浴缸加水策略模型

1、關于如何控制浴缸水溫的模型摘要人們平時洗澡時用的簡單浴缸很容易受時間、 人類活動等各種因素影響而使 水溫變涼，因此，需要建立一個浴缸的水溫模型來讓整個浴缸盡可能保持適宜的 溫度。1.問題重述簡單浴缸只是一個水容器， 即不帶二次加熱系統(tǒng)和循環(huán)噴流的功能， 所以其很容 易受時間等因素的影響而使水溫降低， 因此就需要在適當?shù)臅r候用水龍頭注入熱 水，使水溫上升并接近初始溫度。 本文要求用建模的方法研究出最佳策略使得用 盡可能少的水來保持初始溫度， 并且考慮模型對人的運動體溫形狀及浴缸形狀體 積的依賴程度，考慮加入泡泡劑后模型的結果。2.問題分析第一問：需要建立一個模型來找出最佳的加水策略。 因此解決

2、這個問題需要找到水的溫度隨時間的變化函數(shù)以及加水時的水 溫變化函數(shù)。 結合兩函數(shù)得出加水時間及每次加水量與最終用水量的函數(shù)關系，利用窮舉法得出最佳的的加水方案。第二問：需要考慮浴缸的形狀、 體積以及人的運動等因素對模 型的依賴程度， 即需要對模型做靈敏度分析以確定模型對各種因素的敏感程度。第三問：因加入了泡泡劑使得模型中的水面蒸發(fā)散熱以及對流散熱受到影響， 需將水面上的泡泡考慮為有一定保溫能力的某種 材料，重新優(yōu)化加入泡泡劑后的最佳加水策略。3.模型假設加泡沫劑后泡泡細膩且均勻的覆蓋在水面上；將人的比熱容近似看作水的比熱容；4.符號說明變量符號變量含義t時間p人體在水中產(chǎn)熱的功率Tn溫度V水的

3、體積v水龍頭水的流量水的密度C水的比熱容S表面積5.模型建立與求解5.1問題一：浴缸和水物理狀態(tài)對溫度的影響 浴缸中水的溫度之所以會降低， 是因為水不僅在上表面會形成蒸發(fā)散熱， 還會與 浴缸發(fā)生熱交換， 所以，此部分針對水和浴缸的吸熱放熱的物理反應， 利用其能 量平衡方程， 建立了一個數(shù)學模型， 繼而在適宜的時間加熱水保證水的溫度在舒 適的范圍之內(nèi)。首先考慮人沒有進入浴缸， 即靜止的浴缸因散熱蒸發(fā)以及池壁與水的熱傳導對水溫造成的影響。根據(jù)熱能守衡原理有水池中減少的熱能 熱傳導引起的熱量損耗 的關系如下：1) 人在浴缸內(nèi)產(chǎn)生熱的功率是恒定；2)3)4) 浴室內(nèi)無風且溫度及飽和氣壓是恒定不變的；與

4、因蒸發(fā)散熱及解釋圖假設浴缸是標準的立方體，水與空氣接觸時，水汽化帶走的熱量以及水面與空氣的熱傳導通過假定室內(nèi)溫度濕度恒定，室內(nèi)無風等理想條件，定出水的蒸發(fā)換熱功率 可以假設人熱為恒溫的即以以恒定的功率產(chǎn)P4,則:P/為水的蒸發(fā)換熱系數(shù)Pv為水面水蒸氣的薄飽和氣壓，pv、常數(shù)故令k hePvPv可得:根據(jù)傅里葉熱傳導公式可得出水與空氣的傳熱功率:p2T1T2bS2/d浴缸四壁的熱傳導功率為:可以假設整個過程人體始終是恒溫的，即以恒定的功率產(chǎn)熱內(nèi)水在無人狀態(tài)下的散熱功率為:利用能量守恒可知浴缸內(nèi)水的瞬時變化的能量即為散熱功率Pv、he都可視為P4，故得浴缸通過式子畫出溫度隨時間變化曲線加入水時帶來

5、了熱量同時也排出了與浴缸內(nèi)的水，給出二者功率可以算出瞬時的 浴缸內(nèi)能量變化：其Q為流量t為進入水的溫度） 由上式不難得出加水時浴缸內(nèi)熱能的瞬時變化： 得出加水時的溫度變化曲線 此時需要在浴缸內(nèi)水溫不太低時加水， 而且加水后水溫不可以太高盡可能的使水 溫接近讓人感到舒適的溫度，在這里假浴缸內(nèi)水的最高溫度為42最低溫度34，因為加水的流量和加入水的溫度是可以合理規(guī)定的， 不妨在此假設一個固定的溫 度及流量。 這樣就可以確定加水的間隔以及每一次加水的時長的范圍， 可以在這 一溫度區(qū)間內(nèi)任取兩值可以算出對應單位時長的耗水量， 利用窮舉發(fā)算出最小耗 水時對應的溫度，通過這個溫度得出對應的加水時長以及間隔

6、。通過分析得出模型的結果便是均勻的在最低溫度加水最低溫度附近不斷的間歇 加水每次加水時間和間隔時間都非常的短， 但現(xiàn)實情況并不允許這樣快的開關頻 率。為了實現(xiàn)最小的耗水量實際生活中可以盡量在感到溫度較低時加水在感到溫 度合適時停止加水。5.2問題二：模型對各因素的依賴程度 在第一問中對人的運動視為的定值現(xiàn)實中人可能在泡澡在跳舞5.21對于泡澡的情況即時之前的分析 對于人在水中跳舞的情況需考慮到其加大了水的散熱面積以及增加了人 的即功率p4變大s2變大 得出幾個對應的不同曲線 對于浴缸的形狀與體積 得出不同的溫度變化曲線 由于考慮到了人的體積不同可以轉化為人的體表面積不同 通過轉化公式得出人的幾

7、種想對應的面積 對應不同的曲線圖 接和不同的圖可以對其做分析可以看出浴缸體積越大溫度的變化越慢即可以適 當?shù)难娱L加水的時間形狀主要看上表面積與體積的比值這個值越大溫度就會變 化得越快，人的運動情況圖可以看出越是大的運動雖然產(chǎn)生了更多的熱但是也會 帶走更多的熱量，即運動幅度約大5.3問題三：泡泡浴劑對模型的影響 加入泡泡浴劑后模型的水面可以化簡為一層空氣膜， 熱以及與空氣的熱傳導且表面積會大許多，泡泡的傳熱性能不好，所以在此僅考 慮泡泡氣膜的熱傳導可以簡化之前的模型不用考慮蒸發(fā)散熱水溫變化會變得緩 慢許多，對于模型的結果更加的支持。這種情況只需增加加水的時間間隔即可 使水溫維持在一比較穩(wěn)定的范圍

8、內(nèi)。5.4模型的誤差分析與檢驗及推廣1） 誤差分析：主要誤差在于題中所用的數(shù)據(jù)是各種數(shù)據(jù)的合理值中任取的，在實際中這些產(chǎn)數(shù) 相互之間可能有聯(lián)系， 即參數(shù)的選取的合理性不能保證， 會導致模型的對應策略 的不同， 但由于策略都指向均勻放水的策略。 分析后的模型不受參數(shù)的影響， 而 在實際情況下的策略需要精確的測定其中的每一項參數(shù)才能找到對應的策略。 模型優(yōu)點：1.我們充分考慮了浴缸在開放空間內(nèi)吸收散熱的大部分情況， 使得模型很符合實 際意義。2.模型利用窮舉法和畫圖法， 將所有舒適溫度情況下， 注入水的情況考慮了進去， 尋求到了最適的溫度下的， 熱水的最小需求量， 提高了模型的實用性和可操作性。3.我們將加入泡泡劑以及人體表面積的因素考慮進去，使得模型適用范圍更廣， 更具參考性。4.模型還考慮了浴缸不同材質的導熱系數(shù)不同而對水散熱造成的不一樣的影響。還有水面飽和氣壓與浴室氣壓之差對水蒸發(fā)帶走熱量的影響。 使模型涉及的內(nèi)容 更全面具體。模型缺點：1.我們沒有考慮對流帶走熱量的情況，在無風的情況下，對流影響較小。2.傅里葉熱傳導方程并不是固定的， 是隨池壁的厚度的不同而改變的， 而我們假 設是固定的，因為泡泡上表面存在蒸發(fā)散以方便建模。7.