互感效應(yīng)對磁通量子比特消相干影響的研究

1、互感效應(yīng)對磁通量子比特消相干影響的研究 江西師范大學青年成長基金(批準號：2006103)資助的課題周騰飛 陳志銓 嵇英華 E-mail: jyh2006（江西師范大學物理與通信電子學院，江西南昌 330022）摘 要：本文從經(jīng)典電路理論出發(fā)，得到了磁通偏置超導電路的哈密頓量。在此基礎(chǔ)上，運用Bloch-Redfield方程研究了超導電路多能級系統(tǒng)的動力學演化。在二能級近似下，分析了環(huán)境阻抗，電路之間的互感對磁通量子比特消相干的影響。關(guān)鍵詞：超導量子電路；磁通量子比特；消相干；互感1、引 言近年來，人們廣泛研究了含有約瑟夫森結(jié)的超導電路的動力學特性，并用其實現(xiàn)量子比特。根據(jù)約瑟夫森結(jié)電荷能和隧

2、穿能的大小關(guān)系，超導量子比特可大致區(qū)分為電荷量子比特、磁通量子比特和相位量子比特。電荷量子比特工作在電荷能占主導的區(qū)域，以超導島上的庫珀電子對數(shù)目作為量子態(tài)，因此，電荷量子比特對電荷漲落的影響很敏感；相反，磁通量子比特工作在隧穿能占主導的區(qū)域，以超導環(huán)中的正反持續(xù)電流作為量子態(tài)，磁通量子比特的優(yōu)點在于對電荷漲落的影響不敏感，而磁場的漲落相對要小很多。在量子計算中，引起計算誤差的主要原因是量子比特的消相干。影響超導量子比特消相干的因素很多。研究工作者目前主要是采用自旋-玻色子模型來研究量子系統(tǒng)的消相干，并已取得一系列的成果。在本文中，我們首先利用經(jīng)典電路理論得到磁通偏置超導電路的哈密頓量。結(jié)合C

3、aldeira-Leggett模型，我門采用Redfield方程描述電路的動力學演化。在二能級近似下，Redfield方程化為Bloch方程，我們給出了超導磁通量子比特的弛豫時間和消相干時間，并著重討論了環(huán)境阻抗Z和電路互感對該量子系統(tǒng)消相干的影響。2、研究模型及哈密頓量在本文中，我們研究如圖1所示的磁通偏置的超導電路，圖2為圖1所示電路選擇的一棵樹。樹支含所有的電容和電感；連支部分包 圖1 磁通偏置的超導量子比特電路圖。外磁通通過偏置電路的環(huán)路電感同主回路電感的耦合引進。阻抗Z反映了外加磁通漲落對量子比特的耗散作用。電感和的互感系數(shù)為，電感和的互感系數(shù)為，電感和的互感系數(shù)為，電感和的互感系數(shù)

4、為。約瑟夫森節(jié)采用Stewart-McCumber(SM)模型。圖2 圖1的樹。樹是包含所有節(jié)點而不構(gòu)成回路的連通子圖。這里我們選取含所有電容，和電感的連通圖作為樹。 括連支電感，理想約瑟夫森節(jié)，并聯(lián)電阻，以及外加阻抗和電流源。外加阻抗模擬了環(huán)境電磁漲落。根據(jù)所選擇的樹，樹支和連支的電流電壓可分別表示為：， （1）, （2）， （3）， （4）約瑟夫森結(jié)兩端電壓即為電容電壓，根據(jù)約瑟夫森結(jié)電壓和磁通的關(guān)系，其中，是磁通量子。我們得到 ：， （5）約瑟夫森結(jié)超導電流為：， （6）是結(jié)的臨界電流。并聯(lián)電阻的電壓-電流關(guān)系為：， （7）我們把電感和互感寫成矩陣形式：,.分別描述了電感和的互感系數(shù)，電

5、感和的互感系數(shù)，電感和的互感系數(shù)，電感和的互感系數(shù)。則電路電感和磁通關(guān)系可表示為：, （8）在線性近似下，外加阻抗的電流-電壓關(guān)系為：, （9）“*”代表卷積。通過傅立葉變換，可得到頻率空間外加阻抗的電流-電壓關(guān)系：， （10）和分別為和的傅立葉轉(zhuǎn)換形式。我們假設(shè)連支包圍的回路中有外加磁通，根據(jù)基爾霍夫定律有：， （11）， （12）為電路的基本回路矩陣，由電路圖1和樹支圖2可以得到：.由方程（1）（12），我們得到電路（圖1）超導相位的經(jīng)典運動方程 （13）式中各個系數(shù)矩陣見附錄A。本文我們主要考慮外加阻抗和互感對電路的效應(yīng)。假定，則有：， （14）， （15）系統(tǒng)無耗散時，則，則方程（13

6、）可簡化為： ， （16）根據(jù)分析力學，方程（16）可以由下面的拉格朗日函數(shù)得到：， (17)則無耗散時系統(tǒng)的哈密頓量為：， （18）相應(yīng)的正則坐標和正則動量為：， （19） ， （20） 3、正則量子化為了對超導電路量子化，我們需要將正則坐標和正則動量看作算符。它們滿足正則對易關(guān)系： ， （21） 為了描述環(huán)境對量子系統(tǒng)的影響，我們采用Caldeira和Leggett模型，系統(tǒng)的總哈密頓量為： ， （22）， （23）. （24）是無耗散量子電路的哈密頓量，由方程（18）給出，是諧振子庫哈密頓量， ，分別是諧振子的動量和坐標算符，滿足對易關(guān)系。 是環(huán)境與量子電路相互作用的哈密頓量， 是耦合系

7、數(shù)，是依賴于矩陣的歸一化矢量：， （25）其中：， （26）從系統(tǒng)總哈密頓量方程（22）可以得到：， （27）， （28）， （29）， （30）方程(27)(30)，經(jīng)過傅立葉變換可以得到方程：， （31）我們定義：， （32）因為是外加阻抗的函數(shù)，我們用變量代換，從而， （33）諧振子庫的譜密度定義為： ， （34）結(jié)合方程（32）（34），可以得到和譜密度的關(guān)系：， (35)比較譜密度和函數(shù)得到：, (36)， (37)對方程(16)作傅里葉變換并和(31)式比較可得：, (38)進而由(36)式可得：， (39)其中：， （40）4、動力學演化及二能級近似現(xiàn)在我們研究超導量子電路的動力

8、學演化。通過無耗散時的哈密頓量方程（18），可以求得的本征基矢。在弱耦合時，我們可以用約化密度算符來描述耗散系統(tǒng)的演化，系統(tǒng)的總動力學演化用密度算符描述，其關(guān)系為：。在Born-Markov近似下，約化密度算符遵循Bloch-Redfield 方程： ， （41）其中，Redfield張量包含了環(huán)境對系統(tǒng)的耗散作用，其表達式為：， （42）， （43）， （44）， （45）運用關(guān)系式，Redfield張量可以表示成只含的形式。用相互作用哈密頓量（24）代入上述方程得到：， （46）， （47）并可得到二能級近似下量子比特的弛豫時間，消相干時間和消相時間 ：, (48) , (49) ， (5

9、0) 把方程（46），（47）代入，得到： ， （51） . （52）對于磁通量子比特，一定條件下勢能 在位置形成一個對稱的左右勢阱，勢阱中勢能最小。我們對其作半經(jīng)典近似，認為勢能的基態(tài)和之間不發(fā)生重疊。勢壘為有限值時，左右勢阱間存在隧穿效應(yīng)，系統(tǒng)量子態(tài)是和的疊加態(tài)。此時，的本征矢應(yīng)取作：， (53)， (54) 是左右勢阱的能量差，左右勢阱的隧穿幅度，。在半經(jīng)典近似下，和不重疊： ， （55） 從（53）（55），我們很容易得到本征態(tài)下的矩陣元， (56) ， (57) 其中，把（56），（57）代入方程（51），（52）得到半經(jīng)典近似下雙勢阱的弛豫，消相和消相干時間：， （58） ， （5

10、9） ， （60）5、討論從方程（58）（60）可以看出，電路消相干隨時間呈指數(shù)規(guī)律增加，溫度越高，消相干時間越短，所以一般超導量子比特都是在低溫下操作。對于確定的超導電路，可以看作常量。因而我們主要分析熱庫漲落譜密度對消相干的影響。譜密度表達式（40）表明，譜密度不僅和偏置電路阻抗Z有關(guān)，而且電路元件之間的互感對譜密度也有重要影響，這些電路元件在對進行量子比特進行測量和操控時是不可缺少的。本節(jié)主要討論電路元件參數(shù)確定后，歐姆環(huán)境下，環(huán)境阻抗和電路元件間的互感對消相干的影響。歐姆環(huán)境下，我們分別研究了譜密度和阻抗，各互感之間的關(guān)系。圖3譜密度與阻抗的關(guān)系。，.圖3表明，在歐姆環(huán)境下，譜密度隨阻

11、抗的增加而減小。對于超導磁通量子比特，阻抗反映了環(huán)境電磁漲落對消相干的影響，隨著環(huán)境歐姆阻抗的增大，譜密度減小，從而能量弛豫時間和消相干時間增大，這和文獻19研究的結(jié)論是一致的。圖4 譜密度與互感的關(guān)系。，這里我們重點分析了電路互感對譜密度的影響。我們作出了歐姆環(huán)境下譜密度和各個互感之間的關(guān)系圖（圖4）。從圖4可以看出，譜密度隨互感的增強而增大。我們可以把互感分為兩類，一類是環(huán)境和主電路、控制電路之間的電感耦合強度，另一類是主電路、控制電路內(nèi)部電感之間的耦合強度。我們先分析第一類互感和譜密度的關(guān)系。是主回路電感和偏置電路電感之間的耦合效應(yīng)，是控制回路電感和偏置電路電感之間的耦合效應(yīng)。圖4 (b

12、)和(d)表明：隨著耦合強度、的增強，能量弛豫時間和消相干時間都在減小。對于主回路和控制回路，偏置電路就是環(huán)境，系統(tǒng)和環(huán)境的作用越強，消相干越明顯。是主回路電感，之間的耦合效應(yīng)；是控制回路電感，之間的耦合效應(yīng)。通過互感、和譜密度的關(guān)系，研究發(fā)現(xiàn)，主電路、控制電路內(nèi)部互感對消相干的影響類似于偏置電路和主電路之間耦合強度對消相干的影響。圖4（a）反映了主電路電感線圈之間的耦合效應(yīng)對消相干的影響，隨著互感的增強消相干時間逐漸減??；圖4（c）反映了控制電路電感線圈之間的耦合效應(yīng)對消相干的影響，互感系數(shù)遠小于1時，消相干時間隨互感的增強緩慢減小，互感系數(shù)接近1時，消相干時間迅速減小。這表明，對于一個實際

13、超導量子電路，它的消相干不僅僅受偏置電路構(gòu)成的環(huán)境的影響，其主電路、控制電路內(nèi)部各個子系統(tǒng)之間互為環(huán)境，對消相干產(chǎn)生很大的影響。從圖4可以看出，減弱主電路和環(huán)境的耦合效應(yīng)可以更好的保持系統(tǒng)的量子相干性，但是調(diào)控、耦合、測量量子系統(tǒng)要求量子系統(tǒng)和外界有較強耦合，兩者之間互相矛盾，必須在兩者之間取得平衡。因此，在一定條件下，我們可以通過調(diào)節(jié)主電路、控制電路內(nèi)部電感之間的耦合效應(yīng)來獲得系統(tǒng)較長時間的相干性。6、結(jié)論在本文中，我們基于Bloch-Redfield方程，研究了磁通量子電路的動力學演化。在二能級近似下，我們分析了電路互感，環(huán)境阻抗對量子比特消相干的影響，發(fā)現(xiàn)消相干時間隨阻抗的加而增加，隨互

14、感的增強而減小。為切實解決量子計算中消相干效應(yīng)帶來的計算誤差，需要我們作進一步的細致研究。附錄1: 方程（14）的系數(shù)矩陣.式中： . . . . . .參 考 文 獻1 Y. Makhlin, G. Schn, and A. Shnirman 2001 Rev. Mod. Phys. 73, 357 2 M. H. Devoret, A. Wallraff, and J. M. Martinis,”Superconducting Qubits: A Short Review,”e-print cond-mat/0411174.3 Guido Burkard 2005 Phys. Rev. B

15、 71, 144511.4 D. Vion, A. Aassime, A. Cottet et al 2002 Science 296, 886.5 A. Pashkin, T. Yamamoto et al 2003 Nature 421, 823.6 Alex Grishin, Igor V. Yurkevich, and Igor V. Lerner arXiv:cond-mat/0608445v1.7 T. P. Orlando, J. E. Mooij, L. Tian, C. H. van der Wal et al 1999 Phys. Rev. B 60, 15 398.8 M

16、. G. Castellano, F. Chiarello, R. Leoni, D. Simeone et al. 2005 Applied Physics Letters 86, 152504. 9 A. Lupascu, C. J. P. M. Harmans, and J. E. Mooij 2005 Phys. Rev. B 71, 184506. 10 Clarke J, Cleland A N, Devoret M H, Esteve D, Martinis J M. Science, 1998, 239:992-99711 Yu Y. et al. Science, 2002,

17、296:889-892.12 Y. Makhlin and A. Shnirman 2004 Phys. Rev. Lett. 92, 178301.13 D. Esteve, M. H. Devoret, and J. M. Martinis 1986 Phys. Rev. B 34, 158. 14 Caspar H. van der Wal, F. K. Wilhelm, C. J. P. M. Harmans, and J. E. Mooij arXiv:quant-ph/0303001v1.15 A. J. Berkley. H. Xu, M. A. Gubrud, R. C. Ra

18、mos et al. arXiv:cond-mat/0211664v1.16 J. Q. You, Xuedong Hu, S. Ashhab, and Franco Nori. arXiv:cond-mat/0609225v2.17 Guido Burkard, Roger H. Koch, and David P. DiVincenzo 2004 Phys. Rev. B.69, 064503.18 Zhongyuan Zhou, Shih-1 Chu, and Siyuan Han, arXiv:cond-mat/0604191v4.19 Michael J. Schauber, Seth A. Newman, Lindsey R. Goodman et al. arXiv:physics/0606124v2. The research of mutual inductances influence on the decoherence of flux qubit 江西師范大學青年成長基金(批準號：2006103)資助的課題Zhou Teng-Fei Chen Zhi-Quan Ji Ying-Hua E-mail: jyh2006College of Physic