恒成立能成立問題總結(jié)材料(詳細(xì))

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)恒成立問題的類型和能成立問題及方法處理函數(shù)與不等式的恒成立、能成立、恰成立問題是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)、難點(diǎn)問題。這類問題在各類考試以及高考中都屢見不鮮。感覺題型變化無常，沒有一個(gè)固定的思想方法去處理，一直困擾著學(xué)生，感到不知如何下手。在此為了更好的準(zhǔn)確地把握快速解決這類問題，本文通過舉例說明這類問題的一些常規(guī)處理。一、函數(shù)法（一）構(gòu)造一次函數(shù)利用一次函數(shù)的圖象或單調(diào)性來解決對(duì)于一次函數(shù)f ( x)kxb(k0), x m, n 有：f ( x)0恒成立k 0或 k 0f (m) 0;f ( m) 0f ( n) 0f (n) 0f ( x)0恒成立f (m)0f (n)0例 1 若不等

2、式 2x1mx 2m 對(duì)滿足2m2 的所有 m 都成立，求 x 的范 圍。解析：將不等式化為：m( x21)( 2x1)0 ，構(gòu)造一次型函數(shù)：g(m)( x21)m(2 x1)原命題等價(jià)于對(duì)滿足2m2 的 m ，使 g( m)0 恒成立。g ( 2) 02(x21) (2x 1) 0由函數(shù)圖象是一條線段，知應(yīng)2( x2g (2) 01) (2x 1) 0解得17x13，所以 x 的范圍是 x ( 1 7 ,13 ) 。2222精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)小結(jié)：解題的關(guān)鍵是將看來是解關(guān)于x 的不等式問題轉(zhuǎn)化為以m 為變量， x 為參數(shù)的一次函數(shù)恒成立問題，再利用一次函數(shù)的圖象或單調(diào)性解題。練習(xí) :(1)若不

3、等式 ax10 對(duì) x1,2 恒成立，求實(shí)數(shù)a 的取值范圍。（2）對(duì)于 0p 4 的一切實(shí)數(shù)，不等式 x 2px 4x p 3 恒成立，求 x 的取值范圍。（答案：或）（二）構(gòu)造二次函數(shù)利用二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)及二次方程根的分布來解決。對(duì)于二次函數(shù)f ( x)ax2bxc0(a0) 有：（ 1） f (x)0在xR 上恒成立a0且0 ；（ 2） f (x)0在xR 上恒成立a0且0（ 3）當(dāng) a0 時(shí)，若 f (x)0在, 上恒成立bbb2 a或2 a或2 af ( ) 00f ( ) 0若 f ( x)0在 ,f ()0 上恒成立)0f (f ()0（ 4）當(dāng) a0時(shí)，若f ( x)0在,

4、上恒成立f ()0若 f ( x)0在 , 上恒成立bbb2 a或2 a或2 af ( ) 00f ( ) 0精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)例 2 若關(guān)于 x 的二次 不等式： ax2(a1) xa10 的解集為 R ，求 a 的取值范圍 .解：由題意知，要使原不等式的解集為R ，即對(duì)一切實(shí)數(shù)x 原不等式都成立。a 0a0a0只須(a1)24a( a 1) 03a22a 1 00a011或1a. a 的取值范圍是aa3,133說明 ：1、本題若無 “ 二次 不等式” 的條件，還應(yīng)考慮 a0 的情況，但對(duì)本題講 a0時(shí)式子不恒成立。 2、只有定義在 R上的恒二次不等式才能實(shí)施判別式法；否則，易造成失解。練習(xí)：

5、 1、 已知函數(shù)ymx26m8 的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍。mx（答案 0 m 1）2 、 已知函數(shù) f (x)x22kx2在( 1,) 時(shí) f ( x)k 恒成立，求實(shí)數(shù) k 的取值范圍。 （答案 3 k1）提示：構(gòu)造一個(gè)新函數(shù) F ( x) f ( x) k 是解題的關(guān)鍵，再利用二次函數(shù)的圖象性質(zhì)進(jìn)行分類討論，使問題得到圓滿解決。（三）、利用函數(shù)的最值-分離參數(shù)法或值域法若在等式或不等式中出現(xiàn)兩個(gè)變量，其中一個(gè)變量的范圍已知，另一個(gè)變量的范圍為所求，且容易通過恒等變形將兩個(gè)變量分別置于等號(hào)或不等號(hào)的兩邊即分離參變量 ，則可將恒成立問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值問題求解。注意參數(shù)的端點(diǎn)值能否

6、取到需檢驗(yàn)。類型一： “ af (x) ”型一、（恒成立）精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)（ 1） xD , f ( x) m 恒成立f (x)min m ；（ 2）xD , f ( x)m 恒成立mf (x)max ；二、（能成立、有解） ：（ 1）xD , f ( x)m 能成立mf ( x)在 D內(nèi)有解f ( x)maxm ；（ 2）xD , f ( x)m 能成立mf ( x)在 D內(nèi)有解mf (x) min ；三、（恰成立）（ 1）不等式（ 2）不等式fxA 在區(qū)間 D 上恰成立不等式fxA的解集為 D ；fxB 在區(qū)間 D 上恰成立不等式fxB的解集為 D.四、（方程有解）方程 mf ( x) 在

7、某個(gè)區(qū)間上有解，只需求出f (x) 在區(qū)間上的值域A 使 mA 。例 3：設(shè) f ( x)lg 12xa4x, 其中 aR ，如果 x(.1)時(shí)， f (x) 恒有意義，求 a3的取值范圍。解：如果 x(.1) 時(shí)， f (x) 恒有意義不等式 12 xa 4x0 對(duì) x (,1) 恒成立a12x(2x2x.1)恒成立。4x2) ， x (令 t2x ， g(t)(tt 2 ) ，又 x (.1) ，則 t( 1 ,)2ag(t ) 對(duì) t1) 恒成立，又g(t) 在 t1) 上為減函數(shù)，( ,22g(t) maxg( 1)3，a3244例 4：若關(guān)于 x 的不等式 x2axa3 的解集不是空

8、集，則實(shí)數(shù)a 的取值范圍。解： 設(shè)fx x2axa . 則關(guān)于x 的不等 式23的解集 不是空 集()xaxa精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)f ( x)3在 R 上能成立f ( x) min3 ,即 f ( x) min4aa 23，解得 a6或 a24例 5 不等式 kx 2k20 有解，求 k 的取值范圍。解：不等式kx2k2 0有解k ( x21)2能 成 立k2能 成 立2x 2 1k() max2， 所以 k(,2) 。2x1x1t例 6（ 2008 年上海）已知函數(shù)f ( x) 22| x | 若不等式2f (2 t )+mf ( t ) 0 對(duì)于 t 1,2恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解：本題可

9、通過變量分離來解決當(dāng) t1,2時(shí)，t2t1t12 (222t)m(22t )0即 m(2 2t1)(2 4t1) ， 22t10 ， m(22t1) t1,2 ， (22t1)17,5故 m 的取值范圍是 5,)例 7（1990 年全國）設(shè)f (x)lg1x2 x3xn(n1) xn x a ，其中 a 為實(shí)數(shù)， n為任意給定的自然數(shù)，且n2 ，如果 f ( x) 當(dāng) x(，1 時(shí)有意義，求a 的取值范圍解：本題即為對(duì)于x(， 11210 恒成立，有 xx(n)xxan這里有三種元素交織在一起，結(jié)構(gòu)復(fù)雜，難以下手，若考慮到求a 的范圍，可先將 a分離出來，得 a( 1) x(2 ) x( n1

10、) x ( n2) ，對(duì)于 x(， 1 恒成立nnn構(gòu) 造 函 數(shù) g( x)( 1) x( 2) x( n 1) x ， 則 問 題 轉(zhuǎn) 化 為 求 函 數(shù) g( x) 在nnn( k ) x (k 1， 2， ， n 1) 在x (，1 上 的 值 域 ， 由 于 函 數(shù) u( x)n精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)x(，1 上是單調(diào)增函數(shù)，則 g( x) 在 (，1上為單調(diào)增函數(shù)于是有g(shù)( x) 的最大值為 g(1)1 (n2從而可得 a1 (n 1)2如何在區(qū)間 D 上求函數(shù) f(x) 的最大值或者最小值問題 , 我們可以通過習(xí)題的實(shí)際取合理有效的方法進(jìn)行求解, 通?？梢钥紤]利用函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的圖

11、像、二次函數(shù)的配方法、三角函數(shù)的有界性、均值定理、函數(shù)求導(dǎo)等等方法求函數(shù)f （x）的最值1) ，, 采類型二：“ f xg (x) ”型（1）xD , f (x)g( x)恒成立f (x)的圖象恒在 g( x)的圖象的上方f ( x) ming( x)max ( xD )恒成立h(x)f ( x)g (x)0恒成立。例 8 已知 f(x)= lg(x+1) ， g(x)=lg(2x+t) ，若當(dāng) x 0,1 時(shí)， f(x) g(x) 恒成立，求實(shí)數(shù) t 的取值范圍 .解f(x) g(x) 在x 0,1恒 成 立 ， 即在x 0,1恒 成 立在 0,1上的最大值小于或等于零.令，. x 0,1

12、， F (x) 0，即 F(x) 在0,1 上單調(diào)遞減， F(0) 是最大值 . f(x) F(0)=1-t 0，即 t 1.類型三：“ f x1g( x2 ) ”型（恒成立和能成立交叉）：精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)（ 1） x1 D, x2E, f (x1 ) g ( x2 ) 成立f ( x1) min g( x2 )f ( x1 ) ming( x2 )f ( x1 )ming ( x)min；例 9 已知兩個(gè)函數(shù)f ( x) 8x216xk, g ( x) 2x35x 24x ，其中 k 為實(shí)數(shù)。（ 1）對(duì)任意 x3,3，都有 f( x)g( x) 成立，求 k 的取值范圍；（ 2）存在 x3,

13、3 ，使 f (x)g( x) 成立，求 k 的取值范圍；（ 3）對(duì)任意 x1, x23,3 ，都有 f (x1 )g ( x2 ) ，求 k 的取值范圍。解析：（ 1）設(shè) h(x)g( x)f ( x)2x33x212xk 問題轉(zhuǎn)化為 x3,3時(shí)，h(x)0 恒成立，故 h( x) min0 。令 h' ( x)6x26x120 ，得 x1或 x2 。由 h(1)7k ,h(2)20k, h(3)k45, h(3)k9 ，故 h( x)min45k由 k450k45 。（ 2）據(jù) 題 意 ： 存 在 x3,3， 使 f ( x)g( x)成 立h(x) g( x)f ( x)0 在x

14、3,3有解，故 h( x)max0，由（ 1）知 h( x) maxk7，于是得 k7 。（ 3）分析：它與（1 ）問雖然都是不等式恒成立問題，但卻有很大的區(qū)別。對(duì)任意x1 , x23,3 ，都有 f (x1)g (x2 ) 成立，不等式的左右兩端函數(shù)的自變量不同，x1 ,x2的取值在3,3 上具有任意性，因而要使原不等式恒成立的充要條件是：f (x)maxg( x) min , x3,3 ，由'( )6x210x40 ，得或2，易得x1xg( x)min g ( 3)21g x3又 f (x) 8( x1) 28k ， x3,3.故 f (x)maxf (3)120k ，令 120k

15、21k 141 。精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)例 10：（ 2010 山東）已知函數(shù) f (x)ln xax 1 a 1 (aR) .1x( ) 當(dāng) af ( x) 的單調(diào)性；時(shí)，討論21（）設(shè)g ( x) x22bx4.x1(0, 2)x21,2時(shí)，若對(duì)任意，存在，使當(dāng) a4f (x1) g( x2 ) ，求實(shí)數(shù) b 取值范圍 .解析： ( ) 當(dāng) a0時(shí)，函數(shù)f (x) 在(0,1) 單調(diào)遞減， (1,) 單調(diào)遞增；當(dāng) a1時(shí) x1 x2， h( x)0 恒成立，此時(shí)f( x)0 ，函數(shù) f ( x) 在2(0,) 單調(diào)遞減；當(dāng) 0a1時(shí)，函數(shù) f ( x) 在 (0,1) 單調(diào)遞減， (1,11)

16、單調(diào)遞增，( 12a1,) 單調(diào)遞減 .a1（）當(dāng) a時(shí)， f (x) 在（ 0， 1）上是減函數(shù)，在（ 1， 2）上是增函數(shù)， 4所以對(duì)任意 x1(0,2)，有 f (x1)f (1)- 1，2又已知存在 x21,2，使 f ( x1 )g ( x2 )，所以1g(x2 ) ，x21,2 ，（）2b) 2b2 , x 1,2又 g(x) ( x4當(dāng) b1時(shí)， g(x)ming(1) 52b0 與（）矛盾；當(dāng) b1,2 時(shí)， g(x)min g(1)4b20也與（）矛盾；當(dāng) b2 時(shí)， g( x) ming(2) 84b1 ,b17.28綜上，實(shí)數(shù) b 的取值范圍是 17 ,) .8例 11

17、已知函數(shù)，若對(duì)任意 x，x -2,2，都有12f(x 1) g(x2) ，求 c 的范圍 .解 因?yàn)閷?duì)任意的 x， x -2,2，都有 f(x) g(x) 成立，1212 f(x)max g(x)min.精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn) f (x)=x 2-2x-3 ，令 f (x) 0 得 x 3 或 x -1 ； f (x) 0 得-1 x 3. f(x) 在 -2,-1為增函數(shù)，在 -1,2為減函數(shù) . f(-1)=3 ， f(2)=-6 ， f(x)max=3. . c -24.類型四：“ f ( x1 )f xf ( x2 ) ”型例 12：已知函數(shù)，若對(duì)任意x R，都有 f(x 1) f(x)f(

18、x 2) 成立，則|x 1-x 2| 的最小值為 _.解 對(duì)任意xR，不等式f(x 1) f(x) f(x 2) 恒成立， f(x 1) ， f(x 2) 分別是 f(x) 的最小值和最大值 .對(duì)于函數(shù)y=sinx ，取得最大值和最小值的兩點(diǎn)之間最小距離是，即半個(gè)周期.又函數(shù)的周期為4， |x 1-x 2| 的最小值為 2.類型五：例 13 (2005湖北 ) 在 y=2x， y=log 2 x， y=x 2， y=cosx 這四個(gè)函數(shù)中，當(dāng)0 x1x2 1 時(shí)，使恒成立的函數(shù)的個(gè)數(shù)是()A.0B.1C.2D.3精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)解 本題實(shí)質(zhì)就是考察函數(shù)的凸凹性，即滿足條件的函數(shù)，應(yīng)是凸函數(shù)的性

19、質(zhì)，畫草圖即知y=log 2x 符合題意 .類型六： . “ 0”型例 14已知函數(shù) f(x)定義域?yàn)?-1,1， f(1)=1 ，若 m， n -1,1， m+n 0 時(shí)，都有2對(duì)所有 x-1,1 ， a -1,1恒成立，求實(shí)數(shù)t 的，若 f(x) t -2at+1取值范圍 .解 任取 -1 x1 x21，則.由已知 0，又 x1-x 20， f(x 1)-f(x2) 0，即 f(x) 在 -1,1 上為增函數(shù) . f(1)=1 ， x -1,1 ，恒有 f(x) 1.要使 f(x) t 2-2at+1 對(duì)所有 x -1,1 ， a-1,1 恒成立，即要 t 2-2at+1 1 恒成立，故

20、t 2-2at 0 恒成立 .令 g(a)=t2-2at ，只須 g(-1) 0 且 g(1) 0，精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)解得 t -2 或 t=0 或 t 2.評(píng)注形如不等式“ 0”或“ 0”恒成立，實(shí)際上是函數(shù)的單調(diào)性的另一種表現(xiàn)形式，在解題時(shí)要注意此種類型不等式所蘊(yùn)涵的重要信息.類型七：“ |f(x1) f(x2)| t(t為常數(shù) ) ”型例 15 已知函數(shù) f(x)=-x4+2x3，則對(duì)任意 t 1，t 2 -,2(t1 t 2) 都有 |f(x1)-f(x2)| _恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)t 1=_， t 2=_時(shí)取等號(hào) .解 因?yàn)?|f(x1)-f(x2)| |f(x)max-f(x)min|

21、恒成立，由， x-,2 ，易求得，. |f(x 1)-f(x2)| 2.類型八：“ |f(x1)-f(x)| |x -x | ”型212例 16 已知函數(shù)f(x)=x3+ax+b，對(duì)于 x1,x 2 (0,)(x 1 x2) 時(shí)總有 |f(x1)-f(x2)|x 1-x 2| 成立，求實(shí)數(shù)a 的范圍 .解 由 f(x)=x3+ax+b，得 f (x)=3x 2+a，當(dāng) x(0,) 時(shí)， a f (x) 1+a.精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn) |f(x1)-f(x2)| |x 1-x 2| ，-1 a 0.評(píng)注由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知道，函數(shù)y=f(x)圖像上任意兩點(diǎn)P(x 1,y 1) ， Q(x 2,y 2)

22、連線的斜率(x 1 x2) 的取值范圍， 就是曲線上任一點(diǎn)切線的斜率( 如果有的話 ) 的范圍，利用這個(gè)結(jié)論，可以解決形如 |f(x 1)-f(x 2)| m|x1-x 2| 或 |f(x 1 )-f(x 2)| m|x 1-x 2|(m 0) 型的不等式恒成立問題 .（四）數(shù)形結(jié)合法數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過： “數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微” ，這充分說明了數(shù)形結(jié)合思想的妙處，在不等式恒成立問題中它同樣起著重要作用。我們知道，函數(shù)圖象和不等式有著密切的聯(lián)系 , 對(duì)一些不能把數(shù)放在一側(cè)的，可以利用構(gòu)造對(duì)應(yīng)兩個(gè)函數(shù)的圖象法求解。1） f (x)g (x)函數(shù) f (x) 圖象恒在函數(shù)g( x) 圖象

23、上方；2） f (x)g(x)函數(shù) f ( x) 圖象恒在函數(shù)g ( x) 圖象下上方。例 17已知 a0, a1, f ( x)x2a x ,當(dāng) x( 1,1)時(shí) , 有 f (x)1 恒成立 ，求實(shí)數(shù) a2的取值范圍。解析：由 f (x)x2a x1 ，得 x2 1a x ，構(gòu)造出兩個(gè)函數(shù)并在同一直角坐22標(biāo) 系 中 作 出 它 們 的 圖 象 ， 如 果 兩 個(gè) 函 數(shù) 分 別 在 x 1和 x1處相交，則由121a及 (1) 21a 1得到 a 分別等于 2 和 0.5 ，并作出函數(shù) y2 x 及 y( 1 ) x2212的圖象，所以，要想使函數(shù)x2a x 在區(qū)間 x(1,1) 中恒成

24、立， 只須 y2x 在區(qū)21間 x(1,1) 對(duì)應(yīng)的圖象在 yx2在區(qū)間 x( 1,1) 對(duì)應(yīng)圖象的上面即可。當(dāng)2精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)1a1時(shí), 只有 a 2 才 能 保 證 ， 而 0 a 1時(shí)，只有 a 才 可 以 ， 所 以 2a 1 ,1)(1,2 。24例 18 設(shè) f ( x)x 24x ,g ( x)x1 a , 若恒有 f (x)g( x) 成立 , 求實(shí)數(shù) a3的取值范圍 .y分析：在同一直角坐標(biāo)系中作出f ( x) 及 g ( x)的圖象如圖所示，f (x) 的圖象是半圓 (x2)2y 24( y 0)g(x) 的圖象是平行的直線系4x3y3 3a0 。-2-4x要使 f ( x)g( x) 恒成立，-4O則圓心 ( 2,0) 到直線 4x3 y33a0 的距離滿足d833a255解得 a5或 a（舍去 )3練習(xí)：若對(duì)任意xR , 不等式 xax 恒成立，求實(shí)數(shù)a 的取值范圍。 1 a 1練習(xí)：1、已知二次函數(shù)滿足 f (0)1，而且 f (x 1)f ( x) 2x ，請(qǐng)解決下列問題（ 1）求二次函數(shù)的解析式。f ( x)x2x1（ 2）若 f (x)2xm 在區(qū)間 1,1上恒成立，求 m 的取值范圍。 (,1)（ 3）若 f (x)2xm 在區(qū)間 1,1上恒成立，求 m 的取值范圍。1,5（ 4）若 f (x)2xm 在區(qū)間