圓錐曲線動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)探究

1、由一道習(xí)題所想到的圓錐曲線動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)探究杭州學(xué)軍中學(xué)聞杰一、問題的起源與拓展先從一道大家熟悉的習(xí)題說(shuō)起：習(xí)題。“已知點(diǎn)在圓：內(nèi)，則直線與圓的位置關(guān)系是（）A相交B。相切C。相離D。不確定在解此題時(shí)很多同學(xué)會(huì)想到圓心到直線的距離公式，進(jìn)而列出式子，由于點(diǎn)在圓內(nèi)，所以，故知直線與圓相離，至此完事。但又有多少同學(xué)和老師會(huì)去深究這個(gè)問題更深層的問題呢，如：對(duì)于給定的圓，點(diǎn)P，直線與圓是簡(jiǎn)單的位置關(guān)系？還是內(nèi)在有某種必然的聯(lián)系？其實(shí)我們只要關(guān)注一下上式的結(jié)構(gòu)就會(huì)發(fā)現(xiàn)，圓心到點(diǎn)P的距離與圓心到直線的距離關(guān)于圓的半徑平方成反比，即在動(dòng)態(tài)情況下當(dāng)點(diǎn)P向圓心移動(dòng)時(shí)，直線背離圓心向外平移，當(dāng)點(diǎn)P背離圓心向外移動(dòng)時(shí)，

2、直線向圓心平移，當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)到圓上時(shí)兩者恰好相遇，（圖1）真是奇妙。如果說(shuō)上述問題給人以奇妙之感，那么下面的問題將讓你更驚奇。當(dāng)點(diǎn)P在圓外時(shí)，只要過點(diǎn)P作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別記為A、B，則過切點(diǎn)的直線正是直線（平面上一點(diǎn)向二次曲線作切線得兩切點(diǎn)，連結(jié)兩切點(diǎn)的線段我們稱切點(diǎn)弦），當(dāng)點(diǎn)P在圓內(nèi)時(shí)，只要過點(diǎn)P作中點(diǎn)弦AB，再過端點(diǎn)A、B分別作切線，其切線之交點(diǎn)正好在直線上，且交點(diǎn)與圓心的連線恰過點(diǎn)P，且交點(diǎn)與圓心的連線與中點(diǎn)弦垂直，而中點(diǎn)弦與直線也正好平行，且關(guān)系式仍成立。（圖3）這相當(dāng)于點(diǎn)P與直線關(guān)于圓作了一次對(duì)偶替換。 （圖1）（圖2）（圖3）同時(shí)又發(fā)現(xiàn)直線PO與圓的交點(diǎn)處的切線和直線，切點(diǎn)弦A

3、B均平行（圖4）。不僅如此，進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)，過點(diǎn)P任作一割線交圓于點(diǎn)C、D，交切點(diǎn)弦于點(diǎn)Q，此時(shí)有與圓冪定理（）相似的性質(zhì)：。當(dāng)直線運(yùn)動(dòng)到切線位置時(shí)不難得到圓冪定理的定值是切線長(zhǎng)，而后者應(yīng)該為2（因?yàn)榇藭r(shí)）但對(duì)于一般情形下結(jié)論是否成立，將是一個(gè)大膽的猜想，具有很好的創(chuàng)新精神，由于有現(xiàn)代技術(shù)的支持，結(jié)論立馬可以驗(yàn)證，當(dāng)然結(jié)果是可喜的（圖5）。然而如果我們從圖形（四條線段）的結(jié)構(gòu)特征來(lái)看，考慮到平衡性，可嘗試內(nèi)項(xiàng)積與外項(xiàng)積，從對(duì)稱美的角度看似乎有相等的可能，好在有幾何畫板的支持，設(shè)想立即可以驗(yàn)證，結(jié)果真的成立（圖6）。（圖4）（圖5）（圖6）現(xiàn)在再回頭看性質(zhì)時(shí)，感覺兩者應(yīng)該能統(tǒng)一，于是我們作了變換

4、的嘗試，把線段QD分拆為PDPQ，線段CQ分拆為PCPQ，代入后竟與前者吻合。多么和諧的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，卻以不同的美麗形式展現(xiàn)在人們面前。既然直線有如此精妙的特性，我想可能還有更神奇的性質(zhì)存在，于是我們?cè)诖酥本€（無(wú)論直線與圓是相交、相切、相離）上任取一點(diǎn)（在圓外），過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別記為，我們發(fā)現(xiàn)直線竟然過定點(diǎn)P，反之，過點(diǎn)P任作動(dòng)弦，過弦端點(diǎn)的切線的交點(diǎn)軌跡也就是直線（圖7）。你能不為之驚嘆！據(jù)此可以出一道很漂亮的試題：（圖7）試題、“動(dòng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)Q作圓的切線QA，QB（A、B為切點(diǎn)），求證：直線AB必過定點(diǎn)?！眴栴}到此似乎可以收?qǐng)?，但此時(shí)我們已無(wú)法控制自己早已奔騰的思維，進(jìn)而

5、會(huì)想，這些美妙的東西在橢圓、雙曲線、拋物線上是否也存在？如果存在，怎樣類比？怎樣把它們與圓的東西統(tǒng)一起來(lái)？等等問題擺在我們面前需要解決。首選當(dāng)圓壓扁時(shí)原有的關(guān)系式被破壞（因?yàn)榇怪标P(guān)系已不復(fù)存在），這就需要我們找一個(gè)相關(guān)式子，既能保持原有式子的形式，又能確保在圓被壓扁時(shí)不被破壞，因此，我們必須重新審視關(guān)系式的每個(gè)量（）的真正含義，此時(shí)我們開始懷疑可能不是圓心到直線的距離，也可能不是圓的半徑（常數(shù)），繼而我們突破原有的思維框架，猜想可能是直線OP與直線的交點(diǎn)與曲線中心的距離，而是直線OP與曲線交點(diǎn)與中心的距離。如果真是這樣的話，那么原式改寫為后（記）更舒服些，且在曲線形狀改變時(shí)將保持不變，又能做到

6、統(tǒng)一，于是立馬用幾何畫板測(cè)試，結(jié)果真是令人驚奇，確實(shí)如此（太爽了）。此關(guān)系式類比成功，那么其它幾個(gè)性質(zhì)是否在圓錐曲線中也能成立？二、歸納與類比由于圓錐曲線基于同一幾何體（圓錐面截得）而得，從數(shù)學(xué)美的角度看應(yīng)該能類比、能統(tǒng)一，但畢竟圓是最特殊的圖形，它的某些結(jié)論在圖形變形后會(huì)有所改變，我們的問題是怎樣把它們統(tǒng)一起來(lái)。現(xiàn)行新課標(biāo)已把聯(lián)想、類比、歸納等合情推理思想提到一定高度，因此我們不妨用這些數(shù)學(xué)思想類比出橢圓、雙曲線、拋物線的相關(guān)結(jié)論，并以合情推理的思想給出相應(yīng)證明。（一）有心圓錐曲線切點(diǎn)弦的相關(guān)問題1已知有心圓錐曲線，和一點(diǎn)，那么我們有下面的結(jié)論點(diǎn)在有心圓錐曲線上，直線為過P點(diǎn)的有心圓錐曲線的

7、切線。（圖8）（點(diǎn)擊圖7可進(jìn)入動(dòng)態(tài)情境）點(diǎn)在有心圓錐曲線外，直線，為過點(diǎn)的兩切線的有心圓錐曲線的切點(diǎn)弦（圖9）（點(diǎn)擊圖8可進(jìn)入動(dòng)態(tài)情境）點(diǎn)在有心圓錐曲線內(nèi)，直線為與有心圓錐曲線相離的直線（與切線平行）（圖10）（點(diǎn)擊圖9可進(jìn)入動(dòng)態(tài)情境）（圖8）（圖9）（圖10）（如右圖10）設(shè)有心圓錐曲線中心O與點(diǎn)的連線交有心圓錐曲線于N，交切點(diǎn)弦于點(diǎn)Q，則，。且Q點(diǎn)平分切點(diǎn)弦AB。（無(wú)論點(diǎn)P在曲線的什么位置，上述結(jié)論均成立）。且點(diǎn)P與直線沿直線PO作反向運(yùn)動(dòng)。上式四個(gè)結(jié)論與圓的相應(yīng)結(jié)論完全統(tǒng)一。下面我們探究圓的切點(diǎn)弦的第2部分結(jié)論在有心圓錐曲線下的相關(guān)結(jié)論。通過動(dòng)態(tài)實(shí)驗(yàn)，我們有下列與圓對(duì)應(yīng)的結(jié)論。2。已知有

8、心圓錐曲線和有心圓錐曲線外一點(diǎn)，那么我們有下面的結(jié)論過有心圓錐曲線中心與有心圓錐曲線外一點(diǎn)的直線與有心圓錐曲線的交點(diǎn)處的切線平行于有心圓錐曲線的切點(diǎn)弦。（圖11）過有心圓錐曲線外一點(diǎn)P的任一直線與有心圓錐曲線的兩個(gè)交點(diǎn)為C、D，點(diǎn)Q是此直線上另一點(diǎn)，且滿足則點(diǎn)Q的軌跡即為切點(diǎn)弦，反之亦然。（圖12）過有心圓錐曲線外一點(diǎn)P的任一直線與有心圓錐曲線的兩個(gè)交點(diǎn)為C、D，與有心圓錐曲線切點(diǎn)弦的交點(diǎn)為Q，則成立。反之亦然。（圖13）（圖11）（圖12）（圖13）特別地，若點(diǎn)與焦點(diǎn)重合時(shí),則上述直線變?yōu)椋ň谷慌c準(zhǔn)線方程吻合）（圖16）（好舒服）（圖16）（二）、無(wú)心圓錐曲線（拋物線）切點(diǎn)弦的相關(guān)問題由于拋

9、物線是無(wú)心曲線，它與有心曲線又有所區(qū)別，問題也是我們能否給予與有心曲線的相關(guān)結(jié)論統(tǒng)一起來(lái)的解釋，為此,我們不妨把拋物線看成是中心在無(wú)窮遠(yuǎn)處的有心曲線。再通過類比將得到下列結(jié)論。1已知拋物線和一點(diǎn)，那么我們有下面的結(jié)論點(diǎn)在拋物線上，直線為過P點(diǎn)的拋物線的切線。（圖17）點(diǎn)在拋物線外，直線，為過點(diǎn)的兩切線的拋物線的切點(diǎn)弦（圖18）點(diǎn)在拋物線內(nèi)，直線為與拋物線相離的直線（此直線恰好過以點(diǎn)P為中點(diǎn)的中點(diǎn)弦端點(diǎn)的切線交點(diǎn)，且與中點(diǎn)弦平行）（圖19）（圖17）（圖18）（圖19）設(shè)過點(diǎn)P與拋物線對(duì)稱軸平行(中心在對(duì)稱軸方向的無(wú)窮遠(yuǎn)處)的直線交拋物線于N，交切點(diǎn)弦于點(diǎn)Q，則，。且Q點(diǎn)平分切點(diǎn)弦AB。（無(wú)論點(diǎn)

10、P在曲線的什么位置，上述結(jié)論均成立）。且點(diǎn)P與直線作反向運(yùn)動(dòng)。（圖20）（圖20）2。已知拋物線，拋物線外一點(diǎn)，那么我們有下面的結(jié)論過拋物線中心（這中心在無(wú)窮遠(yuǎn)處）與拋物線外一點(diǎn)的直線與拋物線的交點(diǎn)處的切線平行于拋物線的切點(diǎn)弦（圖21）。過拋物線外一點(diǎn)P的任一直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)為C、D，點(diǎn)Q是此直線上另一點(diǎn)，且滿足則點(diǎn)Q的軌跡即為切點(diǎn)弦，反之亦然。（圖22）過拋物線外一點(diǎn)P的任一直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)為C、D，與拋物線切點(diǎn)弦的交點(diǎn)為Q，則成立（圖23）。反之亦然。（圖21）（圖22）（圖23）(注意:為作圖方便下面的拋物線方程改為)過點(diǎn)作拋物線的兩切線，得拋物線的切點(diǎn)弦，則切點(diǎn)弦直線與對(duì)稱

11、軸的交點(diǎn)為（圖24）.當(dāng)點(diǎn)在拋物線內(nèi)時(shí)，直線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)仍為（圖25）.當(dāng)點(diǎn)在拋物線上時(shí)，直線為切線，但它與對(duì)稱軸的交點(diǎn)仍為（圖26）.特別地, 若點(diǎn)與焦點(diǎn)重合時(shí),則上述直線變?yōu)椋ㄅc準(zhǔn)線方程吻合）（圖24）（圖25）（圖26）三、關(guān)于切點(diǎn)弦方程的求法（一）有心曲線的切點(diǎn)弦由于圓的切點(diǎn)弦求法通常為：圓系法、方程法。因此，我們從類比與合情推理的思想看這些方法在橢圓、雙曲線、拋物線也應(yīng)該適用。于是我們有1、由于從圓系角度看，對(duì)圓，和點(diǎn)而言，切點(diǎn)A、B應(yīng)該在以線段PO為直徑的圓上，從而切點(diǎn)弦為兩圓方程之差，即得切點(diǎn)弦方程為:據(jù)此，下面我們從類比與合情推理得出橢圓的切點(diǎn)弦。由于從橢圓系角度看，對(duì)橢圓，

12、和點(diǎn)而言，切點(diǎn)A、B應(yīng)該在以線段PO為直徑的橢圓上，從而切點(diǎn)弦為兩橢圓方程之差，即（圖27）（圖27）2、由于從方程角度看，對(duì)圓，和點(diǎn)而言，過切點(diǎn)的切線方程分別為：，因?yàn)辄c(diǎn)同在兩切線上，所以有：,從而切點(diǎn)弦方程為:。據(jù)此，我們也從類比與合情推理得出橢圓的切點(diǎn)弦由于從方程角度看，對(duì)橢圓，和點(diǎn)而言，過切點(diǎn)（圖28）的切線方程分別為：，因?yàn)辄c(diǎn)同在兩切線上，所以有：，從而橢圓的切點(diǎn)弦方程為:。（圖28）對(duì)于雙曲線、拋物線同理可得切點(diǎn)弦分別為：， 說(shuō)明：可以證明，以為直徑端點(diǎn)且離心率與相同，長(zhǎng)短軸與的長(zhǎng)短軸平行的橢圓方程為：。（系數(shù)設(shè)為相同的目的,一是確保離心率不變,二在于使曲線系中有直線產(chǎn)生）一般地：

13、對(duì)于有心圓錐曲線（圓、橢圓、雙曲線）以為直徑的曲線方程可表示為：因此，對(duì)于有心圓錐曲線的切點(diǎn)弦，我們也可以用統(tǒng)一的方法證明。方法一、利用曲線系設(shè)有心圓錐曲線（圓、橢圓、雙曲線）的統(tǒng)一曲線方程為：，設(shè)點(diǎn)，由于有心圓錐曲線上任一點(diǎn)對(duì)直徑PO(O為坐標(biāo)原點(diǎn))端點(diǎn)連線的斜率積為常數(shù)，所以,以PO為直徑,離心率與相同的圓錐曲線方程為: ,即兩圓錐曲線方程相減即得切點(diǎn)弦方程為： 方法二、利用方程思想由于點(diǎn)處的切線方程為： 點(diǎn)處的切線方程為： 又點(diǎn)同在兩切線上，所以從而過切點(diǎn)A、B的直線(切點(diǎn)弦)方程為：（二）無(wú)心曲線的切點(diǎn)弦1、由于從拋物線系角度看，對(duì)拋物線，和點(diǎn)而言，從類比的角度看，切點(diǎn)A、B應(yīng)該是與交

14、點(diǎn)，從而切點(diǎn)弦為兩拋物線方程之差，即2、如從方程角度看，對(duì)拋物線，和點(diǎn)而言，過切點(diǎn)的切線方程分別為：切線PA：同理PB：因?yàn)辄c(diǎn)同在兩切線上，所以有：所以，切點(diǎn)弦AB的直線方程為：四、推廣切點(diǎn)弦過定點(diǎn)進(jìn)一步研究我們還發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)任意定直線上一動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于圓錐曲線的切點(diǎn)弦直線必過定點(diǎn)。下面我們研究定點(diǎn)在何處由上面（一）的結(jié)論得到啟發(fā)（1）當(dāng)直線與曲線不相交時(shí)，可平移直線與曲線交于兩點(diǎn)，取這兩點(diǎn)的中點(diǎn)，過此中點(diǎn)和曲線中心作直線交曲線于點(diǎn)N（與直線同側(cè)），交直線于點(diǎn)P，則直線OP上滿足的點(diǎn)Q即為所要找的定點(diǎn)。即：T為直線：上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)T對(duì)應(yīng)于圓錐曲線的切點(diǎn)弦RS必過定點(diǎn)Q。（右上圖）（2）當(dāng)直線與曲線

15、相交A，B兩點(diǎn)時(shí)，取AB中點(diǎn)P，過中心O和點(diǎn)P作射線交曲線于點(diǎn)N，則在直線OP上滿足的點(diǎn)Q即為所要找的定點(diǎn)。即：T為直線上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)T對(duì)應(yīng)于圓錐曲線的切點(diǎn)弦RS的延長(zhǎng)線必過定點(diǎn)Q。右圖注：在拋物線情形下，直線OP變?yōu)槠叫杏趯?duì)稱軸的直線即可附：雙曲線、拋物線圖示（下圖右、左）五、進(jìn)一步全面推廣過定點(diǎn)的相交弦與蝴蝶定理對(duì)切點(diǎn)弦的進(jìn)一步探索我們又發(fā)現(xiàn)了更神奇的東西。當(dāng)過點(diǎn)Q的切點(diǎn)弦（Q為中點(diǎn)）變成相交于點(diǎn)Q的兩條弦AB，CD時(shí)，直線AC與BD的交點(diǎn)G和直線AD與CB的交點(diǎn)E均在點(diǎn)Q對(duì)應(yīng)的直線上，且當(dāng)AB，CD任意運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)G，E在運(yùn)動(dòng)，同時(shí)還發(fā)現(xiàn)一個(gè)更有趣的結(jié)論，即：只要過點(diǎn)Q作GE的平行線分別交

16、四邊形ACBD的任一組對(duì)邊所在直線，Q點(diǎn)必是它們的中點(diǎn)（，）（下左圖）。這正好與圓中的蝴蝶定理吻合，再研究又發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)Q與曲線焦點(diǎn)F重合時(shí)，G點(diǎn)對(duì)應(yīng)的直線恰為相應(yīng)準(zhǔn)線（下右圖）。進(jìn)一步探索，又發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)Q與曲線焦點(diǎn)F重合時(shí)，QG，QE分別為的角平分線，當(dāng)然也有（下右圖）（真是奇妙無(wú)比）六、切點(diǎn)弦系列問題的證明對(duì)問題1中的比較簡(jiǎn)單，由于篇幅有限不證了。對(duì)于問題2中的我們分有心曲線與無(wú)心曲線分別統(tǒng)一證明。（一）為清楚起見對(duì)有心曲線的結(jié)論2再一一列出： 過有心曲線中心O與另一點(diǎn)P的直線OP與有心曲線的兩交點(diǎn)為C、D，則過交點(diǎn)C，D處的切線平行于有心曲線的切點(diǎn)弦AB。（圖29）證明：設(shè)有心曲線（圓、橢圓、雙曲線）方程為：，點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則直線OP方程為：，代入曲線方程，得