BE PB PE =-=. 在 Rt ABE 中, AEB=90°, AB =. 如圖,過(guò)點(diǎn) P 作 AB 的平行線,與 DA 的延長(zhǎng)線交于 F ,設(shè) DA 的延長(zhǎng)線交 PB 于 G . 在 Rt AEG 中,可得cos cos AE AE AG EAG ABE =, (這一步最難想到,利用直角三角形斜邊高分成的兩個(gè)小直角三角形的

13、角度關(guān)系13EG =, 23PG PB BE EG =-=.在 Rt PFG中,可得 cos cos PF PG FPG PG ABE =, FG . 【總結(jié)】 由此我們可以看出,在涉及到角度的計(jì)算證明問(wèn)題時(shí),一般情況下都是要將已 知角度通過(guò)平行, 垂直等關(guān)系過(guò)度給未知角度。 所以, 構(gòu)建輔助線一般也是從這個(gè)思路出發(fā), 利用一些特殊圖形中的特殊角關(guān)系(例如上題中的直角三角形斜邊高分三角形的角度關(guān)系 以及借助特殊角的三角函數(shù)來(lái)達(dá)到求解的目的。第二部分 發(fā)散思考 通過(guò)以上的一模真題,我們對(duì)線段角的相關(guān)問(wèn)題解題思路有了一些認(rèn)識(shí)。接下來(lái)我們自 己動(dòng)手做一些題目。希望考生先做題,沒(méi)有思路了看分析,再?zèng)]思

14、路了再看答案。 【思考 1】如圖,在梯形 ABCD 中, AD BC , CD AB =.若 AC BD , AD+BC=310, 且 =60ABC , 求 CD 的長(zhǎng). 【思路分析】 前面我已經(jīng)分析過(guò),梯形問(wèn)題無(wú)非也就那么幾 種輔助線的做法。此題求腰,所以自然是先將腰放在某個(gè) RT三角形中。另外遇到對(duì)角線垂直這類(lèi)問(wèn)題,一般都是平移某一條對(duì)角線以構(gòu)造更大的一個(gè) RT 三角形,所以此題需要兩條輔助線。在這類(lèi)問(wèn)題中,輔助線的方式往往需要交叉運(yùn)用,如果 思想放不開(kāi),不敢多做,巧做,就不容易得出答案。 解法見(jiàn)后文 【思考 2】如圖,梯形 ABCD 中, AD/BC, B=30°, C=60&

15、#176;, E , M , F , N 分別 是 AB , BC , CD , DA 的中點(diǎn),已知 BC=7, MN=3,求 EF【思路分析】此題有一定難度,要求考生不僅掌握中位線的相關(guān)計(jì)算方法,也對(duì)三點(diǎn)共 線提出了要求。若求 EF ,因?yàn)?BC 已知,所以只需求出 AD 即可。由題目所給角 B ,角 C 的度數(shù),應(yīng)該自然聯(lián)想到直角三角形中求解。 (解法見(jiàn)后【思考 3】 已知 ABC , 延長(zhǎng) BC 到 D , 使 C D B C =. 取 AB 的中點(diǎn) F , 連結(jié) FD 交 AC 于 點(diǎn) E . 求 AE AC的值; 若 AB a =, FB EC =,求 AC 的長(zhǎng).【思路分析】 求比

16、例關(guān)系,一般都是要利用相似三角形來(lái)求解。此題中有一個(gè)等量關(guān)系 BC=CD,又有 F 中點(diǎn),所以需要做輔助線,利用這些已知關(guān)系來(lái)構(gòu)造數(shù)個(gè)相似三角形就成 了獲得比例的關(guān)鍵。 (解法見(jiàn)后BCD【思考 4】如圖 3, ABC 中, A=90°, D 為斜邊 BC 的中點(diǎn), E , F 分別為 AB , AC 上的點(diǎn),且 DE DF ,若 BE=3, CF=4,試求 EF 的長(zhǎng). 【思路分析】 中點(diǎn)問(wèn)題是中考幾何中的大熱點(diǎn),幾乎年年考。有中點(diǎn)自然有中線,而倍 長(zhǎng)中線方法也成為解題的關(guān)鍵。 將三角形的中線延長(zhǎng)一倍, 剛好可以構(gòu)造出兩個(gè)全等三角形, 很多問(wèn)題就可以輕松求解。 本題中, D 為中點(diǎn),

17、 所以大家可以看看如何在這個(gè)里面構(gòu)造倍長(zhǎng) 中線。(解法見(jiàn)后【思考 5】 如圖,在四邊形 ABCD 中, E 為 AB 上一點(diǎn), ADE和 BCE都是等邊三角 形, AB 、 BC 、 CD 、 DA 的中點(diǎn)分別為 P 、 Q 、 M 、 N ,試判斷四邊形 PQMN 為怎樣的 四邊形,并證明你的結(jié)論.P ED【思路分析】此題也是中點(diǎn)題,不同的是上題考察中線,此題考察中位線。本題需要考 生對(duì)各個(gè)特殊四邊形的性質(zhì)了如指掌,判定,證明上都需要很好的感覺(jué)。尤其注意梯形,菱 形,正方形,矩形等之間的轉(zhuǎn)化條件。(解法見(jiàn)后第三部分 思考題答案思考 1【解析】 :作 DE BC 于 E ,過(guò) D 作 DF A

18、C 交 BC 延長(zhǎng)線于 F . 則四邊形 ADFC 是平行四邊形, CF AD =, DF=AC. 四邊形 ABCD 是等腰梯形, AC=BD. BD DF = 又 AC BD , DF AC , BD DF . BDF 是等腰直角三角形 11( 522DE BF AD BC =+=在 CDE Rt 中, =60DCE , DCE CD DE =sin =60sin 3CD , 10=CD 思考 2 【解析】 :延長(zhǎng) BA , CD 交于點(diǎn) H ,連接 HN ,因?yàn)?B=30°, C=60°,所以 BHC=90° 所以 HN=DN(直角三角形斜邊中線性質(zhì) NHD=

19、 NDH=60°連接 MH ,同理可知 MHD= C=60°。所以 NHD= MHD ,即 H , N , M 三點(diǎn)共線(這一點(diǎn)容易被遺漏,很多考生會(huì)想當(dāng)然 認(rèn)為他們共線,其實(shí)還是要證明一下 所以 HM=3.5 , NH=0.5 AN=0.5 所以 AD=1 EF=(1+7 /2=4思考 3 【解析】 過(guò)點(diǎn) F 作 FM AC ，交 BC 于點(diǎn) M F 為 AB 的中點(diǎn) 1 M 為 BC 的中點(diǎn)， FM = AC 2 A F B M E C D 由 FM AC ，得 ÐCED = ÐMFD ， ÐECD = ÐFMD ， DFMD DECD DC EC 2 = = DM FM 3 2 2 1 1 EC = FM = ´ AC = AC 3 3 2 3 AE = AC -