專題十五 數(shù)形結(jié)合的思想

1、專題十五 數(shù)形結(jié)合的思想【考點聚焦】數(shù)形結(jié)合思想，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法。實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，常與以下內(nèi)容有關(guān)：實數(shù)與數(shù)軸上的點的對應(yīng)關(guān)系；函數(shù)與圖象的對應(yīng)關(guān)系；曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系；所給的等式或代數(shù)式的結(jié)構(gòu)含有明顯的幾何意義。【自我檢測】1 方程sin(x)=x的實數(shù)解的個數(shù)是( B )A 2 B 3 C 4 D 52. （2005福建）設(shè)的最小值是（ C ）ABC3D3 已知f(x)=(xa)(xb)2（其中ab，且、是方程f(x)=0的兩根（，則實數(shù)a、b、的大小關(guān)系為( )A ab B abC ab D ab4. ( 2006年湖南

2、）若圓上至少有三個不同點到直線:的距離為,則直線的傾斜角的取值范圍是 ( B )A. B. C. D.【重點難點熱點】問題1 利用函數(shù)的圖象、方程的圖形數(shù)形結(jié)合例1在y=2x，y=log2x，y=x2，y=cos2x這四個函數(shù)中，當(dāng)0x1x21時，使f（）恒成立的函數(shù)的個數(shù)是 （ B ）A0 B1 C2 D3【解析】 用圖像法，只有上凸函數(shù)才滿足題意，即只有y=log2x才滿足上式，故選B例2 已知二次函數(shù)y=f1（x）的圖象以原點為頂點且過點（1，1），反比例函數(shù)y=f2（x）的圖象與直線y=x的兩個交點間的距離為8，f（x）=f1（x）+f2（x）（1）求函數(shù)f（x）的表達式；（2）證明：

3、當(dāng)a3時，關(guān)于x的方程f（x）=f（a）有三個實數(shù)解【分析】 用數(shù)形結(jié)合思想求f（x）f（a）=0解的個數(shù)【解】 （1）由已知，設(shè)f1（x）=bx2，由f1（x）=1，得b=1f1（x）=x2設(shè)f2（x）=（k0），則其圖象與直線y=x的交點分別為A（k，k），B（k，k），由|AB|=8，得k=8，f2（x）=，故f（x）=x2+（2）由f（x）=f（a），得x2+=a2+，即=x2+a2+在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出f2（x）=和f3（x）=x2+a2+的大致圖象（如圖所示），其中f2（x）的圖象是以坐標(biāo)軸為漸近線，且位于第一、三象限的雙曲線，f3（x）的圖象是以（0，a2+）為頂點，開口向下的拋物

4、線f2（x）與f3（x）的圖象在第三象限有一個交點，即f（x）=f（a）有一個負(fù)數(shù)解又f2（2）=4，f3（2）=4+a2+，當(dāng)a3時，f3（2）f2（2）=a2+80，當(dāng)a3時，在f3（x）第一象限的圖象上存在一點（2，f3（2）在f2（x）圖象的上方f2（x）與f3（x）的圖象在第一象限有兩個交點，即f（x）=f（a）有兩個正數(shù)解故方程f（x）=f（a）有三個實數(shù)解【評析】 用數(shù)形結(jié)合思想，可把一個較復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為一個較簡單的問題演變1：函數(shù)f（x）=sinx+2|sinx|，x0,2的圖象與直線y=k有且僅有2個不同的交點，則k的取值范圍 。(1<k<3)點撥與提示：f（x

5、）=sinx+2|sinx|，x0,2=問題2 利用方程的圖形數(shù)形結(jié)合例3： 分析：，選D演變1. 分析：構(gòu)造直線的截距的方法來求之。 截距。 問題3 利用幾何意義轉(zhuǎn)化、構(gòu)造例4已知、均為銳角，且cos2+cos2+cos2=1，求證：tan+tan+tan。命題意圖：本題主要考查三角幾何代數(shù)間的轉(zhuǎn)化，以及代數(shù)不等式的證明。證明：由已知條件作長方體ABCDA1B1C1D1，如圖，使C1AD=，C1AB=，C1AA1=，設(shè)AD=a，AB=b，AA1=c，則：tan=，tan=，tan=tan+tan+tan=故tan+tan+tan點評：(1)還可將已知條件改為sin2+sin2+sin2=2；

6、(2)運用此模型，還可設(shè)、分別為AC1與C1B、C1A1、C1D所成的角，則cos2+cos2+cos2=2(或sin2+sin2+sin2=1)。例5求函數(shù)的最大值。解：由定義知1-x20且2+x0 -1x1，故可設(shè)x=cos，0，則有可看作是動點M（cos，sin）(0，)與定點A（-2，0）連線的斜率，而動點M的軌跡方程，0，即x2+y2=1（y0，1是半圓。設(shè)切線為AT，T為切點，|OT|=1，|OA|=2 ，0kAM即函數(shù)的值域為0，故最大值為。點評：1、有些代數(shù)式經(jīng)變形后具備特定的幾何意義，此時可考慮運用數(shù)形結(jié)合求解，如：比值可考慮與斜率聯(lián)系；根式可考慮與距離聯(lián)系；二元一次式可考慮

7、與直線的截距相聯(lián)系。2、本題也可如下轉(zhuǎn)化：令Y=，X=2+x，則(X+2)2+Y2=1（Y0），求的最大值，即求半圓(X-1)2+Y2=1（Y0）上的點與原點連線斜率的最大值，易知。演變1 解法一（代數(shù)法）：，解法二（幾何法）： 演變2 分析：轉(zhuǎn)化出一元二次函數(shù)求最值；倘若對式子平方處理，將會把問題復(fù)雜化，因此該題用常規(guī)解法顯得比較困難，考慮到式中有兩個根號，故可采用兩步換元。 解：第一象限的部分（包括端點）有公共點，（如圖）相切于第一象限時，u取最大值專題小結(jié)利用數(shù)形結(jié)合思想解決問題，要注意數(shù)與形的完整結(jié)合，由數(shù)想形時，一定要準(zhǔn)確、全面，特別是圖形一定要準(zhǔn)確數(shù)形結(jié)合常用的輔助工具：數(shù)軸(直角

8、坐標(biāo)系)、兩點間距離公式、向量的模，函數(shù)的圖象，曲線的方程，直線的斜率、截距，二元一次不等式表示平面區(qū)域等【臨陣磨槍】一、選擇題： 1方程的實根的個數(shù)為（ C ） A1個 B2個 C3個 D4個2函數(shù)的圖象恰有兩個公共點，則實數(shù)a的取值范圍是（ D ） A B C D3（2005福建）是定義在R上的以3為周期的偶函數(shù)，且，則方程=0在區(qū)間（0，6）內(nèi)解的個數(shù)的最小值是 （ D ） A2B3C4D54（2006年江西）P是雙曲線的右支上一點，M、N分別是圓（x5）2y24和（x5）2y21上的點，則|PM|PN|的最大值為（ D ）A. 6 B.7 C5定義在R上的函數(shù)上為增函數(shù)，且函數(shù)的圖象的

9、對稱軸為，則（ A ） A B C D6（2005江西）在OAB中，O為坐標(biāo)原點，則當(dāng)OAB的面積達最大值時，（ D ）ABCD7如圖所示，B地在A地的正東方向4km處，C地在B地的北偏東30°方向2km處，河流的沿岸PQ（曲線）上任意一點到A的距離比到B的距離遠(yuǎn)2km現(xiàn)要在曲線PQ上選一處M建一座碼頭，向B、C兩地轉(zhuǎn)運貨物經(jīng)測算，從M到B、M到C修建公路的費用分別是a萬元/km、2a萬元/km，那么修建這兩條公路的總費用最低是 （B）A（22）a萬元 B5a萬元C（2+1）a萬元 D（2+3）a萬元8. （2005遼寧）已知是定義在R上的單調(diào)函數(shù)，實數(shù)， ，若，則（ A ）ABCD

10、9（2006年江西）若不等式x2ax1³0對于一切xÎ（0，）成立，則a的取值范圍是（ C ）A0 B. 2 C.-10（2006年福建卷）已知雙曲線的右焦點為F，若過點F且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此雙曲線離心率的取值范圍是 （ C ）（A）（B）（C）（D）二、填空題：11. 若關(guān)于x的方程有四個不相等的實根，則實數(shù)m的取值范圍為_。12. 函數(shù)的最小值為_。13若集合，集合，且則實數(shù)的取值范圍是 。14（2005上海）函數(shù)的圖象與直線有且僅有兩個不同的交點，則的取值范圍是_。15（ 2006年浙江）對a,bR,記max|a,b|=函數(shù)f（x）ma

11、x|x+1|,|x-2|(xR)的最小值是3/2.16（2006年四川）如圖，把橢圓的長軸分成等份，過每個分點作軸的垂線交橢圓的上半部分于七個點，是橢圓的一個焦點，則_;三、解答題： 17 若方程上有唯一解，求m的取值范圍。 18若不等式x+11-a的解集為x|-4x-2，求實數(shù)a的值。19已知函數(shù)f（x）=sin（x+）（0，0）是R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點M（，0）對稱，且在區(qū)間，上是單調(diào)函數(shù)求與的值20(2006湖南)已知函數(shù).（）討論函數(shù)的單調(diào)性；（）若曲線上兩點A、B處的切線都與y軸垂直，且線段AB與x軸有公共點，求實數(shù)a的取值范圍.21（2006安徽）如圖，F(xiàn)為雙曲線C：的右焦點。

12、P為雙曲線C右支上一點，且位于軸上方，M為左準(zhǔn)線上一點，為坐標(biāo)原點。已知四邊形為平行四邊形，。OFxyPM第21題圖H（）寫出雙曲線C的離心率與的關(guān)系式；（）當(dāng)時，經(jīng)過焦點F且平行于OP的直線交雙曲線于A、B點，若，求此時的雙曲線方程。【答案及點撥】1 C2 D3 D 點撥：由題意至少可得f(0)=f(2)=f(-2)=f(3)=f(-3)=f(-5)=f(5)=f(1)=f(4)=0,即在區(qū)間（0，6）內(nèi)f(x)=0的解的個數(shù)的最小值是5,選(D)4 D 點撥： P是雙曲線的右支上一點，F(xiàn)1(5，0)、F2(5，0)是兩個焦點，則=6，又M、N分別是圓(x5)2y24和(x5)2y21上的點

13、， |PM|PN|=9，選D.5 A6 D點撥：運用圖形,根據(jù)圖形表示的面積,將實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題. 當(dāng)即時,面積最大.反思：運用三角函數(shù)解決相應(yīng)的實際問題，首先應(yīng)根據(jù)題目的要求將面積的表達式寫出來，然后在表達式中，根據(jù)自變量的取值范圍，最終求出答案，所要注意的是，解決此類問題時不能僅憑函數(shù)的表達式，應(yīng)考慮實際情況，例如，在函數(shù)的自變量中，可以取負(fù)數(shù)，而如果在實際題目中，自變量表示的是天數(shù)，那么這相自變量必須為正數(shù)，且為整數(shù)等等.yxOyxO圖圖7 B8 A 點撥：數(shù)形結(jié)合解決定比分點問題：當(dāng)，如圖所示，有，當(dāng)時，如圖所示，有，故選A9 C 點撥：不等式x2ax1³0對于一切x&

14、#206;(0，成立，則，當(dāng)xÎ(0，時，的最大值是，所以a，選C.10 C 點撥：已知雙曲線的右焦點為F，若過點F且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則該直線的斜率的絕對值小于等于漸近線的斜率， ，離心率e2=， e2，選C111213 點撥：M中的點集是右半圓，平移直線就可以了。14 點撥：從圖象可以看出直線有且僅有兩個不同的交點時, 15 3/2 點撥：對，記，函數(shù)，(xR)，當(dāng)x>時，|x+1|>|x2|，當(dāng)x<時，|x+1|<|x2|， =，所以f(x)的最小值是.16 35 點撥：如圖，把橢圓的長軸分成等份，過每個分點作軸的垂線交橢圓的

15、上半部分于七個點，是橢圓的一個焦點，則根據(jù)橢圓的對稱性知，同理其余兩對的和也是，又， =3517解：原方程等價于 令，在同一坐標(biāo)系內(nèi)，畫出它們的圖象， 其中注意，當(dāng)且僅當(dāng)兩函數(shù)的圖象在0，3）上有唯一公共點時，原方程有唯一解，由下圖可見，當(dāng)m=1，或時，原方程有唯一解，因此m的取值范圍為3，01。點評：一般地，研究方程時，需先將其作等價變形，使之簡化，再利用函數(shù)圖象的直觀性研究方程的解的情況。18解：設(shè)（y10） （y10），它表示以（-2，0）為圓心，2為半徑的上半圓。表示和平行或重合的直線系。分別作出y1與y2的圖象，讓y2作平行移動，要y1y2解集為x|-4x-2，顯然當(dāng)且僅當(dāng)直線通過點

16、（-2，2）時符合要求，此時 19【分析】 由形思數(shù)，由數(shù)想形，相互轉(zhuǎn)化【解】 由“f（x）是偶函數(shù)”得到x=0是對稱軸，（由數(shù)想形），所以f（0）=sin=±1，（由形思數(shù)）因0，所以可得=又M點為f（x）=sin（x+）的對稱中心，則在該點的函數(shù)值為零，f（）=sin（+）=cos=0；（由形思數(shù)）從而有=k+（k=0，1，2，），由此可得=而對于f（x）在0，上是單調(diào)函數(shù)這一條件，可結(jié)合函數(shù)的周期性得到以下解法：f（x）在0，上是單調(diào)函數(shù)，T=，1（k=0，1，2）k=0或k=1，得=或2【評析】 巧妙運用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決一些抽象的數(shù)學(xué)問題，可起到事半功倍的效果而運用數(shù)形

17、結(jié)合思想的優(yōu)勢在于：不僅易直觀發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能避免復(fù)雜的計算與推理，大大簡化了解題過程20解（）由題設(shè)知.令.當(dāng)（i）a>0時，若，則，所以在區(qū)間上是增函數(shù)；若，則，所以在區(qū)間上是減函數(shù)；若，則，所以在區(qū)間上是增函數(shù)；（i i）當(dāng)a0時，若，則，所以在區(qū)間上是減函數(shù)；若，則，所以在區(qū)間上是增函數(shù)；若，則，所以在區(qū)間上是減函數(shù).（）由（）的討論及題設(shè)知，曲線上的兩點A、B的縱坐標(biāo)為函數(shù)的極值，且函數(shù)在處分別是取得極值，.因為線段AB與x軸有公共點，所以.即.所以.故.解得1a0或3a4.即所求實數(shù)a的取值范圍是-1，0)3，4.21解：四邊形是，作雙曲線的右準(zhǔn)線交PM于H，則，又，。（）當(dāng)時，雙曲線為，設(shè)P，則，所以直線OP的斜率為，則直線AB的方程為，代入到雙曲線方程得：，又，由得：，解得，則，所以為所求。【挑戰(zhàn)自我】(2006遼寧理)已知函數(shù)f(x)=,其中a , b , c是以d為公差的等差數(shù)列，且a1-上，處取得最大值，在，將點依次記為A， B， C (I)求(II)若ABC有一邊平行于x軸，且面積為，求a ,d的值【解析】(I)解: 令,得當(dāng)時, ;當(dāng)時, 所以f(x)在x=-1處取得最小值即(II) 的