O0010,向量共線定理的幾個推論及其應用

1、向量共線定理的幾個推論及其應用人教版數學（必修）第一冊（下）P115面介紹了一個定理：向量與非零向量共線有且僅有一個實數，使=。謂之“向量共線定理”。以它為基礎，可以衍生出一系列的推論，而這些推論在解決一些幾何問題（諸如“三點共線”“三線共點”等）時有著廣泛的應用。以下通過例題來加以說明。一、定理的推論推論一：向量與向量共線存在不全為0的實數，使，這實質是定理的另外一種表述形式。推論二：三個不同點A、B、C共線存在一組全不為0的實數，使。注意推論（二）與推論（一）的區(qū)別：推論（二）中均不為零向量，而推論（一）中，向量可能含。推論三: 設O、A、B三點不共線，且，（x，yR），則P、A、B三點共

2、線x+y=1。這實質是直線方程的向量形式。推論四: 設O為平面內任意一點，則三個不同點A、B、C共線存在一組全不為0的實數使且=0證： 當O點與A、B、C三點中任一點重合，則推論（四）即為推論（二）； 當O點與A、B、C三點均不重合，則三點A、B、C共線存在s，tR，且s·t0，使得，此時，s-t，否則，從而B點與C點重合，這與已知條件矛盾，故有：，即：。顯然s+t+-(s+t)=0令,故得證。推論五： 設O為平面內任意一點，則三個不同點A、B、C不共線若存在實數，使且則=0。推論五實質是推論四的逆否命題。推論六：點P在ABO的內部（不含邊界）存在正實數，使得，BN1NP1AM1MO

3、P且。證：如圖，必要性：若點P在ABO的內部（不含邊界），則，延長OP交AB于P1，過P作OA、OB的平行線，分別交OA，OB于M，N點，過P1作OA，OB的平行線，分別交OA，OB于M1，N1點，顯然，。其中顯然。由于.而充分性由上述各步的可逆性易知。事實上，我們可以將推論三與推論六整合在一起，導出推論七：推論七：已知平面內不共線向量，且。分別記過點A且與BC平行的直線為，直線BC，AB，AC分別為.則：P點在直線上；P點在直線不含A點一側；P點在直線與之間；P點在直線上；P點在直線不含直線一側；P點在直線不含C點一例；P點在直線含C點一側；P點在直線不含B點一側，P點在直線含B點一側。l3

4、l4l2l1P3AP1BCP2證：設直線AP與直線BC相交于點，則設，則故P若在直線BC上，則,又共線，則,故：,則,AB、AC不共線，則.（1）若P在區(qū)域內，則0<k<1，即0<，且均為正實數，即;（2）若P在區(qū)域內，則0<k<1，t>1，則，且;（3）若P在區(qū)域內，則k<0，且;（4）若P在區(qū)域內，則k<0，且;（5）若P在區(qū)域內，則k<0，且;（6）若P在區(qū)域內，則0<k<1，則;（7）若P在區(qū)域內，則k>1，則，;（8）若P在區(qū)域內，則k>1，則，;（9）若P在區(qū)域內，則k>1，則，.綜上：當P點位于上

5、方，;當P點位于下方上方，;當P點位于下方;當P點位于左邊，右邊，;當P點位于左邊，右邊從而得證。注：推論（七）的相關結論還可以分得更細，它對解決“區(qū)域”問題很有重要的作用。二、應用舉例AMBCND例1 如圖，在平行四邊形ABCD中，點M是AB的中點，點N在BD上。BN=，求證：M、N、C三點共線。證：設，（與不共線），則.N為BD的三等分點，,而,，且m+n=1，且B、M、C三點不共線，則點M、N、C三點共線。BCDEFAPMN例2 設M，N分別是正六邊形ABCDEF的對角線AC、CE的內分點，且，若B、M、N三點共線，求的值。分析：要求的值，只需建立f()=0即可，而f()=0就隱含在直線

6、方程的向量形式中。解：延長EA，CB交于點P，設正六邊形的邊長為1,易知ECP為Rt，AE=AP=AC=，PB=2,A是EP之中點，,又，；B、M、N三點共線.由推論（三）知，即為所求例3 （06年江西高考題）已知等差數列an的前n項和為Sn，若，且A、B、C三點共線，（設直線不過點O），則S200=A100B101C200D201解：易知a1+a200=1,故選A。例4 （06年湖南高考題）如圖OMAB，點P在由射線OM，線段OB及AB的延長線圍成的陰影區(qū)域內（不含邊界），且，則實數對（x，y）可能的取值是ABCDAOMPQB解：由P點所處的區(qū)域，利用推論（七）的結論我們不難判定中的線性組合

7、系數對（x，y）應滿足0<x+y<1，且x<0，y>0。從而應選C。AQPCBLR例5 （梅涅勞斯定理）若直線l不經過ABC的頂點，并且與ABC的三邊BC、CA、AB或它們的延長線分別交于P、Q、R，則=1證：如圖，設P、Q、R三點分有向線段BC、CA、AB，所成的比分別為，則，又P、Q、R三個分點中有一個或三個外分點，所以，因而只需證明。任取一點O，則由定比分點的向量公式得：,P、Q、R三點共線,由推論4知存在全不為0的實數k1，k2，k3使即,且,而A、B、C三點不共線，由推論5得,，原命題得證。例6 （塞瓦定理）若P、Q、R分別是ABC的BC、CA、AB邊上的點，則，AP、BQ、CR三線共點的充要條件是。BRAMQCP證：必要性：如圖，設P、Q、R分有向線段BC、CA、AB所成的比分別為，則.在平面ABC內任取一點O，令AP、BQ、CR三線交點為M，則A、M、P三點共線，由推論4知，存在實數k1使同理存