《高等教育自學(xué)考試》《線性代數(shù)》07.10

1、全國(guó)2007年10月高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)（經(jīng)管類）試 題答案課程代碼：04184一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20 分）1.設(shè)行列式a2 b2=1 ,aCa2 C2=2,則a1a2b| +c) b2 +c2=(D)A . -3B.-1C.1D. 3a1b|a1b|+a1 C1=1+2=3.a 2b? * C2a2b2a?C22 .設(shè)A為3階方陣，且已知|-2A| = 2，則|A|= （ B ）A -1 B VC 寸 D - 13i-AR ,(I)AH , |A一 4 .3.設(shè)矩陣A, B , C為同階方陣，則（ABC） （ B ）A . AtBtCtB. CtBtAtC.

2、CtAtBtD. AtCtBt4.設(shè)A為2階可逆矩陣，且已知（2A）2,則A=（ D 住4丿(2 A)1 2<3 4丿1 2、2 <3 4 丿C.1 2<3 4丿(1 22A= J，A =2 <3 4)5 .設(shè)向量組1,2,i,s線性相關(guān)，則必可推出（ C ）A . ：-1-2-,：s中至少有一個(gè)向量為零向量B .宀宀,宀中至少有兩個(gè)向量成比例C . ：-1-2，宀中至少有一個(gè)向量可以表示為其余向量的線性 組合D . ：-1-2',：-s中每一個(gè)向量都可以表示為其余向量的線性組合6. 設(shè)A為mn矩陣，則齊次線性方程組 Ax=0僅有零解的充分必要條件是（A ）A

3、. A的列向量組線性無(wú)關(guān)B . A的列向量組線性相關(guān)C. A的行向量組線性無(wú)關(guān)D . A的行向量組線性相關(guān)Ax= 0僅有零解二r（A）二n二A的列向量組線性無(wú)關(guān).7. 已知12是非齊次線性方程組 Ax=b的兩個(gè)不同的解，：-1/-2是其導(dǎo)出組Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，Ci,C2為任意常數(shù)，則方程組Ax=b的通解可以表為（A）1A .2（丹血）+& ai +C2（ a + a2）B .12 （ b 一 隔）+G a +C2（ai+ a2）1C . 2（卩2：）Ci a C2（目一役）D .12（目一卩2） +C1 a +C2（ B + 禺）2（已+卩2）是Ax=b的特解，8,8 +%是Ax

4、=0的基礎(chǔ)解系.&設(shè)3階矩陣A與B相似，且已知 A的特征值為2,2,3，貝U9.設(shè)A為3階矩陣， 值為（B ）且已知|3A 2E| = 0，則A必有一個(gè)特征C.|3A +2E| = 0 二2 E A3宀A必有一個(gè)特征值為-1 .10 .二次型 f（X1, X2，X3）=xj * X； x3 2X1X2 4X1X3 的矩陣為（C ）|3A+2EUIE"""必有一個(gè)特征值為 冷A .丄B.1C. 7127*2 0 0 *2 0 0B相似于0 2 0,|B|=0 2 0=12 , |B冃B|1° 0 3 丿0 0 3112q 2 4"'

5、;12412、1 1 0'A .2 1 0B.0 1 0C .1 1 0D .1 1 2計(jì)00 b<2 0<0 2 b、填空題（本大題共 10小題，每小題2分，共20 分）*120",Z10 0x勺2 0"11 .設(shè)矩陣A=2 1 0,B=0 2 1，貝A+2B=2 5 2Q 0 1丿<0 13<0 2 7013"' 0-52、12 .設(shè)3階矩陣A=025，貝y（at），=03-1<200丿Q/200巾02100120010叫120010、(AT,E)t120010T350001T0-100-3 1<350001

6、丿1°02100丿02100丿1000-52 '000-52、廣0-52、T0-100-31T01003-1,(AT 宀03-102100丿e011/20°J/20°1 0 0 *令 0 0、13 .設(shè)3階矩陣A=2 2 0，貝y a*a=0 6 0<3 3 3 丿e 0 6丿1 0 0乞00入A*A 斗A|E =2 2 0E =6E =0 6 03 3 30 6 丿14.設(shè)A為mxn矩陣，C是n階可逆矩陣，矩陣A的秩為r,則矩陣B=AC的秩為 r .B=AC，其中C可逆，則A經(jīng)過(guò)有限次初等變換得到 B，它們的秩相等.15 .設(shè)向量。=(1,1,1)

7、，則它的單位化向量為 冷土丄I16 .設(shè)向量 =(1,1,1)T，口2 =(1,1,0)T ,«3 =(1,0,0)T ,P =(0,1,1)T，則 R 由1，2，3線性表出的表示式為7 =：1 02 -3 .VVk1 + k2 + k3=0設(shè) P =&% +k22 +k3°3 ,即1=k1*10,"I k1+ k2=1 ,7丿1丿©丿©丿k=1ki =1k2 = 0 k3 = -1Jxi X2 - X3 = 017 .已知3元齊次線性方程組2X1 3X2 *X3=0有非零解，則x1 2x2 3x3 =0a=_2_11-11001a+2

8、23a=21a十2=2 a =0 , a =2 設(shè)A為n階可逆矩陣，已知A有一個(gè)特征值為2,則(2A)必有一個(gè)特征值為1.4-=2是A的特征值，則(2 廠是(2A)的特征值.4勺a 0)19.若實(shí)對(duì)稱矩陣 A= a 1 0為正定矩陣，則 a的取值應(yīng)滿I。0 a'21 1Z1-1 1-門A =!T!J-1丿<21丿<03丿,秩為2.足 0 ： a ： 3 .3 a21 =3 >0，也2 =3 a >0，也3 =a 13 a 0a 100 0a= a(3-a2)0n 0£a“3 .20 . 一 次型 f(X1,X2)=2xj +2

9、X1X2 -X；的秩為2三、計(jì)算題(本大題共 6小題，每小題9分，共54分)21 .求4階行列式的值.解:1111111410031000113110201100121111001020111110001003= (123,4),22 .設(shè)向量 (1,1,2,0),求(1)矩陣嚴(yán)；(2 )向量與的內(nèi)積(：).解:(1)£'1 -12 0、22-2401,-1,2,0 =33360盼丿宀 -4 80A4(2)(:,J =1 -2 6 0=5 .23.設(shè)2階矩陣A可逆，且©1a2b2F2 -& J令 B=P1AP2 '求B解:1-2I1,P2JB4=P/

10、ap/ =1何0丿占a?)。b2 .丿 ©-2 =b_a1b20 a2 L0b2 -2b1a2 -紹24求向量組：1=(1,1,1,3)T：2 *1,-3,5,1)丁,= (3,2-1,4)t,：4 =(-26,10,2)T的秩和一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組.解:1-13-21-32-6T15-11031421-13-20-2-1-406-4 121-13-20 -2 -1 -400701-13-20-2-1-400-70衛(wèi)000秩為3, ：-1-2,： 3是一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組.x1 x2 x3 = a - 325 .給定線性方程組T Xi +ax2 +X3 =-2 .Xr +x2 +ax3

11、= 2(1) 問(wèn)a為何值時(shí)，方程組有無(wú)窮多個(gè)解；(2) 當(dāng)方程組有無(wú)窮多個(gè)解時(shí)，求出其通解(用一個(gè)特解和導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示)解:111a -3、廣111a -3、1a1-2T0a -101 a1a一21°0a -11 -aa=1時(shí)，方程組'026.求矩陣A= -1有無(wú)窮多解;1112、X1_2 x? X3A T0000,彳X2=X2，通解為<0000 >x3Scr01+ k20<030 -1的全部特征值及對(duì)應(yīng)的全部特征向1 0解:Z11人+ 211111111|矩A| =1丸1=丸+ 2&1=(九 +2)1丸1=仏 +2)0丸一1011f.丸+ 2

12、111扎00丸-1=('-1)2 (- 2),特征值 - -2 ,' 2 蟲(chóng)3 =1 .對(duì)于1二二，解齊次線性方程組 CEA）x=0 :11 _2、1 0 -1卜1 =X31)T0 1 -1T0 1 -1,<x2 =x3 ,基礎(chǔ)解系為a =10 0 0 丿e 0 0丿卜3 =X3k,z對(duì)應(yīng)的全部特征向量為（k是任意非零常數(shù)）；r_2 11廣 112、q12、q12'止A =1 -2 1T1 -2 1T0-33T0-33J 1-2><-2 1 1e3-31°0°解齊次線性方程組（七 A）x=O :，對(duì)應(yīng)的全部特征向量為k i k 2 ( ki,k2是不全為零的111、111、X1 = x2 x3p-n?