中線倍長(zhǎng)法和截長(zhǎng)補(bǔ)短法學(xué)

1、1幾何證明-常用輔助線（一）中線倍長(zhǎng)法：例1、求證：三角形一邊上的中線小于其他兩邊和的一半。已知：如圖，ABC中,AD是BC邊上的中線，求證：AD1分析：要證明AD2AD即AD- (AB+AC)2小結(jié)：（1）涉及三角形中線問(wèn)題時(shí)，常采用延長(zhǎng)中線一倍的辦法，即中線倍長(zhǎng)法。它可以將分居中線兩旁的兩條邊AB AC和兩個(gè)角/BAD和/CAD集中于同一個(gè)三 角形中，以利于問(wèn)題的獲解。課題練習(xí)：衛(wèi)ABC中，AD是/BAC的平分線，且BD=CD求證AB=ACAB AD=DC BD平分/ABC求證：/BAD/BCD180.分析：因?yàn)槠浇堑扔?80。，因而應(yīng)考慮把兩個(gè)不在一起的通過(guò)全等轉(zhuǎn) 化成為平角，圖中缺少全

2、等的三角形，因而解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造直角三角形, 可通過(guò)“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”來(lái)實(shí)現(xiàn).證明：過(guò)點(diǎn)D作DE垂直BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,作DF丄BC于點(diǎn)F,如圖1-2 BD平分/ABC. DE=DF在RtAADE與RtACDF中,DE = DFlAD =CD RtADE RtACDF HD，DAE/DCF又/BAD/DA匡180,./BAD/DCI=180,即/BAD/BCD180例2.如圖2-1,AD/ BC點(diǎn)E在線段AB上,/ADE/CDE/DCE/ECB求證：C=ADHBCCEC如圖3-1, / 仁/2,P為BN上一點(diǎn)，且PDI BC于點(diǎn)D, AB-BC=2BDBAR/BCP180.如圖4-1，在ABC中

3、,/0=2/B,/1= /2.求證：AB=AQCDC例3.已知,求證：/例4.已知:圖3-1作業(yè)：1、已知：如圖，ABCD是正方形，/FAD：/FAE求證：BBDFAE2、五邊形ABCD中，AB=AE B(+DE=CD/ABC/AED180,求證：AD平分/CDE（三）其它幾種常見(jiàn)的形式:1、有角平分線時(shí)，通常在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全 等三角形。例：如圖1:已知ABC的中線，且/1= /2,/3=/4,求證：BECFEFoFCE圖12、有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)，常延長(zhǎng)加倍此線段，構(gòu)造全 等三角形。例：如圖2：AD為ABC的中線，且/1= /2，/3=/4,求證：BE+ CFEF練習(xí)：已知ABC AD是BC邊上的中線，分別以AB邊、AC邊為直角邊各 向形外作等腰直角三角形，如圖4，求證EF=2AD3、延長(zhǎng)已知邊構(gòu)造三角形：例如：如圖6:已知AOBD, ADIAC于A,BCIBD于B,求證：AD= BCM圖2F圖464、連接四邊形的對(duì)角線，把四邊形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成為三角形來(lái)解決。例如：如圖7:AB/ CD AD/ BC求證：AB=CD5、有和角平分線垂直的線段時(shí)，通常把這條線段延長(zhǎng)。例如：如圖8:在RtABC中，AB= AC/BAC= 90,/1= /2,CELBD的延長(zhǎng)于E。求證：BD- 2CE6連接已知點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形。例如：已知：如圖9;AC BD相交于0點(diǎn)，且AB=D