橢圓的標準方程及其幾何性質(zhì)

1、橢圓的標準方程及其幾何性質(zhì)1.橢圓定義:(1)第一定義：平面內(nèi)與兩個定點Fi、F2的距離之和為常數(shù)2a(2a IF2F2I)的動點P(2)橢圓的第二定義:平面內(nèi)到定點F與定直線1(定點F不在定直線I上)的距離之比是常數(shù)e(0 e 1)的點的軌跡為橢圓(利用第二定義，可以實現(xiàn)橢圓上的動點到焦點的距離與到相應準線的距離相互轉 化).2.橢圓的方程與幾何性質(zhì):標準方程性質(zhì)參數(shù)關系焦占八、 、八、 、焦距范圍頂點對稱性關于x軸、y軸和原點對稱離心率的軌跡叫橢圓,其中兩個定點Fi、F2叫橢圓的焦點.當|PFi|IPF22a F1F2時,P的軌跡為橢圓；當|PFi| |PF2|2a IF1F2I時，P的軌

2、跡不存在；當PF1PF22a F1F2時，P的軌跡為以Fi、F2為端點的線段圓上;4.直線與橢圓的位置關系例題分析:題1寫出適合下列條件的橢圓的標準方程:兩個焦點坐標分別是（-4,0）、（4,0），橢圓上一點P到兩焦點的距離之和等于10；兩個焦點坐標分別是（0，-0,2）且過（!，!）.兩個焦點坐標分別是（-3，0），（3，0），橢圓經(jīng)過點（5，0）.兩個焦點坐標分別是（0，5），（0，-5），橢圓上一點 P 到兩焦點的距離和為26. 焦點在y軸上，與y軸的一個交點為 P（0，-10），P 到它較近的一個焦點的距離等于2.解：（1）因為橢圓的焦點在x軸上，所以設它的標準方程為2 2所以所求橢圓

3、標準方程為1.259因為橢圓的焦點在y軸上，所以設它的標準方程為由橢圓的定義知,準線22 23.點P（X0，y0）與橢圓：身1（a b 0）的位置關系:a b99999當x_ y_ 1時，點p在橢圓外；當二y_ 1時，點P在橢圓內(nèi)；當2X_a2b2a2b2a2b21時，點P在橢直線與橢圓相交0；直線與橢圓相切0；直線與橢圓相離2a J( |)2(5 2)2+( 2)2弓2)2xX2 2所以所求標準方程為110 6另法：b2a2c2a2可設所求方程2y2a二1，后將點(3,2)的坐標代入可求出a，從而求出橢圓方程橢圓的焦點在X 軸上，所以設它的標準方程為:2a7(5 3)20Q(5 3)20 1

4、0,2c=6.5,c3b222r-2a c 53216所求橢圓的方程為:2X252 1.16橢圓的焦點在 y 軸上，所以設它的標準方程為0).b2a2c2144.所求橢圓方程為:2y1692丄1144(5)v橢圓的焦點在y軸上，所以可設它的標準方程為:P (0，10)在橢圓上，a= 10 .又P 到它較近的一焦點的距離等于2,-c(10)=2,故 c=8. I 222 ccb a c 36.所求橢圓的標準方程是2 2y X10036題2。已知B, C是兩個定點,I BC|=6,且ABC的周長等于16,求頂點A的軌xX解：以BC所在直線為x軸，BC中垂線為y軸AI-角坐標系，設頂點A（x, y）

5、， 根據(jù)已知條件得y、1L LB BOC|AB|+|AC|=10 -跡方程*建立直a 5,c3,b4*所以頂點A的軌跡方程為2 211?1（y主0）（特別強調(diào)檢驗）因為A為厶ABC的頂點，故點A不在x軸上，所以方程中要注明題3。在 ABC 中, BC=24, AC AB 的兩條中線之和為39,求 ABC 的重心軌跡方程.分析：以 BC 所在直線為x軸，BC 的中垂線為y軸A0 C /XX建立如圖所示的平面直角坐標系，M 為重心，則2|MB+IMC=2X 39=26.根據(jù)橢圓定義可知，點 M 的軌跡是以 B C 為焦點的橢圓，故所求橢圓方程為2 2169 25； 1(y0)2題4。已知x軸上的一

6、定點A（1,0），Q為橢圓4y21上的動點，求AQ中點M的軌跡方程*解：設動點M的坐標為（X, y），則Q的坐標為(2x 1,2y)*2因為點Q為橢圓亍屮1上的點,所以有呼時1，即（x 2）24y21yQ八_ZM.、. .I I 1 1-2 I.O A2.一xX所以點M的軌跡方程是(x 1)24y21題5。長度為2的線段AB的兩個端點A B分別在x軸、y軸上滑動，點M分AB的 比為3，求點M的軌跡方程.解：設動點M的坐標為(x,y)，則A的坐標為 因為I AB| 2，所以有(5x)2(5y)24，即孕X2孕y2432所以點M的軌跡方程是圖形，用數(shù)學符號表示此結論:和圓Q內(nèi)切，所以 即|MQ|M

7、P 8，故M的軌跡是以P,Q為焦點的橢圓,乘積是-4，求頂點 A 的軌跡方程.9選題意圖：鞏固求曲線方程的一般方法,意思，訓練根據(jù)條件對一些點進行取舍題6。已知定圓x2y 6x550，動圓M和已知圓內(nèi)切且過點P(-3，0),求圓心M的軌跡及其方程*分析：由兩圓內(nèi)切，圓心距等于半徑之差的絕對值根據(jù)；P -I I-O -Q上式可以變形為|MQ|MP| 8，又因為|PQ 68，所以圓心M的軌跡是以P，Q為焦點的橢圓.解已知圓可化為:32y264圓心Q(3,0)，r所以P在定圓內(nèi)設動圓圓心為M(x,y)，則|MP為半徑*又圓Mb27，故動圓圓心M的軌跡方程是:2x16題7。厶 ABC 勺兩個頂點坐標分

8、別是B(0，6)和 C(0，-6)，另兩邊 AB AC 的斜率的yBO” Ax42524V49252一x9且PQ中點為原點，所以2a 8，建立借助方程對應曲線后舍點的解題(5X,0).B的坐標為(0,- y).32解：設頂點 A 的坐標為(X, y).2依題意得 U 以4，X X 92頂點 A 的軌跡方程為81與(0,6)應舍去.徑的圓與此橢圓長軸為直徑的圓內(nèi)切設橢圓方程為MF1O2b1,(ab0)，焦半徑F2P是圓Oi的直徑,2說明：方程務2y361對應的橢圓與y軸有兩個交點，而此兩交點為(0 ,6)6).2題8.P為橢圓25上的點，且P與FI,F2的連線互相垂直，求P解：由題意，得(5P的

9、坐標為(4、25X0)化，(5XO)2=645聯(lián))，(27 25281XoHF，y165795“9,)，(,)*44442 2題9橢圓 i J259上不同三點A(X1, yj, B(4,9), C(X2, y2)與焦點F(4,O)的距離成5等差數(shù)列，求證X1X2證明：由題意，得(54X1)(5 -X2)=2(555題10.設P是以0為中心的橢圓上任意一點，4-4) x1X285F2為右焦點，求證：以線段F2P為直解：設頂點 A 的坐標為(X, y).2所以，以線段F2P為直徑的圓與此橢圓長軸為直徑的圓內(nèi)切則由aPF222a |PF2PF12OO1I知，兩圓半徑之差等于圓心距,題12.已知橢圓的

10、中心在坐標原點O焦點在坐標軸上，直線 交于點 P和點 Q 且 OPL OQ|P Q二邁，求橢圓方程.2解：設橢圓方程為 mx+ny2=1（m0, n0）,設 P(X1, y1), Q(X2, y2),解方程組y=x+1,mx+ny2=1.題11。已知橢圓的焦點是F1（ 1,O）,F2（1,O）,P為橢圓上一點，且IF1F2I是IPF1I和IPF2I的等差中項.（1）求橢圓的方程;若點 P 在第三象限，且/PFF=120,求tan FiPF2.選題意圖：綜合考查數(shù)列與橢圓標準方程的基礎知識，靈活運用等比定理進行解題.解：(1)由題設IPFiI + IPF2I=2|F1F2|= 4-2a4,2c=

11、2，b=V32 2橢圓的方程為 一厶1.43(2)設/FjPF?則/PF2F1=60yP-F1 OJ J 1 1*x由正弦定理得:由等比定理得:整理得：5 sinF1F2PF2PF1sinF1F2sinsin120si n(60)IPF1I IPF2Sin 120 si n(60)cos )也故1 cos 5tan2y=x+1與橢圓相2消去 y，整理得（葉 n） x+2nx+n1=0.A=4n24(m+n) ( n-1)0,即 m+n-mr0, OPtOQ X1X2+y1y2=0,解：設 A (X1, y1)、B (X2, y2),2 2則生+IL=1,43222+y_=143一，得(X1X2

12、)(X1x2)+(y1y2)(y1y2)-03又 M 為 AB 中點, X1+X2=2, y 汁 y2=2.34 直線 I 的方程為 y 1= - (X 1),4即 X1X2+(Xi+ 1) (X2+I)=0,2X1X2+(X1+X2)+1=0,2(nP2n+1=0.nm+n=2.由弦長公式得2-4(m n mn)-(也2(m n)2)2,將 n+n=2代入，得 m-噸.ITF-, imn-2 J2解1橢圓方程為n二?或=L.22+-y2=1或？x2+厶仁2 2 2 2題13.直線 l過點M( 1,1),與橢圓2 _+=1相交于AB 兩點，若 AB 的中43點為 M 試求直線I 的方程.X1X

13、2X1X2y2y1直線 I 的斜率為一即3x+4y7=0.題14。已知橢圓C的中心為坐標原點0,個長軸端點為0,1,短軸端點和焦點所組成的四邊形為正方形，直線I與 y 軸交于點P( 0, m),與橢圓 C 交于相異兩點 A B, 且AP 3PB.(1)求橢圓方程;(2)求m的取值范圍.【解題思路】通過AP 3PB，溝通AB兩點的坐標關系，再利用判別式和根與系數(shù)關系得到一個關于m的不等式2解析(1)由題意可知橢圓C為焦點在y軸上的橢圓，可設C:爲a2X21 (a b 0)由條件知a 1且b又有a2b2c2，解得a故橢圓C的離心率為e普，其標準方程為:2XT2(2)設丨與橢圓C交點為A (X1,屮

14、),B (X2,得(k2+2) X2+2kmx+( m 1)=0y2) =(2km24( k2+2) (m-1)=4(k22m+2)0(*)X1+ X2=，X1X2=消去 X2，得3(X1+ X2)2+4X1X2=0，.3()2+4=0整理得4k2m +2m k2-2=0點二時，上式不成立；mM時，k2=,因X=3二 kM0Ak2=0,二一1n2m -2成立，所以(*)成立即所求 m 的取值范圍為(一1 ,-)U(,1)題15。設 X、y R,i、j 為直角坐標平面內(nèi) X、y 軸正方向上的單位向量，若向量 a=xi+(y+2) j , b=xi+(y 2) j，且|a|+|b|=8.(1)求點

15、 M( X，y)的軌跡 C 的方程.(2)過點(0，3)作直線丨與曲線 C 交于AB 兩點，設OP=OA+OB，是否存在這樣的直線丨，使得四邊形 OAP 是矩形？若存在，求出直線丨的方程；若不存在,兩邊平方，得x2+(y+2)2=x2+(y 2)2整理，得2jx2(y 2)2=8y,兩邊平方，得4X+(y 2)2 =(8 y) 2 2展幵，整理得+=1.12 16（2）vl 過 y 軸上的點（0,3）,若直線丨是 y 軸，則 A、B 兩點是橢圓的頂點./OP=OA+OB=O, P 與 0 重合，與四邊形 OAP 是矩形矛盾.直線丨的斜率存在.設丨方程為 y=kx+3，A （xi，yi），B（X

16、2，y2），y=kx+3，2 22由22消 y 得(4+3k) x+18kx 21=0.此時，二(18k )I xl+d12 16 (21)0恒成立，且 X1+X2= 18k2, X1X2=212.4 3k4 3kOP=OA+OB，二四邊形 OAP 是平行四邊形.若存在直線丨，使得四邊形 OAPB是矩形，貝 y OAL OB 即0AOB=0.試說明理由.(1)解法一： a=xi+(y+2) j , b=xi+(y 2) j，且|a|+|b|=8,點 M(X，y)到兩個定點 Fi(0，2)，F(xiàn)2(0,22）的距離之和為8._ 2軌跡 C 為以 R、F2為焦點的橢圓，方程為L+Z=1.12 162

17、7+Jx2（y 2）2=8,解法二：由題知，Jx2（y移項，得yjx（y=8Jx2(y 2)2，16(y 2)2+64, 0A=(Xi，yi)，0B=(X2，y2)， OAOB=XiX2+yiy2=0,2即(1+k ) XiX2+3k (X1+X2)+9=0,即(1+k2) ()+3k ()+9=0,即 k2=2，得 k= 西4 3k24 3k2164存在直線1: y= fx+3,使得四邊形 OAPE 是矩形.橢圓作業(yè)班級: 題16。選擇題2 21.已知 Fi、F2是橢圓L+Z=1的兩個焦點，過 Fi的直線與橢圓交于 M N 兩點,169則 MNF 的周長為答案：B2.橢圓+y2=1的兩個焦點

18、為 Fi、F2,過 Fi作垂直于 X 軸的直線與橢圓相交，4一個交點為 P,則|PF21等于色J37解法一：（如下圖）設橢圓的右焦點為 Fi,左焦點為 F2，過 Fi垂直于 X2 2軸的直線與橢圓在第一象限的交點為P.2+y2=1,- a=2, b=1, c=J3.4 Fi(yf3, 0).設 P ( 73 , yp)代入p(1),|P F|=t.又TIPF|+|PF|=2a=4, IP|=4-IPF|=4-=-2 23.設 Fi、F2為橢圓的兩個焦點，以 F2為圓心作圓 呂，已知圓 F2經(jīng)過橢圓的中心,且與橢圓相交于 M 點，若直線 MF 恰與圓 F2相切，則該橢圓的離心率 e 為A.込応血

19、.也2 2姓名:.16解析：利用橢圓的定義易知B正確.：+yj,得心,1.解析：易知圓 F2的半徑為 c，(2a c)2+c2=4c2，(c)+2(-)aa答案：AA. 5B. 7 C.13D. 15解析B.兩圓心C、D恰為橢圓的焦點,| PC | |PD| 10,PMPN的最小值為10-1-2=75.橢圓有這樣的光學性質(zhì)：從橢圓的一個焦點出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點， 今有一個水平放置的橢圓形臺球盤，點A B是它的焦點，長軸長為2a，焦距為2c，靜放在點A的小球（小球的半徑不計），從點A沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反彈后第一次回到點A時，小球經(jīng)過的路程是A.4a B.2(a

20、c)C. 2(a+c) D.以上答案均有可能解析按小球的運行路徑分三種情況(1)CA,此時小球經(jīng)過的路程為2（ac）;A,此時小球經(jīng)過的路程為2（a+c）;yAQA此時小球經(jīng)過的路程為4a,故選題17、填空題2=0，23 a1.24.已知P為橢圓25 162L 1上的一點，M , N分別為圓（x3)2y21和圓（X 3）2y24上的點，貝y PMPN的最小值為（）1.2 2已知F1、F2為橢圓25 t1的兩個焦點，過F2A F2B 12，貝y AB二解析ABF2的周長為4a 20，AB=8F1的直線交橢圓于A B兩點若2.如果方程 x2+ky2=2表示焦點在y 軸的橢圓，那么實數(shù)k 的取值范圍

21、是2 2解析：橢圓方程化為+=1.2焦點在 y 軸上，則含2,2k即 k0,.0k b0) 上任意一點，P 與兩焦點連線互相垂b直，且 P 到兩準線距離分別為6、12,則橢圓方程為解析：利用橢圓的兩個定義結合勾股定理來求.2 2答案：丄+J =145202 25.點 P 在橢圓+=1上，它到左焦點的距離是它到右焦點距離的兩倍，則259點 P 的橫坐標是 _.解析：利用第二定義.6.已知 Fi為橢圓的左焦點，A B 分別為橢圓的右頂點和上頂點,P 為橢圓上的點，當 PF 丄 FiA, PO/ A(O 為橢圓中心)時，求橢圓的離心率剖析：求橢圓的離心率，即求 ，只需求 a、c 的值或 a、c 用同

22、一個量表示.a本題沒有具體數(shù)值，因此只需把 a、c 用同一量表示，由 PF 丄 FiA, P0/AB 易得 b=c，a=寸2b.2.如果方程 x2+ky2=2表示焦點在y 軸的橢圓，那么實數(shù)k 的取值范圍是22解：設橢圓方程為尹討二1(ab0),F1(-c,0),c2=a2-b2,72 .2則P(c,bj1刊)，即P(-c,寧).-AB/ PQ - - kAB=kop,即b=_ .b=c.a ac-e=c=b =72 a 72b22.已知方程x2cos y2sin 1,(0,),討論方程表示的曲線的形狀解析當(0,)時，sin cos，方程表示焦點在y軸上的橢圓,當一時，sin cos，方程表

23、示圓心在原點的圓,4當(才2時，sin cos，方程表示焦點在x軸上的橢圓3.橢圓對稱軸在坐標軸上， 短軸的一個端點與兩個焦點構成一個正三角形，焦又a=Jb2c2=72b,227.如圖，把橢圓 二 乙1的長軸AB分成8等份，過每個25 16x軸的垂線交橢圓的上半部分于F是橢圓的一個焦點F7F _分點作R,巳,P3,PHF5,P6, F7七個點,則|PF解析由橢圓的對稱性知：PF| IP7FI |BF| |P6F| IP3F題18.求橢圓的標準方程1.設橢圓的中心在原點,P2FP3FP4FP5FPeFF5F2a 35.坐標軸為對稱軸， 一個焦點與短軸兩端點的連線互相 垂直，且此焦點與長軸上較近的

24、端點距離為【解題思路】將題中所給條件用關于參數(shù)4424,a,b,c的式子“描求此橢圓方程.2解析設橢圓的方程為a2與1(aab c4(72 1),b2c2解之得:4邁,b=c=4.則所求的橢圓的方程為2x322y1621或-162L 1.32點到橢圓上的點的最短距離是73，求這個橢圓方程.解析:;m，b 3，所求方程為或分滬.4.橢圓對稱軸在坐標軸上， 短軸的一個端點與兩個焦點構成一個正三角形，焦點到橢圓上的點的最短距離是73，求這個橢圓方程.解：由題設條件可知 a=2c， b=j3c，又 a c=j3，解得 a2=12， b2=9.二所求橢222 2圓的方程是1+=1或1 + =1.12 9

25、9 122 2題19。已知實數(shù)X,y滿足 1 乂1,求X242y2X的最大值與最小值【解題思路】把X2y2X看作X的函數(shù)2解析由41得y22r2當X 1時，X2y2X取得最小值1，當X2時，X2y2X取得最大值62 2題20。橢圓J 1上的點到直線I：X y 9 1690的距離的最小值.【解題思路】把動點到直線的距離表示為某個變量的函數(shù)解析在橢圓上任取一點P,設P(4C0S ,3sin).那么點P到直線I的距離為:2 2題21。已知橢圓 筈1 (a b 0)與過點 A(2，0)，B：0，1)的直線 I 有且只有一a2b2個公共點 T,且橢圓的離心率解析直線 I 的方程為：ye魚.求橢圓方程2-

26、X 12由已知2 .2a4b由a2y1lx 12得：(b2丄a2)x24a2x a2a2b20a4(4b2a2)(a2a2b2)0,即卩a24 4b2又0MAB二PAABc1a2a1丄12b2.2 2b c解得a22 22,b1,c1橢圓的標準方程為y2=1(2).點 C 在橢圓上，A、B 是橢圓的兩個焦點 AO BO 2a=2 罷，AB= 2c=2在ABC中，由正弦定理,BCsin A邊2AC ABsin B sin C.sinAsin B_BC AC sinCAB題23。已知長方形ABCD,AB=22,BC=1.以AB的中點O為原點建立如圖8所示的平 面直角坐標系xoy.(I )求以AB

27、為焦點，且過 C D 兩點的橢圓的標準方程；(n )過點P(0,2)的直線I交(I )中橢圓于M,N兩點，是否存在直線I,使得以弦MN為直徑的圓恰好過原點？若存在，求出直線I的方程;若不存在t說明理由. 解析(I )由題意可得點A,B,C的坐標分別為丘,0,72解析(1)v點M是線段PB的中點 OM是PAB的中位線由得：a22 ,b2故橢圓 E 方程為122x22L 1122x悻1的左右兩個焦點，0 為坐標原點，點 P( 1,2)b22在橢圓上，線段 PB 與 y 軸的交點 M 為線段 PB 的中點。(1)求橢圓的標準方程；題22。已知AB 分別是橢圓(2)點C是橢圓上異于長軸端點的任意一點，

28、對于ABC求SinA SinB的值。sin C聯(lián)立方程:y2kX22X22y24消去y整理得，1 2k2X2有8k有X1X21 2k2(n設M,N兩點的坐標分別為22Xy2ab22.22Xy42可設直線I的方程為y kx 2 k 0.xi,yi,x2,y2.8kx 4041 2k2X2設橢圓的標準方程是橢圓的標準方程是11 a b 0.,2 2 2 ,_b a c 42若以MN為直徑的圓恰好過原點，則OM ON,所以X1X2仆0,41 k21 2k22即丄0,1 2k2得k22,k42.所以直線l的方程為y2,或y V2x 2.所以存在過P(0,2)的直線l:y72x 2使得以弦MN為直徑的圓恰好過原點.題24。如圖，在Rt ABC 中，/CAB=90，AB=2 AC=。一曲線E過點 C,動點2P 在曲線 E 上運動，且保持IPA+IPB 的值不變，直線丨經(jīng)過A與曲線E交于MN兩點。(1)建立適當?shù)淖鴺讼担笄€E的方程;(2)設直線 I 的斜率為k，若/ MBr 為鈍角，求 k 的取值范圍。解：(1)以AB所在直線為X軸，AB的中點0為原點建立直角坐標系，貝y A(-1，0），B（1,0）由題設可得所以,XiX2kx12 kx220,k2x1x2