向量與圓錐曲線

1、圓錐曲線與向量的交匯；QQ;406426941湖南祁東育賢中學(xué) 周友良 汪美云 譚永長 421600由于點(diǎn)的坐標(biāo)也可視為向量的坐標(biāo)，因此許多解析幾何問題均可與向量知識(shí)進(jìn)行綜合高考對(duì)解析幾何與向量綜合考查，采取了新舊結(jié)合，以舊帶新，使新的內(nèi)容和舊的內(nèi)容有機(jī)地結(jié)合在一起設(shè)問，就形成了新的高考命題的熱點(diǎn)例1已知常數(shù)m > 0 ，向量a = (0, 1)，向量b = (m, 0)，經(jīng)過點(diǎn)A(m, 0)，以a+b為方向向量的直線與經(jīng)過點(diǎn)B(- m, 0)，以b- 4a為方向向量的直線交于點(diǎn)P，其中R(1) 求點(diǎn)P的軌跡E；(2) 若，F(xiàn)(4, 0)，問是否存在實(shí)數(shù)k使得以Q(k, 0)為圓心，|Q

2、F|為半徑的圓與軌跡E交于M、N兩點(diǎn)，并且|MF| + |NF| =若存在求出k的值；若不存在，試說明理由解(1) a+b = ( m,)， 直線AP方程為；又b - 4a =(m, - 4), 直線NP方程為；由、消去得 ，即 故當(dāng)m = 2時(shí)，軌跡E是以(0, 0)為圓心，以2為半徑的圓：x2 + y2 = 4；當(dāng)m > 2時(shí)，軌跡E是以原點(diǎn)為中心，以為焦點(diǎn)的橢圓：當(dāng)0 < m <2時(shí)，軌跡E是以中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)為的橢圓(2)假設(shè)存在實(shí)數(shù)k滿足要求，此時(shí)有圓Q：(x- k)2 + y2 = (4- k)2 ;橢圓E：；其右焦點(diǎn)為F(4 , 0 )，且由圓Q與橢圓E的方程聯(lián)

3、立得2 x 2- 5kx + 20k- 30 = 0, 設(shè)M(x1, y1), N(x2, y2), 則有， =25k2- 4×2(20k- 30)，又 |MF| =, |NF| =, 而； +,由此可得，由、得k = 1，且此時(shí)0故存在實(shí)數(shù)k = 1滿足要求點(diǎn)評(píng) 本題是一向量與解析幾何的綜合題，且直線是由含參數(shù)的兩個(gè)復(fù)合向量為方向向量所確定直線 (直線的點(diǎn)斜式方程)，顯示出向量法的特征，深刻地揭示出向量與解析幾何的內(nèi)在聯(lián)系與共同本質(zhì)用代數(shù)的方法研究和解決幾何問題另外，本題的(2)問以存在性問題呈現(xiàn)，強(qiáng)化了求解過程中的探究性，對(duì)抽象思維能力有很高的要求例2 在平面直角坐標(biāo)系中，已知O

4、FP的面積為，又設(shè)向量 j = (0, 1)，且j，(1) 設(shè)，求向量的夾角的取值范圍；(2) 設(shè)以原點(diǎn)O為中心，對(duì)稱軸在坐標(biāo)軸上，F(xiàn)為右焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)M，且，|OF| = c，當(dāng) |OP| 取最小值時(shí)，求橢圓的方程解 (1) 由題意得,cos=, 從而有 cos= ， cot=, 又 ，則有 (2) 設(shè)P(x0, y0)，且x0 > 0 , y0 > 0 , 由，得 (c, 0 )·(x0- c, y0) = t ,即 c(x0- c) = t , 由 SPFO =，得 ，于是 |OP| =, 當(dāng)且僅當(dāng)c = 2時(shí)取等號(hào)由此可得 點(diǎn)P的坐標(biāo)為 (,又由j，得 (0, 1) = (2, 3)，即點(diǎn)M的坐標(biāo)為 (2, 3)于是，由 |MF1| + |MF2| = 2a，得 ，即 a = 4, 從而 b2 = 12(或直接將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入橢圓方程中求得)故 所求橢圓的方程為 當(dāng)y0 < 0時(shí)，同理可得 , P(， 從而= (2，- 1)，于是，由 |MF1| + |MF2| = 2a得 ，即 a = ,故 所求橢圓的方程為 點(diǎn)評(píng) 本題是向量與解析幾何的綜合題解答時(shí)充分運(yùn)用向量的夾角公式是解題的關(guān)鍵對(duì)于橢圓方程的求解，先必須弄清楚 的最小值時(shí)所具有的特征且在求解時(shí)要將條件一個(gè)一個(gè)地弄清楚如對(duì)三角形面積的理解，應(yīng)從不同的方向考