一階電路的全響應與三要素

1、§5.4 一階電路的全響應與三要素在上兩節(jié)中分別研究了一階電路的零輸入響應和零狀態(tài)響應，電路要么只有外激勵源的作用，要么只存在非零的初始狀態(tài)，分析過程相對簡單。本節(jié)將討論既有非零初始狀態(tài)，又有外激勵源共同作用的一階電路的響應，稱為一階電路的全響應。5 RC電路的全響應電路如圖5-9所示，將開關S閉合前，電容已經充電且電容電壓，在t=0時將開關S閉合，直流電壓源作用于一階RC電路。根據KVL，此時電路方程可表示為：圖 5-19 一階RC電路的全響應 （5-19）根據換路原則，可知方程（5-19）的初始條件為 令方程（5-9）的通解為 與一階RC電路的零狀態(tài)響應類似，取換路后的穩(wěn)定狀態(tài)為

2、方程的特解，則 同樣令方程（5-9）對應的齊次微分方程的通解為。其中為電路的時間常數(shù)，所以有 將初始條件與通解代入原方程，得到積分常數(shù)為 所以電容電壓最終可表示為 （5-20）電容充電電流為這就是一階RC電路的全響應。圖5-20分別描述了，均大于零時，在、三種情況下與的波形。 (a) (b)圖5-20，的波形圖將式（5-20）重新調整后，得 從上式可以看出，右端第一項正是電路的零輸入響應，第二項則是電路的零狀態(tài)響應。顯然，RC電路的全響應是零輸入響應與零狀態(tài)響應的疊加，即 全響應 = 零輸入響應 + 零狀態(tài)響應研究表明，線性電路的疊加定理不僅適用于RC電路，在RC電路的分析過程中同樣適用，同時

3、，對于n階電路也可應用疊加定理進行分析。進一步分析式（5-20）可以看出右端第一項是電路微分方程的特解，其變化規(guī)律與電路外加激勵源相同，因此被稱之為為強制分量；式（5-20）右端第二項對應于微分方程的通解，其變化規(guī)律與外加激勵源無關，僅由電路參數(shù)決定，稱之為自由分量。所以，全響應又可表示為強制分量與自由分量的疊加，即 全響應 = 強制分量 + 自由分量從另一個角度來看，式（5-20）中有一部分隨時間推移呈指數(shù)衰減，而另一部分不衰減。顯然，衰減分量在時趨于零，最后只剩下不衰減的部分，所以將衰減分量稱為暫態(tài)分量，不衰減的部分稱為穩(wěn)態(tài)分量，即 全響應 = 穩(wěn)態(tài)分量 + 暫態(tài)分量5 三要素法一階電路都

4、只會有一個電容（或電感元件），盡管其它支路可能由許多的電阻、電源、控制源等構成。但是將動態(tài)元件獨立開來，其它部分可以看成是一個端口的電阻電路，根據戴維南定理或諾頓定理可將復雜的網絡都可以化成圖5-21所示的簡單電路。下面介紹的三要素法對于分析類復雜一階電路相當簡便。 (a) (b) (c) (d)圖5-21復雜一階電路的全響應從圖5-21（b）可以看出，如前所述，的表達式可以寫為 其中，是一端口網絡N的開路電-壓，由于，所以上式可以改寫成為 （5-21）同理，根據圖5-21（d）可以直接寫出電感電流的表達式為 （5-22）其中， 為的穩(wěn)態(tài)分量。綜合上述兩種情況后發(fā)現(xiàn)，全響應總是由初始條件、特解

5、和時間常數(shù)三個要素來決定。在直流電源激勵下，若初始條件為，特解為穩(wěn)態(tài)解,時間常數(shù)為，則全響應可表示為 （5-23）如果已經確定一階電路的、和這三個要素，就可以根據式（5-23）直接寫出電流激勵下一階電路的全響應，稱之為三要素法。一階電路在正弦激勵源的作用下，由于電路的特解是時間的正弦函數(shù)，則（6-23）式可以寫為 其中是特解，為穩(wěn)態(tài)響應，是時穩(wěn)態(tài)響應的初始值。§5.5 一階電路的階躍響應和沖激響應5.5.1 奇異函數(shù)奇異函數(shù)也叫開關函數(shù)，在電路分析中非常有用。當電路有開關動作時，就會產生開關信號，這些奇異函數(shù)是開關信號最接近的理想模型，它對我們進一步分析一階電路響應非常重要。（1）單

6、位階躍函數(shù)作為奇異函數(shù)的一種，單位階躍函數(shù)的數(shù)學表達式為 假如這種突變發(fā)生在時刻，則單位階躍函數(shù)又可表示為如圖5-25（b）所示，起作用的時間比(t）滯后了，稱為延遲的單位階 (a)單位階躍進函數(shù) (b)延遲的單位階躍函數(shù) (c)提前的單位躍函數(shù)圖5-25 階躍函數(shù)（2）單位沖激函數(shù)在實際電路切換過程中，可能會出現(xiàn)一種特殊形式的脈沖，其在極短的時間內表示為非常大的電流或電壓。為了形象描述這種脈沖，引入了另一種奇異函數(shù)單位沖激函數(shù)，其數(shù)學定義如下：單位階躍函數(shù)又叫函數(shù)，如圖5-29（a）所示，圖5-29（b）表示強度為的沖激函數(shù)。 (a) (b)圖5-29 沖激函數(shù)與階躍函數(shù)一樣，沖激函數(shù)存在時

7、間滯后或提前的情況。例如發(fā)生在時刻的單位沖激函數(shù)可寫為，發(fā)生在，且強度為的沖激函數(shù)可表示為。值得注意的是，沖激函數(shù)有兩個非常重要的性質： 單位沖激函數(shù)對時間的積分等于單位階躍函數(shù)，即 （5-24）反之，階躍進函數(shù)對時間的一階導數(shù)等于沖激函數(shù)，即 （5-25） 單位沖激函數(shù)的“篩分”性質設是一個定義域為，且在時連續(xù)的函數(shù)，則 （5-26）由此可見，沖激函數(shù)能夠將一個函數(shù)在某一個時刻的值篩選出來，稱之為“篩分”性質，又稱取樣性質。5.5.2 RC電路的階躍響應電路在單位階躍函數(shù)激勵源作用下產生的零狀態(tài)響應稱為單位階躍響應。對5.3中分析過的RC電路而言，外施激勵由直流電壓源換為階躍函數(shù)，則RC電路

8、中的電容電壓的單位階躍響應為 （5-27）5.5.3 RL電路的階躍響應對于簡單的RL電路來說，當激勵源為階躍函數(shù)時，電路中的電感電流的單位階躍響應為 （5-28） 5 RC電路的沖激響應如圖5-32（a）所示的RC電路中，激勵源由單位沖激函數(shù)來描述。 (a) (b)圖5-32 RC電路的沖激響應設電容無初始儲能，根據KCL有 其中有。將上式從到時間間隔內積分，有 如果為沖激函數(shù)，則也為沖激函數(shù)，而將為沖激函數(shù)的一階導數(shù)，則上式不能成立，故不可能為沖激函數(shù)，且上式中第二項積分應為零，所以有 即 而當時，沖激電流源相當于開路，如圖5-32（b）所示。則電容電壓可表示為 其中為時間常數(shù)，。5.5.5 RL電路的沖激響應如圖5-33（a）所