高等數(shù)學(xué)專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)之常微分方程

1、高等數(shù)學(xué)專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)之常微分方程第一部分學(xué)習(xí)目的 2第二部分學(xué)習(xí)重點(diǎn) 2第三部分學(xué)習(xí)難點(diǎn) 2第四部分內(nèi)容提要 3第一節(jié)微分方程模型 31 微分方程的產(chǎn)生和發(fā)展 32 微分方程模型 4第二節(jié)基本概念9第三節(jié)微分方程的類(lèi)型及其解法 101 一階微分方程 102 高階微分方程 20第四節(jié)微分方程公式運(yùn)用表 291 一階微分方程 292 可降階的高階微分方程 293 線(xiàn)性微分方程 30第五節(jié)微分方程的簡(jiǎn)單應(yīng)用 311 在幾何中的應(yīng)用 312 在力學(xué)中的應(yīng)用 33微分方程是高等數(shù)學(xué)中理論和應(yīng)用都較強(qiáng)的一部分是微積分學(xué)的一個(gè)直接延續(xù)它包括兩個(gè)主要方面：第一方面是求給定常微分方程的解第二方面是常微分方程的應(yīng)用.

2、第一部分學(xué)習(xí)目的1,理解微分方程的一般概念；2,熟練掌握分離變量方程、齊次方程、一階線(xiàn)性方程、伯努利方程、全微分方程的解法；3,掌握可降階的三種二階特殊類(lèi)型的微分方程的解法；4.深刻理解二階線(xiàn)性方程解的結(jié)構(gòu)；n(n 3)5,熟練掌握二階常系數(shù)線(xiàn)性齊次與非齊次方程的解法，了解階常系數(shù)線(xiàn)性齊次與非齊次方程的解法；6,掌握用微分方程解決實(shí)際問(wèn)題的步驟.第二部分學(xué)習(xí)重點(diǎn)微分方程的一般概念，可分離變量的方程，一階線(xiàn)性方程，二階常系數(shù)線(xiàn)性方程，第三部分學(xué)習(xí)難點(diǎn)識(shí)別一階微分方程的各種類(lèi)型；二階常系數(shù)線(xiàn)性非齊次方程的特解的求法，第四部分內(nèi)容提要第一節(jié)微分方程模型一微分方程的產(chǎn)生和發(fā)展常微分方程有著深刻而生動(dòng)的

3、實(shí)際背景，它從生產(chǎn)實(shí)踐與科學(xué)技術(shù)中產(chǎn)生，又成為現(xiàn) 代科學(xué)技術(shù)分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的強(qiáng)有力工具。該課程是與微積分一起成長(zhǎng)起來(lái)的學(xué)科， 是學(xué)習(xí)泛函分析、數(shù)理方程、微分幾何的必要準(zhǔn)備，本身也在工程力學(xué)、流體力學(xué)、天體 力學(xué)、電路振蕩分析、工業(yè)自動(dòng)控制以及化學(xué)、生物、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用。30夠年前，Newton LeibniZ定微積分基本思想的同時(shí)就正式提出了微分方程的 概念.1泄紀(jì)末到181紀(jì)，常微分方程研究的中心問(wèn)題是如何求出通解的表達(dá)式1馳紀(jì)末到2cB紀(jì)處，主要研究解的定性理論與穩(wěn)定性問(wèn)題.2皿紀(jì)進(jìn)入新的階段，定性上升到理論，進(jìn)一步發(fā)展分為解析法、幾何方法、數(shù)值方法.解析方法是把微分方程的解看

4、作是依靠這個(gè)方程來(lái)定義的自變量的函數(shù)幾何方法：（或定性方法）把微分方程的解看作是充滿(mǎn)平面或空間或其局部的曲線(xiàn)族.數(shù)值方法：求微分方程滿(mǎn)足一定初始條件（或邊界滌件的解的近似彳1的各種方法 .微分方程差不多是和微積分同時(shí)先后產(chǎn)生的，蘇格蘭數(shù)學(xué)家耐普爾創(chuàng)立對(duì)數(shù)的時(shí)候，就討論過(guò)微分方程的近似解。牛頓在建立微積分的同時(shí)，對(duì)簡(jiǎn)單的微分方程用級(jí)數(shù)來(lái)求解。后來(lái)瑞士數(shù)學(xué)家雅各布 貝努利、歐拉、法國(guó)數(shù)學(xué)家克雷洛、達(dá)朗貝爾、拉格朗日等人又不斷地研究和豐富了微分方程的理論。常微分方程的形成與發(fā)展是和力學(xué)、天文學(xué)、物理學(xué)，以及其他科學(xué)技術(shù)的發(fā)展密切相關(guān)的。數(shù)學(xué)的其他分支的新發(fā)展，如復(fù)變函數(shù)、李群、組合拓?fù)鋵W(xué)等，都對(duì)常微

5、分方 程的發(fā)展產(chǎn)生了深刻的影響，當(dāng)前計(jì)算機(jī)的發(fā)展更是為常微分方程的應(yīng)用及理論研究提供 了非常有力的工具。牛頓研究天體力學(xué)和機(jī)械力學(xué)的時(shí)候，利用了微分方程這個(gè)工具，從理論上得到了 行星運(yùn)動(dòng)規(guī)律。后來(lái)，法國(guó)天文學(xué)家勒維烈和英國(guó)天文學(xué)家亞當(dāng)斯使用微分方程各自計(jì)算 出那時(shí)尚未發(fā)現(xiàn)的海王星的位置。這些都使數(shù)學(xué)家更加深信微分方程在認(rèn)識(shí)自然、改造自 然方面的巨大力量。微分方程的理論逐步完善的時(shí)候，利用它就可以精確地表述事物變化所遵循的基本規(guī) 律，只要列出相應(yīng)的微分方程，有了解方程的方法。微分方程也就成了最有生命力的數(shù)學(xué) 分支。二微分方程模型微分方程是數(shù)學(xué)聯(lián)系實(shí)際問(wèn)題的重要渠道之一 將實(shí)際問(wèn)題建立成微分方程模

6、型最初 并不是數(shù)學(xué)家做的，而是由化學(xué)家、生物學(xué)家和社會(huì)學(xué)家完成的。例1物體冷卻過(guò)程的數(shù)學(xué)模型將某物體放置于空氣中，在時(shí)刻t0時(shí)，測(cè)得它的溫度為u C, 1吩鐘后測(cè)0 150得溫度為i 100uC.確定物體的溫度與時(shí)間的關(guān)系，并計(jì)算20H中后物體的溫度.假定空氣的溫度保持為u 24C . a解設(shè)物體在時(shí)刻t的溫度為uu(t),由牛頓(Newton)卻定律可得du dtk(u u) (k 0, u u)aa(1.1)這是關(guān)于未知函數(shù)u的一階微分方程利用微積分的知識(shí)將（1.欽為(1.2)du kdt u ua兩邊積分得到ln（ ）kt c c為任意常數(shù)u uacekt(1.3)根據(jù)初始條件，當(dāng)t0時(shí)

7、，u u ,得常數(shù)c uu00a于是u u (u u)e kta 0 a(1.4)u u u e kaa(0)再根據(jù)條件t 10H中時(shí)，u u得到 u 1110In u0uaua將u u u0 1501 100a 24代入上式得到1 150 24 1 In 10 100 24 10ln1.66 0.051從而，u 24 126 0.051(1.5)由方程（1.5）知，當(dāng)t2g鐘時(shí)物體的溫度u C而且當(dāng)t2 70時(shí)，u 24C.溫度與時(shí)間的關(guān)系也可通過(guò)圖形表示出來(lái).如圖（1.1可解釋為：經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，物體的溫度和空氣的溫度將會(huì)沒(méi)有什么差別了.事實(shí)上，經(jīng)過(guò)2小時(shí)后，物體的溫度已變?yōu)?4C ,與空

8、氣的溫度已相當(dāng)接近 .法律破案判斷尸體的死亡時(shí)間就是用這一冷卻過(guò)程的函數(shù)關(guān)系來(lái)判斷的例 2 動(dòng)力學(xué)問(wèn)題物體由高空下落，除受重力作用外，還受到空氣阻力的作用，空氣的阻力可看作與速度的 平方成正比試確定物體下落過(guò)程所滿(mǎn)足的關(guān)系式.解設(shè)物體質(zhì)量為 m,空氣阻力系數(shù)為 k,又設(shè)在時(shí)刻t物體的下落速度為 v,于是在時(shí) 刻t物體所受的合外力為 F mg kV建立坐標(biāo)系，取向下方向?yàn)檎较?根據(jù)牛頓第二定 律得到關(guān)系式dvm mg kv(1.6)2dt而且,滿(mǎn)足初始條件t0時(shí),V0(1.7)例3電力學(xué)問(wèn)題在如圖(1.所示的R LC電路，它包括電感L、電阻R和電容C設(shè)R、L、C均為常數(shù)，電源et)是時(shí)間t的已

9、知函數(shù) 建立當(dāng)開(kāi)關(guān)K合上后，電流I應(yīng)滿(mǎn)足的微分方程.解 經(jīng)過(guò)電感L、電阻 咫口電容C的電壓降分別為： L d、RI和 Q ,其中Q為電 dtC量，由基爾霍夫第二定律得到dIQ(1.8et) L RI dtC因?yàn)镮dQ有dtd I RdI I 1det)2dt Ldt LC L dt2(1.9這就是電流I應(yīng)滿(mǎn)足的微分方程.如果e(t)=熟，得到d I RdI I2(1.10 dt L dt LC如果又有R 0,則得到2dt0LC(1.11例4人口模型英國(guó)人口統(tǒng)計(jì)學(xué)家馬爾薩斯（MalthUs 1798提出了聞名于世的MalthuS 口模型 的基本假設(shè)是：在人口自然增長(zhǎng)的過(guò)程中，凈相對(duì)增長(zhǎng)率（單位時(shí)

10、間內(nèi)人口的凈增長(zhǎng)數(shù)與人口總數(shù)之比）是常數(shù)，記此常數(shù)為 r （生命系數(shù)）t這段時(shí)間內(nèi)人口數(shù)量NN（t）的增長(zhǎng)量為N(t t) Nt) rNt) t (N(t t 1rt) N(t)N(t)n ce其中c 百為任意常數(shù).（因?yàn)镹0也是方程（1.17的解.如果設(shè)初始條件為t t 時(shí)，N(t) N00(1.14于是N（t）滿(mǎn)足微分方程(1.12dN rN dt將上式改寫(xiě)為dN rdtN于是變量N和t被分離”，兩邊積分得InN rt c(1.13代入上式可得rt，.即方程(1.17滿(mǎn)足初值條件(1.19的解為c Ne00N(t)Nert t(1.15()00如果r 0,上式說(shuō)明人口總數(shù) Nt)將按指數(shù)規(guī)

11、律無(wú)限增長(zhǎng)將時(shí)間t以1年或1(#離散化，那么可以說(shuō)，人口數(shù)是以e為公比的等比數(shù)列增加的.當(dāng)人口總數(shù)不大時(shí)，生存空間、資源等極充裕，人口總數(shù)指數(shù)的增長(zhǎng)是可能的.但當(dāng)人 口總數(shù)非常大時(shí)，指數(shù)增長(zhǎng)的線(xiàn)性模型則不能反映這樣一個(gè)事實(shí)；環(huán)境所提供的條件只能供養(yǎng)一定數(shù)量的人口生活，所以MalthUt型在N(t)很大時(shí)是不合理的荷蘭生物學(xué)家VerhulStA常數(shù)N (環(huán)境最大容納量)表示自然資源和環(huán)境條件所m,即凈相對(duì)增長(zhǎng)率隨 Nt)的增加N(t)容納的最大人口數(shù)，并假設(shè)凈相對(duì)增長(zhǎng)率為r1而減少，當(dāng)N(t) N時(shí)，凈增長(zhǎng)率0m按此假定，人口增長(zhǎng)的方程應(yīng)改為(1.16dNdt這就是Logistic型當(dāng)Nr 1N

12、N mN與N相比很大時(shí), mrN與rN相比可以忽略，則模型變?yōu)?2MalthUS型；但 N與N相比不是很大時(shí),mNmrN 這一項(xiàng)就不能忽略，人口增長(zhǎng)的速度要 2緩慢下來(lái) 我們用Logistic型來(lái)預(yù)測(cè)地球未來(lái)人數(shù)，某些人口學(xué)家估計(jì)人口自然增長(zhǎng)率為而統(tǒng)計(jì)得世界人口在 I960為29也，增長(zhǎng)率為1.85%由Logis媵型.0.029,即世界人口容量,可得 N 82.3 10m29.8108829.810(1.21 ,有 0.0185 0.0291Nm82.怒，以（1.21式右端為二項(xiàng)多項(xiàng)式，以NNm為頂點(diǎn)，當(dāng)N2Nm時(shí)人口增長(zhǎng)率2增加；當(dāng)NT時(shí)增長(zhǎng)率將逐漸減Nm時(shí)人口增長(zhǎng)率減少，即人口增長(zhǎng)到 m

13、41.151022少.這與人口在20ts紀(jì)7砰代為40乙左右時(shí)增長(zhǎng)率最大的統(tǒng)計(jì)結(jié)果相符.小結(jié)：從以上的討論可以看出，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型這一事實(shí)，這正是許多 應(yīng)用數(shù)學(xué)工作者和工程應(yīng)用模擬方法解決物理或工程問(wèn)題的理論根據(jù).以上我們只舉出了常微分方程的一些簡(jiǎn)單的實(shí)例，其實(shí)在自然科學(xué)和技術(shù)科學(xué)的其它領(lǐng)域中，都提出了大量的微 分方程問(wèn)題所以說(shuō)，社會(huì)的生產(chǎn)實(shí)踐是微分方程理論取之不盡的基本源泉此外，常微分方程與數(shù)學(xué)的其它分支的關(guān)系也是非常密切的，它們往往互相聯(lián)系、互相促進(jìn)例如，幾何學(xué)就是常微分方程理論的豐富的源泉之一和有力工具.考慮到常微分方程是一門(mén)與實(shí)際聯(lián)系比較密切的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，我們自然應(yīng)該注意它

14、的實(shí)際背景與應(yīng)用；而作為一門(mén)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，我們又應(yīng)該把重點(diǎn)放在應(yīng)用數(shù)學(xué)方法研究微分方程本身的問(wèn)題上.因此，在學(xué)習(xí)中，不應(yīng)該忽視課程中所列舉的實(shí)際例子以及有關(guān)的習(xí)題，并從中注意培養(yǎng)解決實(shí)際問(wèn)題的初步 能力.但是，按照課程的要求，我們要把主要精力集中到弄清常微分方程的一些基本理論和 掌握各種類(lèi)型方程的求解方法這兩方面來(lái)，這是本課程的重點(diǎn)，也是我們解決實(shí)際問(wèn)題的 必要工具而解決的過(guò)程為：（1）建立方程；（2）求解方程；（3）分析問(wèn)題.關(guān)鍵的是第一 步，即對(duì)所研究問(wèn)題，根據(jù)已知定律公式以及某些等量關(guān)系列出微分方程和相應(yīng)的初始條件.如果指出了由微分方程所確定的未知函數(shù)的求法，那么未知量間的關(guān)系便找到了尋

15、求微分方程所確定的未知函數(shù)是微分方程理論的基本問(wèn)題第二節(jié)基本概念1 .微分方程：凡表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量之間的關(guān)系的方程，叫做微 分方程.未知函數(shù)是一元函數(shù)的叫做常微分方程；未知函數(shù)是多元函數(shù)的叫做偏微分方程附注：本章僅限于討論常微分方程 .2 .微分方程的階：微分方程中未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)（或微分）的階數(shù)，稱(chēng)為微分方程 的階.3 .微分方程的解：代入微分方程能使其兩端成為恒等式的函數(shù)，稱(chēng)為微分方程的解(這個(gè)函數(shù)的圖形，稱(chēng)為該微分方程的積分曲線(xiàn))4 .微分方程的通解：如果微分方程的解中含有獨(dú)立的任意常數(shù)，且任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同,則這樣的解稱(chēng)為微分方程的通解(x,C,

16、C, C)附注：所謂函數(shù)_C,C,含有個(gè)獨(dú)立常數(shù)(n)1)(n1)(x,C,C,C)y1 0的某個(gè)鄰域，使得行列式n2(k)表不的階導(dǎo)數(shù).5 .微分方程的初始條件：確定微分方程通解中任意常數(shù)所給出的條件,稱(chēng)為定解條件如果這樣的定解條件是在同一時(shí)刻給出的，稱(chēng)為微分方程的初始條件6 .微分方程的特解：由初始條件定出通解中的任意常數(shù)后得到的解，稱(chēng)為微分方程的特解.附注：有的參考書(shū)上將微分方程的特解定義為：由初始條件定出通解中的任意常數(shù)后得到的解或不含任意常數(shù)的解，稱(chēng)為微分方程的特解.這個(gè)定義比教材上更廣泛些.例如,2dy對(duì)于微分方程dxy sinX C).易證函數(shù)也是該方程的解，但它不能由通解中取適

17、當(dāng)?shù)某?shù)得到.按照教材的定義，它就不是特解第三節(jié)微分方程的類(lèi)型及其解法階微分方程(1)可變量分離的微分方程形如的微分方程，稱(chēng)為可變量分離的方程g(y) o當(dāng)時(shí)，方程(1)可寫(xiě)成兩端分別積分得到原方程的通解yg(w)o y若存在 使得，則0y附注：0yf(x>a» dy 隴加乂.這里假設(shè)dyf(X1,g(y)x,y分別是的連續(xù)函數(shù).dy(2)f xdx()y也是該方程的解.0這種形式的解，有時(shí)可能包含在通解中(即可在通解中取適當(dāng)?shù)某?shù)得到)，有時(shí)不包含在通解中(即在通解中取任意常數(shù)都得不到這種解).另一方面，若只求方程的通解，可不考慮這種形式的解例1求方程豕yy的通解.y解：當(dāng)1

18、時(shí)，分離變量得ydy1 2ydx , 3x兩邊積分ydy1 C13x101/C3x這就是所求的通解.#y注意：1也是原方程的解且不包含在通解中.如果題目改成求方程的解，則除了求出通解外，還需求出這樣的解（2）齊次微分方程yI1yf（x,y） x'f（x,y）如果一階微分方程中的可以寫(xiě)成 的函數(shù)，即y f（x y） x則稱(chēng)這方程為齊次方程.求解方法是作變量代換后將其化為可分離變量方程，然后求解y u xu將此代入（那兩邊積分51u xu (u)r1，*1duprqdx(i) ux ,dudx ,yuyx令 ，即uxx(U uy x u求出積分后，再用代替 便得齊次方程的通解dy xydx

19、 x2 y例2求方程y| 012滿(mǎn)足的特解.xx解:這是齊次方程.令 ，得u1 u 12xUdu dx1 u u x2 3或兩邊積分du dxu3x其中.代回1由初始條件得22uxuInu InCe2u2得原方程的通解Ce2y22y2C 1.故所求特解為(3*)可化為齊次微分方程的方程對(duì)于形式為axia x2by1by2cic2(4)c c的微分方程，當(dāng)0時(shí)是齊次方程，否則不是齊次微分方程.在非齊次方程情形，當(dāng)2時(shí)，作代換X hy Y k,共中 為新自變量,為新未知hk函數(shù)， 為待定常數(shù)，將方程(4化為關(guān)于和 的齊次方程，求出這方程的通解，再0時(shí)，作適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q，將方程化為可a b換回原變量

20、，即為方程 （4）勺通解；當(dāng) 22分離變量方程，在其通解中換回原變量，即為方程（4的通解.dy y x 2 dx x y 4例3解方程.12x 4y 0 y 1 1解：因?yàn)?，所以解代?shù)方程組，得到2作變dY Y XXx 3 x X 3Y y 1 y Y 1dX Y X量變換,則原方程化為.這是齊次方程X,則此方程變?yōu)閐u u 1 u XdX 1 u化簡(jiǎn)并變量分離，得到u 112 du dXu 1X兩邊積分，得到IIln( u)12 Iarctan InXi C2 .Yu /一X V化簡(jiǎn)并用 代入，得到, Yarctan.22因此原方程的通解為y 1arctan(22x3 (y ) ce.#(4

21、) 一階線(xiàn)性微分方程形式為y Px)yax)的方程，稱(chēng)為一階線(xiàn)性微分方程.ax)0時(shí)，則(5溝yRx)y0(6)(6稱(chēng)為一階線(xiàn)性齊次微分方程.方程(6的解法：P(x)dx(i)分離變量法；(ii)公式法：yCeRdxPW其中記號(hào)表示 的某個(gè)原函數(shù).Qx） 0y P（x）y 0當(dāng)不成立時(shí)，則（5內(nèi)一階線(xiàn)性非齊次微分方程.此時(shí)稱(chēng)為它所對(duì)應(yīng)的線(xiàn)性齊次微分方程.設(shè)（5的一階線(xiàn)性非齊次微分方程.則它的通解結(jié)構(gòu)：設(shè)（5所對(duì)應(yīng)的線(xiàn)性齊次方程 （6）勺Yy*y Y y*通解為 ，方程（5）勺一個(gè)特解為，則方程（5）勺通解為方程（5）勺解法：P（X>dx（i滯數(shù)變易法求出它所對(duì)應(yīng)的線(xiàn)性齊次方程（6）勺通解

22、;將通解中的任C u（x）意常數(shù)換成函數(shù)，設(shè)P(x)dxu(x)e為方程（5）勺解，將（7）弋入（5）求出便得（5的通解.（i於式法u（x）（其中包含任意常數(shù)）；把求出的u«代入yQxePxddx C e p( )()()xdx(8)方程（5）勺通解也可以寫(xiě)成IxtyCPt） xP（s）dsdtex Qt)edt00xx ,x II RX)Q«C其中為的連續(xù)區(qū)間)，為任意常數(shù).附注：與非線(xiàn)性方程不同線(xiàn)性方程的通解包含了方程的所有解(x 1)(dy ny xdx例4求方程1)1e n x n的通解，這里為常數(shù).解：將原方程改寫(xiě)為dy xniy (x 1n e先求它所對(duì)應(yīng)的齊線(xiàn)

23、性方程為dy nydx x 1dy n Iydx x 1的通解.由，經(jīng)變量分離后得到此齊線(xiàn)性方程的通解為y qxn1) .#其次，應(yīng)用常數(shù)變易法求原非齊線(xiàn)性方程的通解y.為此,設(shè)u(X1(xn1)并將它代入到原方程得到dy(dux>(x1)dxdx化簡(jiǎn)后，得到兩邊積分，得到C這里是任意常數(shù)dy1)(ny1) 1dxn 1 n(x 1)dU) dxu(x)于是原方程的通解為(xu(x)u(x)(X 1)n(xn x1) e1)n ex.#附注：也可直接套用公式求方程1)(x 1)dynydx的通解如下：dxdx(5貝努利方程dx C x n ex Cx n x 1e (x 1) e(1)(

24、)形式為yRX)yQx)y n()(9)的方程稱(chēng)為Bernoulli程.0,1z 1zynBernoUllr程的解法：作代換,可以將Bernoufti程化為以為未知函數(shù)的一階線(xiàn)性方程N(yùn) (1 n)P(x)z (1r)Q(x)y1zn求出這方程的通解后，再將換成 ，即為方程(9的通解.(x y xyy 1y(1) 1例5求的解.(x y xy yyx)1解：方程不是以為未知函數(shù)，為自變量的 Bernou歷程，但我3x2 y yx|2的BernoUB程.于是它的通解為們可將它改寫(xiě)為dxdyxyn它是以 為未知函數(shù)， 為自變量且1 21y22xCe2 y )yC(1) 1將初始條件：代入得到.于是所

25、求的解為x(2 y2)1.#(6企微分方程y f（x,y）當(dāng)把一階微分方程寫(xiě)成對(duì)稱(chēng)形式Rx ydx Q(x y)dy 0 (10) p(x ydx Qx y)dyu(x y時(shí)，如果其左邊恰好是某個(gè)二元函數(shù)的全微分，即d(x,y)Rx,y)dx Qxy)dy, 則稱(chēng)(1曲全微分方程.P Q , y x G 命題：設(shè)在單連通區(qū)域內(nèi)連續(xù)，則(1曲全微分方程的充分必要條件是PQi I1yxG在內(nèi)恒成立.注意：凡是可分離變量的方程一定是全微分方程全微分方程的解法：u(xy)。)奏全微分法將所給的方程重新組合，使之左邊是某個(gè)二元函數(shù)的全微分,u(xy)C右邊為零，則所給方程的通解為u(x 廠(chǎng) dUxy)

26、-P(xy)dx Qxy)dy(ii而定積分法要找函數(shù)使得，即uu.Rxy),Qxy)u Rx y xx由對(duì)求不定積分,(11)u(xy)Rxy)dx(y)其中起不定積分中積分常數(shù)的作用；u qxy)Uxy) y(y)(y)y將 對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)，代入中，定出 .再將 代入(11即得所給全微分方程的通解.Rxy dx)(iii)fi線(xiàn)積分法(公式法)設(shè)Qx,y)dy 0G(是定義在單連通區(qū)域內(nèi)的Q6t)dtPst)dsu(xy) C全微分方程，取曲線(xiàn)積分u(xy)(xy)(X,y)(x0 yG,)其中是區(qū)域中的一個(gè)給定的點(diǎn).則便是方程所求的通解（長(zhǎng)例6求方程Rxy）解：記6ky )dx (&

27、 y34y )dy0的通解.因此方程為3(226xy QxS26x y4y(為y)微分方程.則12y(0,0)u23<2 6Xyu26x y y得到為確定Uxy)x(y)u(X yy4dy323< y(僅0u(x,y)34y因此，方程的通解為C其中為任意常數(shù).#在某些情況下，形如y 6xy )dx(y)3x y(y)u26X y4yx36x y32y2件積分后，中，得到3 u(Xy) xX3 3 2 2 x y代入到等式6x y 4y中,(y) y.將2 23x yP(x ydx Qx y)dy 0(12)y的微分方程雖然不是全微分方程(這里(x y函數(shù)乘以(12的左邊后能將其化為

28、全微分dRy)(x,y)P(xy)dx(x y)Px ydx(x y)Qxy)dy0這時(shí)(x,y)稱(chēng)為方程(12的積分因子.xG在內(nèi)不恒成立)，但用不恒等于零的(x,y)Qx,y)dy就是全微分方程了.象這樣的函數(shù)方程(1曲解法：(xy)積分因子法 先求出積分因子.一般地，求非全微分方程的積分因子是困難的,(13).如x yg(y)p(ii)當(dāng)(即表達(dá)式x yyp僅為 的函數(shù))時(shí)，則可取()y)x,y (g(y)dy e為積分因子.再用求出的積分因子去乘(1邪左邊，則(1頌變成全微分方程了，求出沒(méi)有一般的規(guī)律可循，但對(duì)具有某些特殊性質(zhì)的微分方程，還是可以求出積分因子的P QP Q1 I1I1(

29、y xy xf(x)QQx(i)當(dāng)(即表達(dá)式僅為 的函數(shù))時(shí)，則可取f (x)dx(,xy) (X) et1I1為積分因子；該方程的通解，且此也為原方程(12的通解.注意：積分因子不是唯一的，因而通解可能有不同的形式；要注意增根和減根,使函數(shù)(xy)0 y yx)的函數(shù)若不滿(mǎn)足原方程時(shí)，則產(chǎn)生增根，應(yīng)舍去此解；此外,R ,)x y dx(,)Qx y dy1du0(x,y)yy(x>u,因使的函數(shù)也滿(mǎn)足原方程，故應(yīng)將此解補(bǔ)上二高階微分方程(1)可降階的高階微分方程y(n)f x()Q PQ P方程（1郎解法：經(jīng)過(guò)次積分，就可得到方程（1甥通解.y" f（x y）y仆顯含未知函數(shù)

30、）(14)y方程（1鄰解法：設(shè)dpy'pp P（X）dx（即），則，方程（1鼎為x這是以為自變量,dpdxf(x p為未知函數(shù)的一階微分方程.利用一階微分方程求解方法，如p果求得通解（聯(lián)系xp y與的等式），解出 即,再積分一次便得原方程（1初通解.2 x 2 dy dy yxdx dx 2例7求方程的解.dy p dx 解：設(shè)，則原方程化為2 .2 xp xy p2dy p xdx兩端關(guān)于求導(dǎo)并用代入，得到dp dp p 2p xdx dxp x dp201dxdp102p x0dx由此得或dp 10dx從解得22 xp x y2并將它代入得到原方程的通解y2 x2Cx C22P x

31、0又從解得Px222 xpx yP2將它代入得到原方程的一個(gè)解C取適當(dāng)?shù)?得到.所以原方程的解：通解2yCx C2且此解不能由通解 及一個(gè)2xy4解.#yx"f(y y)壞顯含自變量 )(15)方程(15的解法：設(shè)y這是以 為自變量,果求得通解(聯(lián)系dp dpdy dpyPpy(刈dx dydx dy(即)，則，方程(1冊(cè)dppdy f(y,p)為未知函數(shù)的一階微分方程.利用一階微分方程求解方法，如p yp y與的等式)，解出 即,分離變量并積分，便得原方程(1期通解.3dy -_dy2x y 0dx dxdydx解：當(dāng)例8求方程，的解.dy0pxdx時(shí)，解出，并令，則原方程化為1

32、dxyp dy兩端關(guān)于求導(dǎo)并用代入，得到123p dp(y3 cp p ) dyp p 1dy2 2P30(y 2p )dp pdy經(jīng)檢驗(yàn)，它是個(gè)全微分方程，經(jīng)分項(xiàng)組合后，得到通解2 P C ,yp 4P 2p將它代入3y P x 2pP 2p2pc 43p4 2P因此，原方程的參數(shù)形式的通解為0)2-44P2p 22t 2(p0)0時(shí)，由方程直接推知也是方程的解此解不能由通解取適當(dāng)?shù)牡玫?二階線(xiàn)性微分方程V，Rx)yQx)y f(x)(16)f(xy) 0當(dāng)(i%端時(shí)，則(i明y Px)y Q(x)y 0(17)(1群為二階線(xiàn)性齊次微分方程.方程(17)通解結(jié)構(gòu)：設(shè)(17)通y y和 是方程

33、(1碘兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特解，則方程1 2yCy Cy解為12 2方程(1碰解法：在簡(jiǎn)單的情況下，若由觀察得一特解y,則求另一線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特解1y可用降階法，即設(shè)22 yu兇2 yu Xyu(x)y ()，其中為待定函數(shù).將代入(1切求111y2u(X)y出 ，從而可求出 ，也可以用公式22P(x)dxy e dx1yy求出 ，于是可求出方12程(17的通解.解的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的判定1)次可微函數(shù)，則稱(chēng)行列式11n (n2ny,y, ,y設(shè)是定義在區(qū)間上的個(gè)y yy12ny yy12n(n 1) (n )(n 1)1y yy12nW(勾y,y,y的伏朗斯基行列式，記為wy,y2, , y30若不成立，則1

34、yn線(xiàn)性相關(guān).例如，設(shè)2y ,y,0 xy1x2 xWx) 0線(xiàn)性無(wú)關(guān).注意：若-7-" AR r H.,不可匕目JE0x0W(x x I ()0則易證明，） yi,y，但卻是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的2in2ny,y, ,y是階線(xiàn)性齊次微分方程0a x y a x y()()n 1nn(n )1y) a y(X)1W（X> 0的解時(shí)，由能推出它們是線(xiàn)性相關(guān)的.于是有下面的判斷方法in2ny ,y, ,y命題：當(dāng)是階線(xiàn)性齊次微分方程n(n 1) a (x)y1由此求出WX）的解時(shí)，若不成立，則它們線(xiàn)性無(wú)關(guān)；否則線(xiàn)性相關(guān)特別地，對(duì)于兩個(gè)函數(shù)，只要看它們的比，若比不恒等于常數(shù)，則它們線(xiàn)性無(wú)關(guān);否則

35、線(xiàn)性相關(guān).f便 0當(dāng)（1必端不成立時(shí)，則（1班二階線(xiàn)性非齊次微分方程，其通解結(jié)構(gòu):y*YCy Cy設(shè)（16所對(duì)應(yīng)的齊次方程（17通解為，且方程（17一個(gè)特解為12 2y Y y*則方程（1曲通解為.f ) ix)(x f(若方程(16)右端f x *() y y *,且 與 分別是方程212yp«y ax>yfi(X1y，P«y c«yf2(勾y y*的特解，則就是方程（1耶特解.2可用常數(shù)變易法求方程（1卵通解.先求出（1斷對(duì)應(yīng)的齊次方程（17）通解Cy(18)把(14.18)的 與1C分別換成21 xC()C().設(shè)CGy1(19)C(x)y22為方程（

36、1耶解，將（1也入（16）為了不使C1 x y()后令y1(X,再求 ，代入（14.啕C x()y1(x)y(x>yC(G31 x1出現(xiàn)二階導(dǎo)數(shù)，求出0f (x)C(x) ()C2 x把求出的 與（包含任意常數(shù)）代入（14.19）得方程（14.16）通解.y py qy o(20)二階常系數(shù)線(xiàn)性齊次微分方程p q其中 和均為常數(shù).用特征根法求方程（20）通解.（i”出（20）1特征方程r2 pr q ；(21)r r（ii月t出方程（21的兩個(gè)根和；12（iii跟據(jù)和的不同情形，按下表寫(xiě)出（20）1通解.12r、 r方程（20）1遍解12r r兩個(gè)不相等的實(shí)根、1yCex Cex1122兩個(gè)相等的實(shí)根r ry2C Cxerx11一對(duì)共軻復(fù)根i,2(icosx C sin x)e C2上述求方程（20）階常系數(shù)線(xiàn)性齊次微分方程，其形式為(n 1)y p y 0，(22)py1P（i 1,2,。其中為常數(shù).（2邪特征方程為0,(23)Prn 11n1根據(jù)特征方程（2期根的不同情形，得出方程（2如解中不同的對(duì)應(yīng)項(xiàng):Cerx若 是單實(shí)根，則有一項(xiàng)對(duì)應(yīng)項(xiàng):rx C Cx若 是 重實(shí)根，