高二數(shù)學教案必修四

1、實用文檔系列文檔編號：YL-SY-71362第1頁共 21 頁高二數(shù)學教案必修四預習課本 P103105，思考并完成以下問題(1) 怎樣定義向量的數(shù)量積？向量的數(shù)量積與向量數(shù)乘相同嗎？向量 b 在 a 方向上的投影怎么計算？數(shù)量積的幾何意義是什么？(3) 向量數(shù)量積的性質(zhì)有哪些？(4) 向量數(shù)量積的運算律有哪些？新知初探1. 向量的數(shù)量積的定義(1) 兩個非零向量的數(shù)量積：已知條件向量 a, b 是非零向量，它們的夾角為B定義 a 與 b 的數(shù)量積(或內(nèi)積)是數(shù)量|a|b|cos0記法 a b=|a|b|cos0(2) 零向量與任一向量的數(shù)量積：規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積均為0.點睛(1)

2、兩向量的數(shù)量積，其結果是數(shù)量，而不是向量，它的值等于 兩向量的模與兩向量夾角余弦值的乘積，其符號由夾角的余弦值來決疋.兩個向量的數(shù)量積記作 ab，千萬不能寫成 axb 的形式.2. 向量的數(shù)量積的幾何意義(1) 投影的概念：1向量 b 在 a 的方向上的投影為|b|cos0.實用文檔系列文檔編號：YL-SY-71362第2頁共 21 頁2向量 a 在 b 的方向上的投影為|a|cos0.(2) 數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積 a b等于 a的長度|a|與 b在 a的方向上的投影|b|cos0的乘積. 點睛(1)b 在 a 方向上的投影為|b|cos0(0是 a 與 b 的夾角)，也可以 寫成 a b

3、|a|.(2)投影是一個數(shù)量，不是向量，其值可為正，可為負，也可為零.3. 向量數(shù)量積的性質(zhì)設 a 與 b 都是非零向量，0為 a 與 b 的夾角.(1) a 丄 b?a b=0.(2) 當 a 與 b 同向時，a b=|a|b| , 當 a 與 b 反向時，a b=-|a|b|.(3) a a=|a|2 或 |a|=a a=a2.(4) cos0=a b|a|b|.(5) |a b| w|a|b|.點睛對于性質(zhì)(1),可以用來解決有關垂直的問題，即若要證明某兩 個向量垂直，只需判定它們的數(shù)量積為 0;若兩個非零向量的數(shù)量積為 0,則它們互相垂直.4. 向量數(shù)量積的運算律(1) a b=b a

4、(交換律).(2) ( 7a) b= A(a b)=a (Zb)(結合律).(a+b) c=a c+b c(分配律).點睛(1)向量的數(shù)量積不滿足消去律：若 a, b, c 均為非零向量，且 a 實用文檔系列文檔編號：YL-SY-71362第3頁共 21 頁二 b c,但得不至 U a=b.(a b) c 幻(b c)，因為 a b, b c 是數(shù)量積，是實數(shù)，不是向量，所 以(a b)c 與向量 c 共線，a (b c)與向量 a 共線，因此，(a b) c=a (b c) 在一般情況下不成立.小試身手1判斷下列命題是否正確(正確的打“”，錯誤的打“X”)(1)兩個向量的數(shù)量積仍然是向量.(

5、)若 a b=b c,則一定有 a=c.()若 a, b 反向，貝 S a b=-|a|b|.()若a b=0，貝 S a 丄 b.()答案：(1)X(2)X(3) v(4)X2. 若|a|=2 , |b|=12 , a 與 b 的夾角為 60 ，貝 Sa b=()A.2B.12C.1D.14答案：B3. 已知 |a|=10 , |b|=12，且(3a) 15b=-36，貝 S a 與 b 的夾角為()A.60 B120C.135 D.15O 答案：B4. 已知 a, b 的夾角為0,|a|=2 , |b|=3.實用文檔系列文檔編號：YL-SY-71362第4頁共 21 頁(1) 若0=135

6、。，貝Sab=_ ;(2) 若 a /lb，貝 S a b=_ ;若 a 丄 b，貝卩 ab=_.答案：(1)-32(2)6 或-6(3)0向量數(shù)量積的運算典例(1)已知向量 a 與 b 的夾角為 120 且|a|=4 , |b|=2，求：a b;(a+b) (a-2b).如圖，正三角形 ABC 的邊長為 2, =c , =a , =b，求 a b+b c+c a.解(1)由已知得 a b=|a|b|cos0=4X2Xcos120 =-4.(a+b) (a-2b)=a2-a b-2b2=16-(-4)-2X4=12.v|a|=|b|=|c|=2，且 a 與 b , b 與 c, c 與 a 的

7、夾角均為 120 ,/ab+b c+c a=2X2Xcos120 3=-3.向量數(shù)量積的求法(1) 求兩個向量的數(shù)量積，首先確定兩個向量的模及向量的夾角，其中準確求出兩向量的夾角是求數(shù)量積的關鍵.(2) 根據(jù)數(shù)量積的運算律，向量的加、減與數(shù)量積的混合運算類似于多項式的乘法運算活學活用實用文檔系列文檔編號：YL-SY-71362第5頁共 21 頁已知|a|=3 , |b|=4 , a 與 b 的夾角為 120 ，求：(1)a b;(2)a2-b2;(3) (2a-b) (a+3b).解：(1)a b=|a|b|cos120 3X4x-12=-6.(2) a2-b2=|a|2-|b|2=32-42

8、=-7.(3) (2a-b) (a+3b)=2a2+5ab-3b2=2|a|2+5|a|b| cos120 -3|b|2=2X32+5X3X4X-12-3X42=-60.與向量的模有關的問題典例(1)(浙江高考)已知 el , e2 是平面單位向量，且 el e2=12.若 平面向量 b 滿足 b e 仁 b e2=1，則|b|=_ .已知向量 a,b 的夾角為 45 且|a|=1 ,|2a-b|=10，則|b|=_解析(1)令 el 與 e2 的夾角為B,/el e2=|e1| |e2|cos0=cos0=12.又 0W018O ,/=60b (e1-e2)=0 ,b 與 e1 , e2 的

9、夾角均為 30 ,b e1=|b|e1|cos301 ,從而 |b|=1cos30 233.實用文檔系列文檔編號：YL-SY-71362第6頁共 21 頁va, b 的夾角為 45 ,|a|=1 , b=|a|b|cos45 22|b| ,|2a-b|2=4-4X22|b|+|b|2=10 ,.|b|=32.答案(1)233(2)32求向量的模的常見思路及方法(1)求模問題一般轉(zhuǎn)化為求模的平方，與向量數(shù)量積聯(lián)系，并靈活應用 a2=|a|2，勿忘記開方.(2)a a=a2=|a|2 或|a|=a2，可以實現(xiàn)實數(shù)運算與向量運算的相互轉(zhuǎn)化活學活用已知向量 a，b 滿足|a|=|b|=5，且 a 與

10、b 的夾角為 60 ，求 a+b|，|a-b| , |2a+b|.解:v|a+b|2=(a+b)2=(a+b)(a+b)=|a|2+|b|2+2ab=25+25+2|a|b|cos60=50+2 X5 X5X12=75,/|a+b|=53.1a-b|2=(a-b)2=(a-b)(a-b)=|a|2+|b|2-2a b=|a|2+|b|2-2|a|b|cos60=25 ,/|a-b|=5.J2a+b|2=(2a+b)(2a+b)實用文檔系列文檔編號：YL-SY-71362第7頁共 21 頁=4|a|2+|b|2+4a b=4|a|2+|b|2+4|a|b|cos60175 ,J2a+b|=57.

11、兩個向量的夾角和垂直題點一：求兩向量的夾角1.(重慶高考)已知非零向量 a, b 滿足|b|=4|a|，且 a 丄(2a+b)，則 a與 b 的夾角為()A.n3B.兀 2C.2n3D.5 兀 6解析：選 CTa 丄(2a+b) , a(2a+b)=0 ,2|a|2+a b=0 ,即 2|a|2+|a|b|cosa, b =0.b|=4|a| , 2|a|2+4|a|2cosa, b =0 ,cosa, b =-12 ,.a, b =2n3.題點二：證明兩向量垂直2. 已知向量 a，b 不共線，且|2a+b|=|a+2b|，求證：(a+b)丄(a-b).證明：T|2a+b|=|a+2b|,(2

12、a+b)2=(a+2b)2.即 4a2+4a b+b2=a2+4ab+4b2 ,W2=b2.實用文檔系列文檔編號：YL-SY-71362第8頁共 21 頁(a+b) (a-b)=a2-b2=0.又 a 與 b 不共線，a+b 工 0, a-b 工 0,(a+b)丄(a-b).題點三：利用夾角和垂直求參數(shù)3. 已知 a 丄 b , |a|=2 , |b|=3 且向量 3a+2b 與 ka-b 互相垂直，則 k 的值為()A.-32B.32C.32D.1解析：選 BT3a+2b 與 ka-b 互相垂直，(3a+2b) (ka-b)=0 ,3ka2+(2k-3)ab-2b2=0.Ta 丄 b , a

13、 b=0 ,又 |a|=2 , |b|=3 ,12k-18=0 , k=32.求向量 a 與 b 夾角的思路(1) 求向量夾角的關鍵是計算 a b 及|a|b|，在此基礎上結合數(shù)量積的 定義或性質(zhì)計算 cos0=a b|a|b|，最后借助0，刃，求出B的值.(2) 在個別含有|a|, |b|與 ab 的等量關系式中，常利用消元思想計算cos0的值實用文檔系列文檔編號：YL-SY-71362第9頁共 21 頁層級一學業(yè)水平達標1. 已知向量 a, b 滿足|a|=1 , |b|=4，且 a b=2，貝 S a 與 b 的夾角0為()A.兀 6B.n4C.n3D.兀 2解析：選 C 由題意，知 a

14、 b=|a|b|cos0=4cos0=2，又 00 =0 ,cosa, b =-12.又 TO，b =120 答案：120 9. 已知 e1 與 e2 是兩個夾角為60 的單位向量，a=2e1+e2 ,b=2e2-3e1 ，求 a 與 b 的夾角.解：因為 |e1|=|e2|=1 ,所以 e1 e2=1X1xcos60 12 ,|a|2=(2e1+e2)2=4+1+4e1e2=7，故 |a|=7 ,|b|2=(2e2-3e1)2=4+9-12e1e2=7，故 |b|=7 ,且 a b=-6e21+2e22+e1e2=-6+2+12=-72,所以 cosa, b=a b|a| |b|=-727X

15、7=-12 ,所以 a 與 b 的夾角為 120 10. 已知|a|=2|b|=2 ，且向量 a 在向量 b 方向上的投影為-1.(1) 求 a 與 b 的夾角B;實用文檔系列文檔編號：YL-SY-71362第12頁共 21 頁(2) 求(a-2b) b;當入為何值時，向量入 a+b 與向量 a-3b 互相垂直？解: (1) T|a|=2|b|=2 ,牛|=2 , |b|=1.又 a 在 b 方向上的投影為|a|cos0=-1 ,/ab=|a|b|cos0=-1.cos0=-12,/.0=2n3.(2)(a-2b) b=a b-2b2=-1-2=-3.via+b 與 a-3b 互相垂直，( A

16、a+b) (a-3b)= 7a2-3 Aa b+b a-3b2=4A+3A1-3=7A4=0，二；=47.層級二應試能力達標1.已知|a|=2 , |b|=1，且 a 與 b 的夾角為n3，則向量 m=a-4b 的模 為()A.2B.23C.6D.12解析：選 B|m|2=|a-4b|2=a2-8ab+16b2=4-8X2X1x12+16=12 , 所以|m|=23.2. 在 Rt ABC 中，C=90 ,AC=4，貝，等于)實用文檔系列文檔編號：YL-SY-71362第13頁共 21 頁A.-16B.-8C. 8D.16解析：選 D 法一：因為 cosA=ACAB，故=| |cosA=|2=

17、16 ，故選D.法二：在上的投影為|cosA=|，故=|cosA=|2=16 ，故選 D.3. 已知向量 a，b 滿足|a|=1，|b|=2，且 a 在 b 方向上的投影與 b 在 a 方向上的投影相等，則|a-b|=()A.1B.3C.5D.3解析： 選 C 由于投影相等， 故有|a|cos a， b =|b|cos a， b ，因為 |a|=1 ,|b|=2，所以 cosa, b =0，即卩 a 丄 b，則 |a-b|=|a|2+|b|2-2a b=5.4. 如圖，在邊長為 2 的菱形 ABCD 中，/BAD=60 E 為 BC 的中點， 則=()A.-3B.0C.-1D.1解析：選 C=

18、AB12AD -)=12 -|2+12|2=12X2X2Xcos60 -22+12X22=-1.5. 設向量 a, b , c 滿足 a+b+c=0 , (a-b)丄 c, a 丄 b，若|a|=1，則實用文檔系列文檔編號：YL-SY-71362第14頁共 21 頁|a|2+|b|2+|c|2 的值是_.解析：法一：由 a+b+c=0 得 c=-a-b.又(a-b) c=0 ,.(a-b) (-a-b)=0，即 a2=b2.則 c2=(a+b)2=a2+b2+2ab=a2+b2=2,Ja|2+|b|2+|c|2=4.法二：如圖，作=a ,=b，貝 y =c.va 丄 b ,.AB 丄 BC,又

19、 Ta-b=-=,(a-b)丄 c,.CD 丄 CA ,所以KBC 是等腰直角三角形，Va|=1 ,.|b|=1,|c|=2 ,.|a|2+|b|2+|c|2=4.答案：46. 已知向量 a, b 的夾角為 45。，耳 a|=4 , 12a+b (2a-3b)=12 ，則|b|=_ ;b 在 a 方向上的投影等于 _.解析：12a+b (2a-3b)=a2+12ab-3b2=12 ，即 3|b|2-2|b|-4=0,解得|b|=2(舍負),b 在 a 方向上的投影是|b|cos45 2X22=1.答案：217. 已知非零向量 a, b，滿足 |a|=1 , (a-b) (a+b)=12，且 a

20、 b=12.(1)求向量 a, b 的夾角;(2)求|a-b|.解：(1) v(a-b) (a+b)=12 ,實用文檔系列文檔編號：YL-SY-71362第15頁共 21 頁/a2-b2=12 即 |a|2-|b|2=12.又 |a|=1 ,Jb|=22.a b=12 ,Jal |b|cos0=12,cos0=22,J向量 a, b 的夾角為 45 (2) v|a-b|2=(a-b)2=|a|2-2|a|b|cos0+|b|2=12,a-b|=22.8.設兩個向量 el , e2 ,滿足|e1|=2 , |e2|=1 , el 與 e2 的夾角為n3, 若向量2te1+7e2 與 e1+te2

21、 的夾角為鈍角，求實數(shù) t 的取值范圍. 解：由向量2te1+7e2 與 e1+te2 的夾角為鈍角，得?2te1+7e2? ?e1+te2?|2te1+7e2|e1+te2|0.即(2te1+7e2)(e1+te2)0，化簡即得2t2+15t+70 ，解得-7當夾角為n時，也有(2te1+7e2) (e1+te2)0 ,但此時夾角不是鈍角，設 2te1+7e2= Z(e1+te2)，入 0，可得2t=入，7 二兀，入 0 , ?A14 , t=-142.實用文檔系列文檔編號：YL-SY-71362第16頁共 21 頁所求實數(shù) t 的取值范圍是-7,-142U-142,-12.高二數(shù)學教案(二

22、)平面向量的數(shù)量積教學準備教學目標1. 掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義；2. 掌握平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及運算律；3. 了解用平面向量的數(shù)量積可以處理垂直的問題；4. 掌握向量垂直的條件.教學重難點教學重點：平面向量的數(shù)量積定義教學難點：平面向量數(shù)量積的定義及運算律的理解和平面向量數(shù)量積 的應用教學過程1. 平面向量數(shù)量積(內(nèi)積)的定義：已知兩個非零向量 a 與 b，它們的 夾角是B,則數(shù)量|a|b|cosq 叫 a 與 b 的數(shù)量積，記作 axb，即有 axb=|a|b|cosq,(00).并規(guī)定 0 向量與任何向量的數(shù)量積為 0.實用文檔系列文檔編號：YL-SY-71362第17頁共

23、21 頁x探究：1、向量數(shù)量積是一個向量還是一個數(shù)量？它的符號什么時候 為正？什么時候為負？2、 兩個向量的數(shù)量積與實數(shù)乘向量的積有什么區(qū)別？(1)兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，不是向量，符號由 cosq 的符號所 決定.兩個向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成 axb;今后要學到兩個向量的外 積 axb，而 axb 是兩個向量的數(shù)量的積，書寫時要嚴格區(qū)分符號“” 在向量運算中不是乘號，既不能省略，也不能用“X”代替 .在實數(shù)中， 若 a?0， 且 axb=0 ,則 b=0;但是在數(shù)量積中， 若 a?0, 且 a xb=0，不能推出 b=0.因為其中 cosq 有可能為 0.教案【二】教學準備教學目標1.

24、 掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義；2. 掌握平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及運算律；3. 了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關長度、角度和垂直的問題；4. 掌握向量垂直的條件.教學重難點教學重點：平面向量的數(shù)量積定義教學難點：平面向量數(shù)量積的定義及運算律的理解和平面向量數(shù)量積 的應用教學工具投影儀實用文檔系列文檔編號：YL-SY-71362第18頁共 21 頁教學過程一、復習引入：1.向量共線定理向量與非零向量共線的充要條件是：有且只有一個非零實數(shù)入，使二入五，課堂小結(1) 請學生回顧本節(jié)課所學過的知識內(nèi)容有哪些？所涉及到的主要數(shù)學思想方法有那些？(2) 在本節(jié)課的學習過程中，還有那些不太明白的地

25、方，請向老師提 出。(3) 你在這節(jié)課中的表現(xiàn)怎樣？你的體會是什么？六、課后作業(yè)P107 習題 2.4A 組 2、7 題課后小結(1) 請學生回顧本節(jié)課所學過的知識內(nèi)容有哪些？所涉及到的主要數(shù)學思想方法有那些？(2) 在本節(jié)課的學習過程中，還有那些不太明白的地方，請向老師提 出。(3) 你在這節(jié)課中的表現(xiàn)怎樣？你的體會是什么？課后習題作業(yè)P107 習題 2.4A 組 2、7 題實用文檔系列文檔編號：YL-SY-71362第19頁共 21 頁板書略 高二數(shù)學教案(三)任意角和弧度制 教學準備教學目標一、知識與技能(1)理解并掌握弧度制的定義；(2)領會弧度制定義的合理性；(3)掌握并 運用弧度制

26、表示的弧長公式、扇形面積公式；(4)熟練地進行角度制與 弧度制的換算；(5)角的集合與實數(shù)集之間建立的一一對應關系.(6)使學生通過弧度制的學習，理解并認識到角度制與弧度制都是對角度量 的方法，二者是辨證統(tǒng)一的，而不是孤立、割裂的關系二、過程與方法創(chuàng)設情境，引入弧度制度量角的大小，通過探究理解并掌握弧度制的定義，領會定義的合理性根據(jù)弧度制的定義推導并運用弧長公式和扇形面積公式以具體的實例學習角度制與弧度制的互化，能正確使用計算器.三、情態(tài)與價值通過本節(jié)的學習，使同學們掌握另一種度量角的單位制-弧度制，理解并認識到角度制與弧度制都是對角度量的方法，二者是辨證統(tǒng)一 的，而不是孤立、割裂的關系角的概

27、念推廣以后，在弧度制下角的集 合與實數(shù)集之間建立了-對應關系：即每一個角都有的一個實數(shù)(即這個角的弧度數(shù))與它對應;反過來，每一個實數(shù)也都有的一個角(即弧 度數(shù)等于這個實數(shù)的角)與它對應，為下一節(jié)學習三角函數(shù)做好準備 教學重難點實用文檔系列文檔編號：YL-SY-71362第20頁共 21 頁重點:理解并掌握弧度制定義；熟練地進行角度制與弧度制地互化換算弧度制的運用難點:理解弧度制定義，弧度制的運用教學工具投影儀等教學過程一、創(chuàng)設情境，引入新課師：有人問：?？诘饺齺営卸噙h時，有人回答約 250 公里，但也有 人回答約 160 英里，請問那一種回答是正確的？（已知 1 英里= 1.6 公 里）顯然，兩種回答都是正確的，但為什么會有不同的數(shù)值呢？那是因為 所采用的度量制不同， 一個是公里制， 一個是英里制 他們的長度單 位是不同的，但是，他們之間可以換算：1 英里=1.6 公里.在角度的度量里面，也有類似的情況，一個是角度制，我們已經(jīng)不