2概率分布與t檢驗.

1、第二章概率分布與臉驗§2-1理論分布§2-2樣本平均數(shù)的抽樣分布§23統(tǒng)計假設(shè)檢驗概述§ 2-1理論分布、事件與概率1事件(1)必然事件：(2)不可能事件:隨機事件：隨機事件的特點： 在一定的條件下，有多種可能的結(jié)果發(fā)生，事前人們不 能預(yù)言哪種結(jié)果； 對一次或少數(shù)幾次觀察或試驗而言，其結(jié)果呈現(xiàn)偶然性、 不確定性； 但在相同條件下進行大量重復(fù)試驗時，其試驗結(jié)果呈現(xiàn) 出某種固有的規(guī)律性一頻率，即隨機事件的統(tǒng)計規(guī)律性。F例如，種子的發(fā)芽率試驗，少量的種籽作試驗時，其發(fā)芽率可能是85%、95%,0但當進行重復(fù)大量樣本的試驗時，其發(fā)芽率越來越接近90%,V這90%

2、實際上是這批種籽的發(fā)芽率或稱為概1.2概 率:在相同條件下進行n次重復(fù)試驗，如果隨機事 件A發(fā)生的次數(shù)為m,那么m/n稱為隨機事件A 的頻率(frequency)；心當試驗重復(fù)數(shù)n逐漸增大時，隨機事件A的頻 率m/n越來越穩(wěn)定地接近某一數(shù)值P，那么就 把為隨機事件A的概率。13小概率事件原理*概率表示了隨機事件在一次試驗中出現(xiàn)的機率。、若隨機事件的概率很小，例如<0. 05. 001、0. 001,稱之為小概率事件。心小概率事件雖然不是不可能事件，但在一次試驗 中出現(xiàn)的可能性很小，實際上可以看成是不可能/ 發(fā)生的。-*統(tǒng)計學上，把小概率事件在一次試驗中看成是不可 能發(fā)生的事件稱為小概率事

3、件原理。V此原理是統(tǒng)計學上進行假設(shè)檢驗（顯著性檢驗）的 基本依據(jù)。2概率分布（連續(xù)型隨機變量）1）連續(xù)型隨機變量（如身高、體重、物質(zhì)濃度）的概率 分布，可用隨機變量X在某個區(qū)間內(nèi)取值的概率 P （ax<b）來表示。卻概率分布密度函數(shù)，當X取值于區(qū)間a,b的概率為 中陰影部分的面積P(a<x<b)= fx)dx圖2-1概率分布曲線0s正態(tài)分布(Normal distribution)11正態(tài)分布的定義及其特征(1)正態(tài)分布的定義«若連續(xù)型隨機變量X的概率分布密度函數(shù)為I1 )/U) = e "2CT y! 2717其中"為平均數(shù)，昭為方差，則稱隨機

4、變量X服從 正態(tài)分希，iB為xN(pe2)20(比)=jJ e 2 du4)3.2標準正態(tài)分布:將一般的N（P , O 2）轉(zhuǎn)換為P =0, a 2二1的正態(tài) 5布。我們稱U =0, a 2=1的正態(tài)分布為標準 正態(tài)分布。：標準正態(tài)分布的概率密度函數(shù)及分布函數(shù)分別記作V（U）和（U）,如式3）及4）式得：3)s3) =j=a/ 2花十菇柱何一個服從正態(tài)分布N （ P ,。2）的隨機 變量X,都可以通過標準化變換，u=（X- U ） / a5）將其變換為服從標準正態(tài)分布的隨機變量U。U稱為標準正態(tài)變量（standard normal deviate）。心按5）式計算，對不同的U值編成函數(shù)表，稱為

5、 正態(tài)分布表，見附表1,從中可查到U在任意 -個區(qū)間內(nèi)取值的概率。3.3正態(tài)分布概率的計算1）標準正態(tài)分布的概率計算（N0RMSDI ST） 心設(shè)U服從標準正態(tài)分布，貝lju在葉出內(nèi)取值 的概率為：1III、1二I p« UII !«, -M" P（«i <u <Uj）= . I £ 2 du = j=0 2 du1= f e 2 du=<t>（U2）（Ui）心而（W）與（U2）可由附表1查得。關(guān)于標準正態(tài)分布，以下幾種 概率應(yīng)當熟記：<P(-l<f/ <1)=0.683"(J96M <

6、196) =C心P (-2.58</ <2.58) =C：對于一般正態(tài)分布2卸+<0 =0.6!0P (p-1.96oS < p+1.'=0.95gP (p-2.58tySt <p+2.58o)=0.99(3)兩尾概率和一尾概率數(shù)理統(tǒng)計中，把隨機變量精在平均數(shù)P加、減不 同倍數(shù)標準差O區(qū)間之外的概率稱為兩尾概率，記 作a。隨機變量"W U 一kG或Nu +/ro的概率，稱為一尾 概率，記作0/2。心例如，X落在(U-1.96O, U+1.96O)之外的雙尾概率為 0. 05,而單尾概率為0. 025o心即P(xV U-1.96 0)= P(x&g

7、t; u+1.96 0)=0. 025兩尾概率或一尾概率如圖2-4所示。0 熾在(U -2. 58 O . U +2. 58 O )之外的雙尾概率為0. 01, 心而單尾概率P(xV U -2. 58 O ) = P(x> u +2. 58 a ) =0. 005§ 2-2樣本平均數(shù)的抽樣分布1、樣本平均數(shù)抽樣分布1.1定義:從一總體隨機地抽取樣本容量為n的樣本，由 這些樣本算得的平均數(shù)隨抽樣次數(shù)的分布， 稱為樣本平均數(shù)的抽樣分布。樣本平均數(shù)與原總體平均數(shù)U相比表現(xiàn)出的 差異是由隨機抽樣造成的，稱為抽樣誤差 (sampling error) o由總體隨機抽樣(random sa

8、mpling)的 方法可分為有返置抽樣和不返置抽樣兩 種OV前者指每次抽出一個個體后，這個個體應(yīng) 重返原總體；心后者指每次抽出的個體不返回原總體。:對于無限總體，返置與否都可保證各個 體被抽到的機會相等。心對于有限總體，就應(yīng)該采取返置抽樣， 否則各個體被抽到的機會就不相等。1.2中心極限定理:若有一隨機變量服從總體平均數(shù)為U、 方差為O 2的分布，則從這個總體中隨機/ 抽取容量為的樣本，隨樣本容量打的不斷增大，其樣本平均 數(shù)的分布亦愈來愈趨于正態(tài)分布，誦本平均數(shù)分布的平均數(shù)和標準差分別記為和6°心且具有平均數(shù)為P、方差為o2/n的分布J 稱為中心極限定理。V b丘是樣本平均數(shù)抽樣總體

9、的標準差，簡稱標準誤 (standard error)。總體的兩個參數(shù)與X原總體的兩個參數(shù)有如下關(guān)系:&=“，樂=刃厶無論胡艮從何種分布，一般只要n>30,就可認為的 分布是正態(tài)的。在正態(tài)分布總體中，以相同n抽取若干個樣本(如:試 驗重復(fù)n=3)時，樣本均數(shù)的分布仍服從正態(tài)分布。1.3標準誤樣本平均數(shù)抽樣總體的標準誤G的大小反映 樣本平均數(shù)抽樣誤差的大小，即精確性的高 低。心總體標準差。往往是未知的，七難計算，但可 用樣本標準差S估計:故，S壬即樣本標準誤或平均數(shù)標準誤可估計 總體平均數(shù)的標準誤。S _ 1工(宀)2-1)_ I工兀2 一(丫兀)2 Inq n(n-l)卞蒔禱準差

10、與樣本標準誤是兩個不同的統(tǒng)計S。i二者的區(qū)別在于：心樣本標準差S是樣本中各觀測值兀"兀力兀3，變異程度的一個 指標，反映了 X對該樣本代表性的強弱。心樣本標準誤是樣本平均數(shù)的標準差，它是亍抽樣誤差的估 計值，說明了 X精確性的高低。：對于大樣本資料，常將樣本標準差S與樣本平均數(shù)配 合使用，記為元土S,用以說明所考察指標的優(yōu)良性 與穩(wěn)定性。對于小樣本資料，常將樣本標準誤與樣本平均數(shù)配g 使用，記為牙土Sn用以表示所考察指標的優(yōu)良性旦 抽樣誤差的大小。)2、/分布(f-distribution)E用來研究小樣本的抽樣分布，是由William S. Cosset 于1908年以Studen

11、t的筆名發(fā)表的論文.由樣本平均數(shù)迪樣分布的性質(zhì)知道：若XXN ( " , O 2),貝阮NI , a 2/n)。則"心將隨機變量標準化得：U =(X II)/cr-：當總體標準差a未知時，以樣本標準差易弋替。所 得到的統(tǒng)計®記為仁r = (x-/z)/S-在計算升時，由于采用S來代替。，使得亡變量不 再服從標準正態(tài)分布，而是服從 旳*布(Cosset & Fisher)。專它的概率分布密度函數(shù)如下:=十廠51)/2(1 + 11)-辰W/2) df)V式中，亡的取值范圍是(-8, +8)； d仁nT 為自由度。j：布的平均數(shù)和標準差為：P £=0

12、,6 = yldf/(df-2)(少2)* r分布的標準差與總體標準差沒有關(guān)連。因此，特別 適用于抽樣誤差大的小樣本。二I）形>布受自由度的制約，每一個自由度都有一條 旳布密度曲線。 2）冊布密度曲線以縱軸左右對稱，且在十=0時， 函數(shù)值最大。 3）與標準正態(tài)分布曲線相比，旳<布曲線頂部略低, 兩尾部稍高而平。刃越小這種趨勢越明顯。 4） 越大，f分布越趨近于標準正態(tài)分布。9當/2>30時，/分布與標準正態(tài)分布的區(qū)別很小； x?»w>100時，r分布基本與標準正態(tài)分布相同；飛2-3統(tǒng)計假設(shè)檢驗概述K顯著14檢驗的基本原理1.1概念«1）統(tǒng)計檢驗（統(tǒng)計

13、推斷兒 根據(jù)抽樣分布規(guī)律 和概率理論，由樣本統(tǒng)計數(shù)去推斷總體參數(shù) 的方法。包括假設(shè)檢驗和參數(shù)估計«2）假設(shè)檢驗：根據(jù)某種實際需要，對未知或 不完全知道的統(tǒng)計總體提出一些假設(shè)（這些假 設(shè)構(gòu)成完全事件），然后由樣本的實際結(jié)果計 算后作出的在一定概率意義上應(yīng)當接受的那 種假設(shè)的檢驗。V如在白班生產(chǎn)的產(chǎn)品與晩班生產(chǎn)的產(chǎn)品， 其質(zhì)量的差異是由抽樣誤差產(chǎn)生的還是由生 產(chǎn)工人產(chǎn)生的差異。 3）參數(shù)估計.由樣本的統(tǒng)計數(shù)對總體的 參數(shù)作出的點估計和區(qū)間估計。 4）點估計：以統(tǒng)計數(shù)估計相應(yīng)的總體參 數(shù)。如由樣本平均數(shù)估計總體平均數(shù)，由樣本標準誤估計總體標準誤。 5）區(qū)間估計.根據(jù)統(tǒng)計數(shù)的概率分布， 估計

14、出相應(yīng)的總體參數(shù)（8 ）的范圍區(qū)間1.2顯著性檢驗的意義:對兩個樣本進行比較時，判斷樣本間差異是 抽樣誤差造成的，還是本質(zhì)不同引起的。心這正是顯著性檢驗要解決的問題。:由于總體平均數(shù)未知，在進行顯著性檢驗時 只能以樣本平均數(shù)作為檢驗對象，更確切地 說，是以兩樣本平均數(shù)的差數(shù)作為檢驗對象。,為什么以樣本平均數(shù)作為檢驗對象呢？ 這是因為樣本平均數(shù)具有下述特征： 1）、離均差的平方和最小。說明樣本平均1 數(shù)與樣本各個觀測值最接近，平均數(shù)是資1 料的代表數(shù)。！心2）、樣本平均數(shù)是總體平均數(shù)的無偏估計 4caIB. o根據(jù)統(tǒng)計學中心極限定理，樣本平均 數(shù)的分布服從或逼近正態(tài)分布。1-3統(tǒng)計假設(shè)檢驗的數(shù)學

15、模型:對于兩個不同處理的樣本，其平均值表示為:兀1 = “1 + 6兀2 = “2 + 2迢 X兀2 (“ 勺2)+(6 2)和 分：一部分是兩個總體平均數(shù)的差()，稱試驗的(treatment effect) 昂l部分是()o巧&22、顯著性檢驗的基本步驟(1) 首先對試驗樣本所在的總體作假設(shè)I、無效假設(shè)(HA 假設(shè)總體平均數(shù)與某一指定 值相等或假設(shè)兩個總體參數(shù)相等，這種假設(shè) 稱為無效假設(shè)，表示處理效應(yīng)無效，是由誤差 造成的。HQ : fl =卩2II、備擇假設(shè)(Ha)：備擇假設(shè)是在無效假設(shè)被 否定時準備接受的假設(shè)，與無效假設(shè)一起構(gòu) 成完全事件。Ha : “工“21) 提出無效假設(shè)與

16、備擇假設(shè)：“ = 50Q/a :“h5002) 計算地 經(jīng)計算得：元=5027, S = 8.6416心匕= 5027-5譽 “988S 8.64167106 = n-l = 10-l=9由莎9,查婕利附表3) />0. 05,故，> (2)確定顯著水平a ,般為005或0. 01的小 概率。心(3)在無效假設(shè)成立的前提下，根據(jù)統(tǒng)計數(shù)的 抽樣分布規(guī)律，計算無效假設(shè)正確的概率。J (4)根據(jù)“小概率事件不可能性原理”否定或 接受無效假設(shè)O、若Pvz,或t >1,則在a水平上否定Ho，接受Ha； 、若PM,或Irl丸，則在"水平上接受Ho，表明是因 誤差而產(chǎn)生的。>

17、;L'irrr某礦泉水企業(yè)的自動裝罐機，在正常工作狀態(tài)時, 每罐凈容S具正態(tài)分布N (500, 64)(單位：mDo某日隨機 抽查了 10瓶，得結(jié)果如下：505,512,497,493,50& 515, 502, 495, 490. 510,問瓶裝機工作是否正常？ 解：根據(jù)題意，本例應(yīng)進行雙尾十檢驗。)3)查臨界地，作出統(tǒng)計推斷 得0.05=2.262,因為I十|<七0 05, 即裝罐機工作正常。、兩尾檢驗與單尾檢驗(1)兩尾檢驗：無效假設(shè)HQ :從=d：備擇假設(shè)H幷:“ H “2V備擇假設(shè)中包括了“2或“ “2兩種可能。 心這個假設(shè)的目的在于判斷兩均值有無差異， 而不考

18、慮誰大誰小。«在生產(chǎn)實踐中，雙尾檢驗不一定符合實際情況， 常用一尾檢驗。V如采用某種新的技術(shù)來提高某化工產(chǎn)品的質(zhì)量， 此種技術(shù)的實施不會降低質(zhì)量。)尾檢驗即統(tǒng)計假設(shè)僅有一個否定區(qū)域的檢驗叫一尾 檢驗。此時查一尾檢驗的臨界tfiS。心無效假設(shè)應(yīng)為：Ho :“心備擇假設(shè)應(yīng)為：Ha：從4 即新配套技術(shù)的實 施使質(zhì)量有所提高。這時的否定域在椅布曲線 的右尾。反之，若無效假設(shè)丹0 : “I “7備擇假設(shè)/人:“1 " 此時的否定域在朽 布曲經(jīng)的左尾。顯然，單尾檢驗的/二雙尾檢驗的tgHa： M >M 0Ha： M <P o尾檢驗*4*識;尾檢驗還是雙尾檢驗，應(yīng)根據(jù)專業(yè)知 識及要求在試驗設(shè)計時確定。一般若事先不知道所比較的兩個處理效果 誰好誰壞，分析的目的在于推斷兩個處理 效果有無差別，則選