天一專升本高數(shù)知識點

1、第一講函數(shù)、極限、連續(xù)1、根本初等函數(shù)的定義域、值域、圖像，尤其是圖像包含了函數(shù)的所有信息。2、函數(shù)的性質，奇偶性、有界性奇函數(shù)：f ( X)f(X)，圖像關于原點對稱。偶函數(shù)：f ( x) f (x)，圖像關于y軸對稱3、無窮小量、無窮大量、階的比擬設a， B是自變量同一變化過程中的兩個無窮小量，那么假設lim訂，那么a是比B高階的無窮小量。(不為0)，貝U a與B是同階無窮小量特別地，假設lima.小1，那么a與B是等價無窮小量(3)假設 lim，那么a與B是低階無窮小量記憶方法：看誰趨向于4、兩個重要極限0的速度快，誰就趨向于 0的本領高。si nx(i)limX 0 XlimX1 &#

2、176; sin x使用方法:拼湊0，一定保證拼湊sin后面和分母保持一致 lim 1X1龍叫(1 x)X e使用方法1后面一定是一個無窮小量并且和指數(shù)互為倒數(shù),a。n nmPn Xb。5、lim0, nmxQm X,nm不滿足條件得拼湊。Pn X的最高次幕是n,Qm X的最高次幕是 m.,只比擬最高次幕，誰的次幕高，誰的頭大，趨向于無窮大的速度快。n m,以相同的比例趨向于無窮大；n m，分母以更快的速度趨向于無窮大;n m，分子以更快的速度趨向于無窮大。7、左右極限左極限：lim f (x) Ax X0右極限：lim f (x) AX X0注：此條件主要應用在分段函數(shù)分段點處的極限求解。8

3、、連續(xù)、間斷連續(xù)的定義：lim y lim f(x° x) f(x°) 0x 0X 0或 lim f (x)f (x0)X x09、間斷：使得連續(xù)定義limx xo記憶方法：1、右邊不存在 間斷點類型f (x)f (x0)無法成立的三種情況2、左邊不存在3、左右都存在，但不相等(i)、第二類間斷點：lim f (x)、limx xof (x)至少有一個不存在、第一類間斷點：lim f (x)、limf (x)都存在xxoxxo注：在應用時，先判斷是不是“第二類間斷點，左右只要有一個不存在，就是“第二類然后再判 斷是不是第一類間斷點；左右相等是“可去，左右不等是“跳躍10、閉

4、區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(1) 最值定理：如果 f(x) 在a,b上連續(xù)，那么 f(x) 在a,b上必有最大值最小值。(2)零點定理：如果f (x)在a,b上連續(xù)，且f (a)f(b) 0至少存在一點，使得f( )0k.第三講中值定理及導數(shù)的應用1、羅爾定理如果函數(shù)y f (x)滿足(1)在閉區(qū)間 a, b上連續(xù)；(2)在開區(qū)間f (a)f (b)，那么在(a,b)內(nèi)至少存在一點，使得f ()0記憶方法腦海里記著一幅圖/2、拉格朗日定理(a,b)內(nèi)可導；(3)，那么f (x)在a, b 內(nèi)如果yf(x) 滿足(1)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)b(2)在開區(qū)間(a,b )內(nèi)可導;那么在(a,b)內(nèi)至少存在一

5、點，使得 f() f(b) f(a)b a腦海里記著一幅圖:(*)推論1 :如果函數(shù)(X)在閉區(qū)間 a,b上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導，且f(X) 0，那么在 (a,b)內(nèi) fJXy =C恒為常數(shù)。記憶方法：只有常量函數(shù)在每一點的切線斜率都為0。(*)推論2:如果 f(x),g(x) 在a,b上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b) 內(nèi)可導，且f (x)g (x),x(a,b)，那么 f (x) g(x) c記憶方法：兩條曲線在每一點切線斜率都相等3、駐點滿足f (x)0的點，稱為函數(shù)f (x)的駐點。幾何意義：切線斜率為 0的點，過此點切線為水平線4、極值的概念設f (x)在點x0的某鄰域內(nèi)有定義，如

6、果對于該鄰域內(nèi)的任一點f(X。) 為函數(shù) f(x) 的極大值，x0稱為極大值點。x,有 f (x) f (x0)，那么稱設f (x)在點x0的某鄰域內(nèi)有定義，如果對于該鄰域內(nèi)的任一點x,有 f (x)f (x0)，那么稱f(X。) 為函數(shù) f(x) 的極小值，Xo稱為極小值點。記憶方法：在圖像上，波峰的頂點為極大值，波谷的谷底為極小值。5、拐點的概念連續(xù)曲線上，凸的曲線弧與凹的曲線弧的分界點，稱為曲線的拐點。6、單調性的判定定理設f (x)在(a,b)內(nèi)可導，如果f (x) 0 ；在圖像上但凡和左手向上趨勢吻合的，是單調減少,f (x)0 ；如果f (x)0，那么f (x)在(a,b)內(nèi)單調減

7、少。記憶方法：在圖像上但凡和右手向上趨勢吻合的，是單調增加,7、取得極值的必要條件8、8、9、9、可導函數(shù)f(x)在點X。處取得極值的必要條件是f (x0) 0取得極值的充分條件第一充分條件：設f(x)在點X。的某空心鄰域內(nèi)可導，且f(x) 在X。處連續(xù)，那么(1) 如果xx0時，f (x)0； xx。時，f (x)0,那么f (x)在x。處取得極大值f (xo)；(2) 如果xXo時，f (x)。； xX。時，f (x)。，那么f (x)在Xo處取得極小值f (Xo)；(3) 如果在點xo的兩側， f (x) 同號，那么 f(x) 在Xo處沒有取得極值；記憶方法：在腦海里只需記三副圖，波峰的

8、頂點為極大值，波谷的谷底為極小值。第二充分條件：，設函數(shù)f ( x)在點Xo的某鄰域內(nèi)具有一階、二階導數(shù)，且f ( X。) 。， f (Xo)。那么(1)如果f(X。)。，那么f(X)在Xo處取得極大值f(X。)；(2)如果f(X。)。，那么f (X)在X。處取得極小值f (Xo)凹凸性的判定設函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)具有二階導數(shù)，(1)如果f (x)0,x(a,b)，那么曲線f(x)在(a,b)內(nèi)凹的；(2)如果f (x)0, x (a, b)，那么f (x)在(a,b)內(nèi)凸的。圖像表現(xiàn)：t/f 漸近線的概念一、 曲線f (x)在伸向無窮遠處時，能夠逐步逼近的直線，稱為曲線的漸近線。(1)

9、 水平漸近線：假設limf(x) A,那么y f (x)有水平漸近線y AXf (x)求斜漸近線：假設lima, limax b，貝y y ax b為其斜漸近線。(2) 垂直漸近線：假設存在點x0， lim f (x) ，那么yf(x)有垂直漸近線x x011、洛必達法那么遇到“ 0、“ 一，就分子分母分別求導，直至求出極限。0如果遇到幕指函數(shù)，需用f (x) elnf(x)把函數(shù)變成“ 0 、0第二講導數(shù)與微分1、導數(shù)的定義(f (Xo) limo y limo f(Xox)f(xJ0f (x0h)f (x0)(2) 、 f (x0) lim 0-' p， h 0h(3) 、f (x

10、0) lim f(x) f(X。)x x0x x0注：使用時務必保證 x0后面和分母保持一致，不一致就拼湊。2、 導數(shù)幾何意義：f(X。) 在x x°處切線斜率法線表示垂直于切線，法線斜率與f (x0)乘積為一13、導數(shù)的公式，記憶的時候不僅要從左到右記憶，還要從右到左記憶。4、求導方法總結(1) 、導數(shù)的四那么運算法那么(2) 、復合函數(shù)求導：y f x是由y f(u)與u (x)復合而成，那么(3) 、隱函數(shù)求導對于F(X, y) 0，遇到y(tǒng)，把y當成中間變量u，然后利用復合函數(shù)求導方法。(4) 、參數(shù)方程求導dy設x(t)確定一可導函數(shù)yf (x)，那么 dydt(t)y (t

11、)dxdx(t)dt(5) 、對數(shù)求導法先對等號兩邊取對數(shù)，再對等號兩邊分別求導(6) 、幕指函數(shù)求導v(x)In a幕指函數(shù)y u(x)，利用公式a eIn u(x)v(x)v(x) In u(x)yee然后利用復合函數(shù)求導方法對指數(shù)單獨求導即可。第二種方法可使用對數(shù)求導法，先對等號兩邊取對數(shù)，再對等號兩邊分別求導注：優(yōu)選選擇第二種方法。5、高階導數(shù)對函數(shù)f(X)屢次求導，直至求岀。6、微分記憶方法：微分公式本質上就是求導公式，后面加7、可微、可導、連續(xù)之間的關系可微 可導可導連續(xù)，但連續(xù)不一定可導8、可導與連續(xù)的區(qū)別。腦海里記憶兩幅圖(1f2y x 在x=o既連續(xù)又可導。所以可導比連續(xù)的要

12、求更高。第四講原函數(shù)與不定積分dx，不需要單獨記憶。(2)八y x在x=o只連續(xù)但不可導。不定積分1、原函數(shù)：假設F (x) f (x)，那么F(x)為f (x)的一個原函數(shù);2、不定積分：f (x)的所有原函數(shù) F (x) +C叫做f (x)的不定積分，記作f(x)dx F(x) C二、不定積分公式記憶方法：求導公式反著記就是不定積分公式三、不定積分的重要性質1、f(x)dxf (x)或d f (x)dx f (x)dx2、f (x)dx f (x) c注：求導與求不定積分互為逆運算。四、積分方法1、根本積分公式2、第一換元積分法(湊微分法)把求導公式反著看就是湊微分的方法，所以不需要單獨記

13、憶。3、第二換元積分法2、a2x令xa si nt三角代換,x22 a令xasectx22 a令xata nt三角代換主要使用兩個三角公式：sin 2t cos211,1 tan2t sec2t4、分部積分法udv uvvdu第五講定積分1、定積分定義bf(x)dxan嘰 i1f(i)如果f (x)在a,b上連續(xù)，那么f(x) 在a,b上一定可積。理解：既然在閉區(qū)間上連續(xù)，那么在閉區(qū)間上形成的就是一個封閉的曲邊梯形，面積存在所以一定 可積，因為面積是常數(shù)，所以定積分如果可積也是常數(shù)。2、定積分的幾何意義(1)如果f (x)在a, b上連續(xù)，且f (x)0,那么bf (x)dx表示由 f (x)

14、，x a,x b,xa(2)軸所圍成的曲邊梯形的面積。S=ba f (x)dx。如果f (x)在a, b上連續(xù)，且f(x) 0，S=f (x)dx。3、定積分的性質：bb(1)akf(x)dx k 玄 f (x)dxba g(x)dxbbf (x) g(x)dx= a f (x)dx(3)ba f(x)dxca f (x)dx cg(x)dx(4)b1dx baaa f(x)dx 0ab f(x)dxba f(x)dx(5)如果f (x)bg(x)，那么 f (x)dxabag(x)dx(6)記憶：小長方形面積(7)積分中值定理積 大長方形面積設m,M分別是f (x)在a, b的min, ma

15、x,那么b如果 f(x) 在a,b上連續(xù)，那么至少存在一點a,b，使得a f (x)dx f ( )(b a)記憶：總可以找到一個適當?shù)奈恢?，把凸岀來的局部切下，剁成粉末，填平在凹下去的局部?曲邊梯形變成一個長方形。1 b稱f(x)dx為f (x)在a,b上的平均值。be a、丿、，a4、積分的計算(1)、變上限的定積分x注：由此可看岀來(x) f(t)dt是f(x)的一個原函數(shù)。而且變上限的定積分的a自變量只有一個是 x而不是t(2)、牛頓一萊布尼茲公式設f (x)在a,b上連續(xù)，F(xiàn)(x)是f (x)的一個原函數(shù)，那么f (x)dxF(x)F(b) F(a)由牛頓公式可以看岀，求定積分，本

16、質上就是求不定積分, 只不過又多岀一步代入積分上下限，所以求定積分也有四種方法。5、奇函數(shù)、偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的定積分a(1)、假設f (x)在 a,a上為奇函數(shù)，那么f (x) 0a(2)、假設f (x)在 a,a上為偶函數(shù)，那么f(x)a2 0 f(x)dx積分。注：此方法只適用于對稱區(qū)間上的定積分。6、廣義積分(1) 無窮積分7、定積分關于面積計算旋轉體體積副圖。(1)y I曲線f (ab! X軸旋轉一周x所得旋轉體體積:Vx2f (x) dx) g(x) dx，記憶：面積等于上函數(shù)減去下函數(shù)在邊界a,b上的定Vxg2(x) dx陰影局部繞繞 x軸旋轉一周所得旋轉體體積:Vy:Vy2(y

17、) dy2(y)2(y)dy(二)、直線與平面的相關考試內(nèi)容、二元函數(shù)的極限定義：設函數(shù)z f (x, y)在點(x0,y0)某鄰域有定義(但(x0, y0)點可以除外)，如果當點(x, y)無論沿著任何途徑趨向于(X。，yo)時，z f (x, y)都無限接近于唯一確定的常數(shù)a，那么稱當點(x, y)趨向于(x0, y0)時，z f (x, y)以a為極限，記為二、二元函數(shù)的連續(xù)性假設 lim f (x, y) f (xo, yo)，那么稱 zf (x,y)在點(x°,y°)連續(xù)。(x,y) (xo,yo)注：z f (x,y)的不連續(xù)點叫函數(shù)的間斷點，二元函數(shù)的間斷點可

18、能是一些離散點，也可能是一條或多條曲線。三、二元函數(shù)的偏導數(shù)四、偏導數(shù)求法由偏導數(shù)定義可看岀，對哪個變量求偏導就只把哪個變量當成自變量，其它的變量都當成常數(shù)看待。, Z , z .五、全微分：dz dx dyx y六、二元函數(shù)的連續(xù)、偏導、可微之間的關系二元函數(shù)可微，那么必連續(xù)，可偏導，但反之不一定成立。假設偏導存在且連續(xù)，那么一定可微。函數(shù)z f (x, y)的偏導存在與否，與函數(shù)是否連續(xù)毫無關系。七、二元復合函數(shù)求偏導設zf (u,v),u(x, y),v(x, y)，zz uz vz zuz v那么xu xv xy uyv y注：有幾個中間變量就處理幾次，按照復合函數(shù)求導處理 八、隱函數(shù)

19、求偏導方程F(x,y,z) 0確定的隱函數(shù)為 z f (x, y)，那么對等號兩邊同時對 x求導，遇到z的函數(shù),把z當成中間變量第八講多元函數(shù)積分學知識點重積分的概念、性質叫Hd/.V f，幾何意義：代表由f (x, y), D圍成的曲頂柱1、f(x,y)dxdyD體體積。2、性質:(1) kf (x, y)dxdy k f (x, y)dxdyDD(2) f (x,y) g(x,y) dxdy= f(x,y)dxdy+ g(x,y)dxdyDDD(3) 、dxdy DD(4) DD1 D2, f (x, y)dxdy= f (x, y)dxdy + f (x, y)dxdyDDD 2(5)

20、假設 f (x,y) g(x,y)，那么 f (x,y)dxdy g(x,y)dxdyDD假設 m f (x, y) M ,那么 mD f (x, y)dxdy MDD設f (x, y)在區(qū)域D上連續(xù)，那么至少存在一點(，) D，使f(x,y)dxdy f( , )DD二、計算(1) D：a x b, 1(x) y 2(x) d： c y d, i(y) x 2(y)，技巧：“誰的范圍最容易確定就先確定“誰的范圍，然后通過劃水平線和 垂直線的方法確定另一個變量的范圍(3) 極坐標下： x r cos , y rsin ,dxdy rdrd三、曲線積分(1)假設積分路徑為 L :y(x),a xb，那么L f (x, y)ds =baf(x, (x) .1 (x)2dx(2)假設積分路徑為 L :x(y),c yd，那么Lf (x,y)ds=dc f(y),y) 1 (2(y) dyx(t)