色散型光譜儀采樣調(diào)制傳遞函數(shù)及對高斯型光譜譜線的影響_圖文

1、第 29卷 , 第 6期 光 譜 學(xué) 與 光 譜 分 析 Vol 129,No 16,pp1717217202009年 6月 Spectroscopy and Spectral Analysis J une , 2009色散型光譜儀采樣調(diào)制傳遞函數(shù)及對高斯型光譜譜線的影響趙烈烽 , 徐之海 3, 馮華君 李 摘 要 , 有必要對光譜儀中光電探測器的離散采樣過程進(jìn)行深入探討 。 , 建立了采樣模型 , 探討了輸入余弦信號的空間頻率 、 光 。 引入取整函數(shù) , 給出了統(tǒng)一的采樣調(diào)制傳 遞函數(shù)表達(dá)式 , 消去了初始相位的影響 , 便于實際應(yīng)用 。 對于色散型 , 將高斯譜線的傅里葉變換與平均采樣調(diào)

2、制傳遞函數(shù)相乘 , 得 出了光譜儀整系統(tǒng)的調(diào)制傳遞函數(shù)表達(dá)式 。 在頻率域分析了采樣過程的平均混疊誤差與空間頻率的關(guān)系 , 研究了平均混疊誤差極大值與高斯光譜譜線寬度的關(guān)系 , 并給出了要精確恢復(fù)譜線所需譜線寬度的閾值 。 該閾值對于光譜儀系統(tǒng)的光學(xué)參數(shù)選擇有重要的參考意義 。關(guān)鍵詞 色散光譜儀 ; 光電探測器 ; 調(diào)制傳遞函數(shù) ; 高斯光譜 中圖分類號 :O433 文獻(xiàn)標(biāo)識碼 :A DOI :1013964/j 1issn 1100020593(2009 0621717204 收稿日期 :2008202206, 修訂日期 :20082052083通訊聯(lián)系人 e 2mail :xuzh zju

3、. edu. cn引 言 隨著半導(dǎo)體工藝的發(fā)展 , 離散型光電探測器 (特別是 CCD 技術(shù)的發(fā)展給光譜分析領(lǐng)域帶來了革命性的進(jìn)展 1。 由光電探測器陣列組成的色散型光譜儀得到了長足的發(fā)展 , 它與傳統(tǒng)機械掃描式光電光譜儀相比的優(yōu)點在于凝視成光譜 像 , 其并行處理能力大大提高了處理速度 ; 同時由于去除了 掃描機構(gòu) , 系統(tǒng)的體積得以減小 , 成本得以降低 , 因此被大 量應(yīng)用于中小型光譜儀中 。 光電探測器陣列對連續(xù)光譜信號 的離散采樣會引入一些誤差 , 對光譜峰值的精確恢復(fù)有不利 的影響 , 因此有必要對采樣過程進(jìn)行深入分析 。胡松等對光譜儀中光電陣列探測器采樣 , 插值恢復(fù)過程 從時域

4、進(jìn)行了探討 , 對高斯型譜線進(jìn)行了分辨極限和峰值影 響的分析 , 并從頻域進(jìn)行了驗證 2; 陳剛等建立了采樣模 型 , 分析了采樣像素寬度對各種譜線的影響 , 并提出在恢復(fù) 過程中應(yīng)該引入反卷積以消除上述采樣像素的影響 3; 楊懷 棟等建立了采樣和重建的模型 , 仔細(xì)分析了采樣周期和采樣 寬度對高斯型譜線波長精度和光度精度的影響 4。 以上作者 多從空域?qū)Ψ逯岛头直鏄O限進(jìn)行了分析 , 探討了極限頻率處 的譜線恢復(fù)問題 。 本文從頻率域出發(fā) , 對采樣過程進(jìn)行了仔 細(xì)分析 , 引入了采樣調(diào)制傳遞函數(shù) 。 調(diào)制傳遞函數(shù) (M TF 是表征光學(xué)系統(tǒng)性能的重要指標(biāo) , 它也可以用于表征光電采樣過程的采

5、樣性能 。 其在采樣系統(tǒng)中的適用性已由 Witten 2stein 5、 Park 6等將等暈條件在頻率域 、 空間域進(jìn)行擴展而 在理論上得以證明 。 20世紀(jì) 90年代以來 , 提出了用干涉條 紋 、 激光散斑 、 隨機透明標(biāo)靶等方法對光電探測器進(jìn)行 M TF 測試 , 這些測試方法及其測試結(jié)果無疑從實驗的角度證明了 采樣系統(tǒng)中 M TF 的適用性 7212。文中第一部分建立了色散型光譜儀中光電探測器陣列的 采樣模型 , 并提出了平均采樣調(diào)制傳遞函數(shù) AM TF S ; 第二 部分分析了常見的高斯型光譜譜線 , 討論了采樣引起的平均 混疊誤差 , 并給出了要精確恢復(fù)譜線所需譜線寬度的閾值 。

6、1 色散型光譜儀采樣模型 一個典型的光電光譜分析系統(tǒng)原理如圖 1所示 , 它由光源 、 準(zhǔn)直鏡 、 色散元件 、 聚焦鏡及光電探測器陣列組成 。光 源發(fā)出的復(fù)合光經(jīng)狹縫后 , 通過準(zhǔn)直鏡成為平行光入射到閃 耀光柵上 。 由于光柵的作用 , 進(jìn)入系統(tǒng)的單束復(fù)合光被分解 為分離的單色光 。 這些單色光分別被聚焦鏡成像到像面上 , 成為不同位置的譜線 。 位于焦面的光電探測器陳列接收這些 光譜信號 , 對其采樣 , 轉(zhuǎn)化為電信號 , 然后放大輸出 , 供觀 察和分析 。 Fig 11 Schem atic structure of a spectrometer 提取色散方向的光電采樣過程 , 如圖

7、2所示 。 橫坐標(biāo)為 波長 , 縱坐標(biāo)為譜線強度 I , 采樣信號的相移 是指余弦信 號峰值附近兩相鄰采樣點與峰值間距離的最小值 。 考慮余弦 信號的周期性 , 可得 的取值范圍為 -1/2, 1/2 , 在圖 2所示的情況下 , 取正值 ; 為像元寬度 , 即矩形采樣信號的 寬度 ; 為像元間隔 , 即采樣間距 。Fig 12 S ampling Process in the dimension of dispersion 設(shè)輸入信號為 I =cos (2f +1, 則其振幅為 1, 空間頻 率為 f 。 采樣頻率為 f s =1/, 假設(shè)采樣間隔為單位間距 =1, 則采樣頻率為 f s =

8、1, 系統(tǒng)的 Nyquist 頻率為 f N =015。定義 S max 和 S min 為采樣信號的最大和最小值 , 則采樣過 程的 M TF S 定義為M TF S =2(1 式 (1 中 M TF S 的定義與 Feltz 等的定義不同 13,14, 他 們論文中的公式為M TF Feltz =S max +S min(2 式 (2 的采樣調(diào)制傳遞函數(shù)定義已經(jīng)被證明是不恰當(dāng)?shù)?, 因為它依賴于采樣結(jié)果中的直流分量 15。 這會導(dǎo)致在某些 采樣頻率和相移情況下 , 采樣結(jié)果中的 S min =0, 因此當(dāng) S max<1時 , 仍然可以得到 M TF S =1這樣的錯誤結(jié)果 。 因此

9、本文 將利用 (1 式推導(dǎo)出采樣調(diào)制傳遞函數(shù)的具體表達(dá)式 。對于信號的采樣值 , 其大小與采樣點所處相位有關(guān) 。 若 令 H , L 分別為采樣信號取到最大和最小值的相位 , 根據(jù) 圖 2所示 , 通過積分計算可以得到 S max 和 S min 的表達(dá)式 , 將 其代入 (1 式可以得到采樣調(diào)制傳遞函數(shù) M TF SM TF S =sin c (f cos (2 -cos (2f L /2(3式中 , sin c 函數(shù)的定義為 sin (x /(x , 且 H 的 H , 。 令 n 1/(2, 因為余弦波的半波長 , 則引入取整函數(shù)n =int (1/2f (4 用參數(shù) 表示相位余項 ,

10、定義為 =1/(2f -n , 其取值范圍為 0, 1 。 當(dāng) L 取臨界狀態(tài) 3L =1/(2f ±1/2時 , 即 -=1/2時 , I min 恰好落在兩個采樣信號最小值的中間 ,此時 S min 可以取 I min 左右的任何一個采樣點的值 。 L 在此情況下既可以取 +n , 也可以取 +n +1, 令變量 k 為k =n - 1/2n +1 ->1/2(5 則可以得到 L 的表達(dá)式 L =+k 。 將 H 和 L 的表達(dá)式代 入式 (3 , 可以得到 M TF S 的表達(dá)式 (3 , 它與空間頻率 f , 相 移 和像元寬度 有關(guān) 。M TF S =sin c (f

11、 cos (2f -cos 2f (+k /2(6式中 k 的取值由式 (5 決定 。 對于第一項 sin c (f , 它與信號 的空間頻率 f 及采樣寬度 有關(guān) , 與相位無關(guān) 。 在理想采樣 情況 , 即采樣寬度 =0, 對 M TF S 不產(chǎn)生退化影響 。對于 式 (6 中 的 余 弦 項 cos (2f -cos 2f (+k /2, 用符號 G 表示 , 它與信號頻率 f , 初始相位 及 k 的 取值都有關(guān) 。 注意到當(dāng) k =1/(2f 時 , 余弦項可以化簡為cos (2f 。 此時 , 相位余項 =0, 即半波長恰為采樣周期的整數(shù)倍 。 此時若選定初始相位 =0, 則余弦項

12、恒等于 1, 它對 M TF S 無影響 ; 若選擇初始相位為 -1/2, 則余弦項變成 cos (f , 此時它對 M TF S 具有最大的退化影響 。上述采樣調(diào)制傳遞函數(shù)的表達(dá)式雖然精確 , 但是比較復(fù) 雜 , 且無法給出統(tǒng)一的圖形 , 因此提出了平均采樣調(diào)制傳遞 函數(shù) AM TF S , 它是各種相位情況的綜合 。 其具體表達(dá)式可 將 M TF S 對 在 -1/2, 1/2 區(qū)間積分得到AM TF S =sin c (f sin c (f (7 圖 3描述了 取不同值時的 AM TF S 曲線 , 由圖可見頻 率 f 對 AM TF S 退化的影響大于 的影響 。2 在高斯型譜線中的應(yīng)

13、用 對于色散型光譜儀輸出的單條光譜線 , 其空間輪廓多為 高斯型 :I ( =exp -(/2(8 其中 為空間坐標(biāo) , 表征了高斯響應(yīng)的寬度 。 對式 (8 進(jìn)行傅里葉變換 , 可以得到其頻率域的表達(dá)形式 :I (f =exp (-f 2(9 將式 (9 歸一化就得到光電探測器成像系統(tǒng)的調(diào)制傳遞8171光譜學(xué)與光譜分析 第 29卷函數(shù) M TF I ; 再根據(jù)成像和采樣過程調(diào)制傳遞函數(shù)疊加原 理 , 利用式 (7 中的平均采樣調(diào)制傳遞函數(shù) , 可以得到色散 型光譜儀系統(tǒng)的調(diào)制傳遞函數(shù) M TF S YS :M TF S YS =M TF I AM TF S =exp -2(f 2sin c

14、(f sin c (f (10 光電探測器采樣引起的平均混疊誤差 A Err S 可以用式(11 來表示A Err S =M TF I (1-AM TF S =exp -2(f 21-sin c (f sin c (f (11 圖 4描述了采樣像元取典型值 =015時 , 不同 值情況 下平均混疊誤差 A Err S 的變化 。 為了求得平均混疊誤差 A Err S 取得峰值情況下的頻率表達(dá)式 , 將式 (11 對頻率 f 求導(dǎo)數(shù) , 并用級數(shù)展開 , 忽略級數(shù)大于 (f 4/120的項 , 同時由于 <1, 忽略 2/3項 , 最后 可解得此時的頻率 f 為f P 1/( (12 上述

15、表達(dá)式與 無關(guān) , 僅與高斯光譜譜線的寬度 有關(guān) 。 平 均 混 疊 誤 差 A Err S 取 得 峰 值 時 的 頻 率 f P 與 呈 反 比 關(guān)系 , 而由圖 4可知 , 頻率越低 , A Err S 的峰值也越低 。 可認(rèn)為在 足夠大時 , 由采樣引起的混疊誤差可忽略不計 , 即采樣 并沒有引起系統(tǒng)調(diào)制傳遞函數(shù)的退化 。 在假設(shè)采樣頻率 f S =1的情況下 , 當(dāng)高斯脈沖響應(yīng)足夠?qū)挄r , 即高斯脈沖寬度 覆 蓋 足 夠 多 采 樣 點 時 , 采 樣 系 統(tǒng) 對 色 散 型 光 譜 儀 整 體 M TF S YS 的退化影響可以忽略 , 此時 M TF S YS 主要由成像系統(tǒng) 的

16、 M TF I 決定 。 但是當(dāng) , 采樣系統(tǒng)對色散型光譜 儀 M TF S YS 。 將式 (12 代 (PA Err S =exp (-1 1-sin sin c(13 圖 5描述了在采樣系統(tǒng)像元取典型值 =015時 , 不同 值時平均混疊誤差峰值 PA Err S 的變化情況 。Fig 15 Average aliasing error peak asa function of at =015 由圖 5可見 , 當(dāng) 2時 , A Err S 的峰值 PA Err S <2%, 可以認(rèn)為采樣對光譜儀整體系統(tǒng)的調(diào)制傳遞函數(shù)退化影響很 小 , 系統(tǒng)性能主要受到成像系統(tǒng)限制 , 這是設(shè)計者

17、在一般情 況下所期望的 ; 反之 , 當(dāng) <2時 , A Err S 峰值 PA Err S >2%, 采樣引起的系統(tǒng)性能退化不可忽略 , 造成恢復(fù)的譜線的峰值 與實際值偏離較大 , 對精度造成較大影響 。 因此可以設(shè)置高 斯譜線寬度的閾值為 c =2。 在實際系統(tǒng)設(shè)計中應(yīng)選擇合理 的光學(xué)系統(tǒng)孔徑 、 焦距等參數(shù) , 保證上述高斯譜線寬度 。3 總 結(jié) 文中建立了采樣模型 , 提出了平均采樣調(diào)制傳遞函數(shù)的 概念并給出了相應(yīng)的表達(dá)式 。 對于色散型光譜儀的高斯型光 譜譜線 , 給出了光譜儀系統(tǒng)的調(diào)制傳遞函數(shù)表達(dá)式 , 分析了 采樣過程的平均混疊誤差與空間頻率的關(guān)系 , 并研究了平均

18、混疊誤差峰值與高斯光譜譜線寬度的關(guān)系 , 給出了用于指導(dǎo) 光譜儀設(shè)計的譜線寬度閾值 。9171第 6期 光譜學(xué)與光譜分析參 考 文 獻(xiàn)1 ZHAN G Zhan 2xia , L IU Hong 2tao , H E Jia 2yao (張展霞 , 劉洪濤 , 何家耀 . Spectroscopy and Spectral Analysis (光譜學(xué)與光譜分析 , 2000, 20(2 :160.2 HU Song , CH EN Wei 2min , WEN Zhi 2yu , et al (胡 松 , 陳偉民 , 溫志渝 , 等 . Acta Optica Sinica (光學(xué)學(xué)報 , 2

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22、tion T ransfer Function and the Influence on the G aussian SpectraZHAO Lie 2feng , XU Zhi 2hai 3, FEN G Hua 2jun , L I QiState Key Lab of Modern Optical Instrumentation , Zhejiang University , Hangzhou 310027, ChinaAbstract As the parameters of the photoelectric detector have important effects on th

23、e performance of the dispersive spectrome 2 ters , it is necessary to detail the discrete sampling process of the photoelectric detector array. In the present paper , the sampling model was setup , and the effects on the sampling results caused by the spatial f requency of the cosine signal , the wi

24、dth of the sampling pixel , and the initial phase of the sampling pixel position to the crest of the input cosine signal were discussed thor 2 oughly in the f requency domain. By introducing the integral f unction , a general expression of the sampling modulation transfer f unction was given , and t

25、he concept and expression of the average sampling modulation transfer f unction was proposed. Since that expression eliminates the effect of initial phase , it is much more convenient to the practical applications. For the typical G aussian spectrum produced by the dispersive spectrometer , the Fourier trans