《力學(xué)》漆安慎(第二版)答案10章(共11頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上力學(xué)（第二版）漆安慎習(xí)題解答第十章 波動 第十章一、波動基本知識小結(jié)平面簡諧波方程 ；。彈性波的波速僅取決媒質(zhì)性質(zhì)：彈性體中橫波的波速，彈性體中縱波的波速，流體中縱波波速，繩波波速。波的平均能量密度 ，波的平均能流密度 。波由波密射向波疏媒質(zhì)，在邊界處，反射波與入射波相位相同；波由波疏射向波密媒質(zhì)，在邊界處，反射波比入射波相位落后，相當(dāng)損失半個波長；例如：在自由端無半波損失，在固定端有半波損失。振動方向相同、頻率相同、位相差恒定的二列波叫相干波，相干波疊加叫波的干涉。振幅相同、傳播方向相反的兩列相干波疊加產(chǎn)生駐波現(xiàn)象；駐波方程 ；波節(jié)兩邊質(zhì)元振動相位相反，兩個波節(jié)之間

2、質(zhì)元振動相位相同；相鄰波節(jié)或相鄰波腹間距離為/2，相鄰波腹波節(jié)間距離為/4。多普勒公式：，在運用此公式時，以波速V為正方向，從而確定V0、VS的正負(fù)。二、思考題解答10.1 根據(jù)波長、頻率、波速的關(guān)系式，有人認(rèn)為頻率高的波傳播速度大，你認(rèn)為對否？ 答：否。彈性波在連續(xù)介質(zhì)中的傳播速度取決于介質(zhì)的性質(zhì)和狀態(tài)，如固體、液體的形變模量和密度以及氣體的體變模量和氣體的狀態(tài)等。在給定的非色散介質(zhì)中，彈性波相位的傳播速度（即波速）是一定的，與頻率無關(guān)。由可知，波的頻率越高在介質(zhì)中的波長越短。 介質(zhì)對于電磁波的傳播不是必要的，介質(zhì)中電磁波相位的傳播速度與介質(zhì)的介電常量和磁導(dǎo)率有關(guān)。當(dāng)和為常數(shù)（非色散介質(zhì)）時

3、，相速度與頻率無關(guān)，真空中電磁波的相位傳播速度即為光速。比值，為介質(zhì)的折射率。 10.2 當(dāng)波從一種介質(zhì)透入另一介質(zhì)時，波長、頻率、波速、振幅各量中，哪些量會改變？哪些量不會改變？ 答:參照上題，簡諧波在連續(xù)介質(zhì)中傳播時，介質(zhì)中各質(zhì)點振動的頻率是由波源決定的。當(dāng)簡諧波從一種介質(zhì)透射到另一種彈性介質(zhì)時，波的頻率不會改變。兩種介質(zhì)的性質(zhì)不同，簡諧波在其中傳播的相速不同，由可知，在兩種介質(zhì)中的波長也是不同。當(dāng)波從一種介質(zhì)透射到另一介質(zhì)時，在它們的界面，伴隨有波（能量）的反射。頻率一定時，波的能量正比于振幅的平方，所以透射波的振幅小于入射波的振幅。 10.3 波的傳播是否是介質(zhì)質(zhì)點“隨波逐流”？“長江

4、后浪推前浪”這句話從物理上說，是否有根據(jù)？ 答：波的傳播是介質(zhì)中質(zhì)點振動狀態(tài)（相位）的傳播過程，質(zhì)點本身并不隨波逐流，僅在各自的平衡位置附近振動。因此介質(zhì)中的質(zhì)點“隨波逐流”的說法是錯誤。而“長江后浪推前浪”這句話，從波傳播能量和波的形成來看隨頗為形象，但本質(zhì)上不具備“相位的傳播”和“質(zhì)點本身并不隨波移動”的特征，因此用這句話來描述波動也是不確切的。 10.4 （1）在波的傳播過程中，每個質(zhì)元的能量隨時間而變，這是否違反能量守恒定律？（2）在波的傳播過程中，動能密度與勢能密度相等的結(jié)論，對非簡諧波是否成立？為什么？ 答：（1）否。波的傳播過程是能量的傳播過程，每個質(zhì)元通過所含大量質(zhì)量的以相位聯(lián)

5、系的振動來周期性地接受，放出波的能量，起傳遞能量的作用。這不違反能量守恒定律。 （2）否。對簡諧波而言，動能密度正比于單位體積介質(zhì)內(nèi)所有質(zhì)點振動速度的平方，勢能密度正比于介質(zhì)的相對形變量的平方。非簡諧波可以看作是若干個頻率、振幅不同的簡諧波之和，即級數(shù)和，它對坐標(biāo)的變化率的平方以及對時間變化率的平方都有非線性效應(yīng)。所以，對非簡諧波而言，介質(zhì)內(nèi)動能密度與勢能密度相等的結(jié)論，是不成立的。 10.5 兩列簡諧波疊加時，討論下列各種情況： (1)若兩波的振動方向相同，初相位也相同，但頻率不同，能不能發(fā)生干涉? (2)若兩列的頻率相同，初相位方向也相同，但振動方向不同，能不能發(fā)生干涉？ (3)若兩列的頻

6、率相同，振動方向也相同、初相位也相同，但振幅不同，能不能發(fā)生干涉？ 答：兩列簡諧波在空間相遇時，都滿足疊加原理，是否能發(fā)生干涉現(xiàn)象，則需根據(jù)相干條件判斷。 （1）兩列波的振動方向相同，初相位也相同，但頻率不同時，介質(zhì)中各質(zhì)點的合振動仍為兩個分振動的合成，兩波仍滿足疊加原理，但疊加后的合成波的空間不能形成穩(wěn)定的加強和減弱分布；因此不會出現(xiàn)波的干涉現(xiàn)象。 （2）兩波的頻率相同，初相位也相同，但振動方向不同時，若將其中一個波的振動按另一個波的振動方向可分解為平行和垂直的兩個分量，則兩個平行振動的疊加可產(chǎn)生波的疊加現(xiàn)象，但干涉條紋的可見度因存在垂直的振動分量而下降。若兩波的振動方向互相垂直，則不產(chǎn)生干

7、涉。 （3）兩列的頻率相同，振動方向也相同，但兩列在空間相遇處的振動相位差不能保持恒定時，對每個瞬時在相遇區(qū)域內(nèi)各質(zhì)點振動的疊加雖有確定的加強和減弱的分布，但在一段可觀察的時間間隔內(nèi)，因各質(zhì)點的振動相位差時刻在變化，致使在兩波相遇區(qū)域內(nèi)各質(zhì)點振動加強和減弱的分布也時刻在變化，得不到穩(wěn)定的分布，因此就觀察不到穩(wěn)定的加強和減小的干涉現(xiàn)象。單一頻率的自然光源較難實現(xiàn)干涉，原因就在于此。 （4）兩波的頻率相同，振動方向相同，初相位也相同，但振幅不同時，可以發(fā)生干涉現(xiàn)象，但因干涉減弱處的合振動不為零，將影響干涉條紋的可見度。 10.6 （1）為什么有人認(rèn)為駐波是不是波？ （2）駐波中，兩波節(jié)間各個質(zhì)點均

8、作用相位的簡諧運動，那么，每個振動質(zhì)點的能量是否保持不變？ 答：（1）駐波可被看作是特殊形態(tài)的合成波，是由兩列沿相反方向傳播的相干波因疊加而形成的干涉現(xiàn)象。駐波與行波有共同的特征：各質(zhì)點振動位移的分布形成波形曲線，波形隨時間變化，具有時空周期性，駐波相對于行波的特殊處在于：駐波既不傳播振動形態(tài)，也不傳播能量，即駐而不行。所以有人認(rèn)為駐波不是波，而是質(zhì)量的一種集體振動狀態(tài)。 （2）駐波中，兩波節(jié)間各個質(zhì)點以不同的恒定振幅作用相位的簡諧振動，一波節(jié)兩側(cè)各個質(zhì)點作簡諧振動的相位相反，就單個質(zhì)點而言振動能量是守恒的，但各質(zhì)元在振動過程中能量不斷變化，如：波節(jié)處質(zhì)元的動能始終為零，其勢能則隨著兩側(cè)質(zhì)元振

9、動引起的相對形變的變化而不斷變化；波腹處質(zhì)元的動能不斷變化，其勢能則始終為零。各質(zhì)元見不斷交換能量，但總能量始終停留在駐波所在范圍內(nèi)，并不傳播出去.三、習(xí)題解答10.2.1 頻率在20至20000Hz的彈性波能使人耳產(chǎn)生聽到聲音的感覺。0ºC時，空氣中的聲速為331.5m/s,求這兩種頻率聲波的波長。解：10.2.2 一平面簡諧聲波的振幅A=0.001m，頻率為1483Hz，在20ºC的水中傳播，寫出其波方程。解：查表可知，波在20ºC的水中傳播，其波速V=1483m/s.設(shè)o-x軸沿波傳播方向，x表示各體元平衡位置坐標(biāo)，y表示各體元相對平衡位置的位移，并取原點處

10、體元的初相為零，則：10.2.3 已知平面簡諧波的振幅A=0.1cm,波長1m,周期為10-2s,寫出波方程（最簡形式）.又距波源9m和10m兩波面上的相位差是多少？解：取坐標(biāo)原點處體元初相為零，o-x軸沿波傳播方向，則波方程的最簡形式為 10.2.4 寫出振幅為A,頻率v=f,波速為V=C,沿o-x軸正向傳播的平面簡諧波方程.波源在原點o,且當(dāng)t=0時，波源的振動狀態(tài)是位移為零，速度沿o-x軸正方向。解：設(shè)波源振動方程為.t=0時，波方程10.2.5 已知波源在原點（x=0）的平面簡諧波方程為A,b,c均為常量.試求：振幅、頻率、波速和波長；寫出在傳播方向上距波源l處一點的振動方程式，此質(zhì)點

11、振動的初相位如何？解：將與標(biāo)準(zhǔn)形式比較，=b,k=c,振幅為A,頻率v=/2=b/2,波速V=/k=b/c,波長=V/v=2/c.令x=l, 則，此質(zhì)點振動初相為 cl.10.2.6 一平面簡諧波逆x軸傳播，波方程為試?yán)酶淖冇嫊r起點的方法將波方程化為最簡形式。解：令t=t+3,則，即將計時起點提前3s,即可把方程化為如上的最簡形式。10.2.7 平面簡諧波方程，試用兩種方法畫出時的波形圖（SI）。解：由波方程可知：A=5, v=4, v=1, =v/v=4時，方法一：令，先畫出的波形圖，然后將y軸右移即可。x(m)y'y方法二：找出x、y的對應(yīng)點，根據(jù)余弦函數(shù)規(guī)律描出。10.2.8

12、對于平面簡諧波中，r=0.01m,T=12s,=0.30m,畫出x=0.20m處體元的位移-時間曲線。畫出t=3s,6s時的波形圖。解：波方程令x=0.20，；令t'=t-8,根據(jù)T=12s及余弦曲線的規(guī)律，先畫出的S-t曲線，再把S'軸向左移動8秒，即得S-t曲線。 令t=3, =.令，根據(jù)及余弦曲線的規(guī)律，先畫出的S-x曲線，再把S軸向左移動3/40m，即得S-x曲線。 t=6s時的波形圖，可把t=3s時的波形圖左移，即1個單位，就是t=6s時的波形圖（虛線所示）。10.2.9 兩圖分別表示向右和向左傳的平面簡諧波在某一瞬時的波形圖，說明此時x1,x2,x3以及1,2,3各

13、質(zhì)元的位移和速度為正還是為負(fù)？它們的相位如何？（對于x2和2只要求說明其相位在第幾像限）解：根據(jù)及波形圖隨時間t的移動方向，可做出如下判斷：x1x2x3123位移正最大負(fù)0正最大負(fù)0速度0負(fù)負(fù)最大0正正最大相位0或2像限/20或2像限-/210.2.10 圖（a）、（b）分別表示t=0和t=2s時的某一平面簡諧波的波形圖。試寫出平面簡諧波方程。解：由波形圖知：A=2m,=2m.由圖（a），原點處質(zhì)元t=0時，y=A,可判斷其初相為零.比較 （a）、（b）兩圖,（b）圖可看作（a）圖向右移動0.5m得到。 Vt=0.5,V=0.5/2=0.25m/s. =2V/=2×0.25/2=0.

14、25 10.3.1 有一圓形橫截面的銅絲，受張力1.0N,橫截面積為1.0mm2.求其中傳播縱波和橫波時的波速各為多少？銅的密度為8.9×103kg/m3,銅的楊氏模量為12×109N/m2.解：縱波波速 .銅絲的線密度，銅絲中傳播的橫波是繩波，橫波波速10.3.2 已知某種溫度下水中聲速為1.45×103m/s,求水的體變模量。解：水中聲波速度水的體變模量10.4.1 在直徑為14cm管中傳播的平面簡諧波，平均能流密度為9erg/s.cm2，v=300Hz，V=300m/s.求最大能量密度和平均能量密度，求相鄰?fù)辔徊骈g的總能量。解：平均能流密度 能量密度，

15、最大能量密度 . 平均能量密度管的橫截面積 ，相鄰?fù)辔徊骈g的距離為，其間總能量為10.4.3 面向街道的窗口面積約40m2,街道上的噪聲在窗口的聲強級為60dB,問有多少聲功率傳入室內(nèi)？（即單位時間進入多少聲能）解：據(jù)聲強級定義：，所以傳入室內(nèi)的聲功率10.4.4 距一點聲源10m的地方，聲音的聲強級為20dB，求：距聲源5m處的聲強級；距聲源多遠(yuǎn)就聽不見1000Hz的聲音了？解：設(shè)r=r1=5m時,聲強為I1,聲強級為IL1；r=r2=10m時，聲強為I2,聲強級為IL2r，用聲強級表示：即設(shè)r=r3時聽不到聲音，即對應(yīng)的聲強級IL3=0BASD10.5.1 聲音干涉儀用于顯示聲波的干涉

16、，見圖。薄膜S在電磁鐵的作用下振動，D為聲音檢測器，SBD長度可變，SAD長度固定，聲音干涉儀內(nèi)充滿空氣。當(dāng)B處于某一位置時，在D處聽到的聲強為100單位的最小聲音，將B移動則聲音加大，當(dāng)B移動1.65cm時聽到強度為900單位的最強音。求：聲波的頻率；到達D處二聲波振幅之比，已知聲速為342.4m/s.解：D處聽到的聲強是由SAD和SBD傳過來的兩列相干波疊加結(jié)果；聲強最小，說明兩列相干波在D處的相位相反，合振幅為兩個分振幅之差；聲強最大，說明兩列相干波在D處相位相同，合振幅為兩個分振幅之和；兩列波在D處的相位差由相反變?yōu)橄嗤?，相位差改變?yōu)?，因此兩列波傳播距離的改變?yōu)?2，有：10.5.2

17、兩個波源發(fā)出橫波，振動方向與紙面垂直，兩波源具有相同的相位，波長0.34m.至少求出三個x數(shù)值使得在P點合振動最強，求出三個x數(shù)值使得在P點的合振動最弱。解：由于兩個波源的相位相同，因而二波在P點引起的兩個分振動的 相位差 當(dāng)）時，合振動最強。取n=0,1,2, 得x1=0, x2=0.34m, x3=2=0.68m 當(dāng)）時，合振動最弱。取n=0,1,2, 得 x1=/2=0.17m, x2=3/2=0.51m, x3=5/2=0.85m10.5.3 試證明兩列頻率相同，振動方向相同、傳播方向相反而振幅大小不同的平面簡諧波相疊加可形成一駐波與一行波的疊加。證明；設(shè)滿足要求的兩列平面簡諧波的波方

18、程為： （應(yīng)用三角函數(shù)公式：）顯然，前一項表示一行波，后一項為一駐波10.5.4 入射波在固定端反射，坐標(biāo)原點與固定端相距0.51m,寫出反射波方程.無振幅損失.(SI)解：反射波的振幅、頻率、波速均與入射波相同；反射波傳播方向與入射波傳播方向相反；入射波在原點處振動初相為零，設(shè)反射波在坐標(biāo)原點處振動初相為，固定端反射有半波損失，所以.綜合以上考慮，反射波方程為 10.5.5 入射波方程為，在x=0處的自由端反射，求反射波的波方程。無振幅損失。解：反射波的振幅、周期、波長與入射波相同；反射波傳播方向與入射波相反；由于在x=0處的自由端反射，無半波損失，反射波與入射波在原點的初相相同。綜合以上考

19、慮，反射波方程為10.5.6 10.5.7 圖表示某一瞬時入射波的波形圖，分別畫出在固定端反射和在自由端反射時，反射波的波形圖，無振幅損失。123x解：方法：可先把界面后邊的入射波補畫上去，如圖1；固定端反射時，損失半個波長，可把界面后邊的波形去掉半個波長，然后把剩余波形映射過去即可，如圖2；自由端反射，無半波損失，直接把界面后邊的波形映射過去即可，如圖3。10.5.8 一平面簡諧波自左向右傳播，在波射線上某質(zhì)元A的振動曲線如圖示。后來此波在前進方向上遇一障礙物而反射，并與該入射平面簡諧波疊加而成駐波，相鄰波節(jié)波腹距離為3m,以質(zhì)元A的平衡位置為o-y軸原點，寫出該入射波波方程。 解：相鄰波節(jié)

20、波腹間距離是/4=3,=12m,k=2/=/6；從A點振動曲線可知：A=0.2m,T=2s,=2/T=；設(shè)A點振動方程為t=0.5s時，x= - 0.2,- 0.2=0.2cos(.綜合以上考慮，入射波波方程應(yīng)為10.5.9 同一媒質(zhì)中有兩個平面簡諧波波源作同頻率、同方向、同振幅的振動。兩波相對傳播，波長8m.波射線上A、B兩點相距20m.一波在A處為波峰時，另一波在B處相位為-/2.求AB連線上因干涉而靜止的各點的位置.解：以A點為坐標(biāo)原點，建立圖示坐標(biāo)系，x表示各質(zhì)元的平衡位置，y表示各質(zhì)元的振動位移。設(shè)：，據(jù)題意，波1使A處(x=0)質(zhì)元位移最大時，波2使B處(x=20)質(zhì)元的振動相位為-/2,即t=0時，.合振動位移為零（即靜止）的條件是：兩波在這些點引起的分振動的相位差