特征函數(shù)在極限理論中的應(yīng)用(共9頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上1. 集合列的特征函數(shù)1.1集合E的特征函數(shù)定義：對于X中的子集E，作= 稱：是定義在X上的集合E的特征函數(shù)。 由定義知，特征函數(shù)在一定意義上作為集合E的代表。借助特征函數(shù)，集列的極限運算可轉(zhuǎn)換特征函數(shù)的相應(yīng)運算。1.2定理：對任意的集合列，有=，=，集列收斂的充要條件是它的特征函數(shù)列收斂，且=定理說明了集列?。ㄉ稀⑾拢O限的運算與求特征函數(shù)的運算是可交換運算的次序。集列收斂性與數(shù)列收斂性等價。 證明：由特征函數(shù)的定義，=1或0， ，設(shè)=1有無限個，使得=1， 有無限個，使得， ， =1 （*1） ，設(shè)=0有無限個，使得=0 有無限個，使得， ， =0 （*2）由（1

2、）（2）式，得證。 2迭代數(shù)列收斂性與特征函數(shù)2.1.定義：設(shè)=在區(qū)間I上有定義，數(shù)列滿足迭代關(guān)系：=（n=1,2，） （*3）若存在自然數(shù)N，使得當(dāng)n>N時恒有I成立，則稱F（x）和f（x）分別為迭代數(shù)列（*3）在區(qū)間I上的特征函數(shù)和迭代函數(shù)，而迭代數(shù)列（*3）稱為F(x)在區(qū)間I上的生成迭代數(shù)列。 引理：設(shè)f（x）是在區(qū)間I上有定義的單調(diào)函數(shù)，是I的內(nèi)點。若存在，則f（x）在處連續(xù)。 證明： 不妨設(shè)=A，f（x）在區(qū)間I上單調(diào)增加。 故當(dāng)x<時，<，則A=， 當(dāng)>時，>,則A=。 因此=A=， 故在處連續(xù)。定理1：設(shè)=x-是迭代數(shù)列（*3）在區(qū)間I上連續(xù)的特征

3、函數(shù)，且在I上單調(diào)增加。則若I=a,b>且F（a）=0，則存在且等于a，若I=<a,b且F（b）=0，則存在且等于b。注：約定區(qū)間a,b> , <a,b或<a,b>中尖括號一側(cè)的端點可以是實數(shù)，也可以是-或+；為實數(shù)是可以包含端點，也可以不包含端點。 證明：（i）由特征函數(shù)和極限的定義，不妨設(shè)對一切自然數(shù)n， 迭代數(shù)列（*3）恒有I=a,b>, 則有下界。 再用反證法證明在I上單調(diào)減少： 若存在自然數(shù)使得< 即<, 則=-<0. 因為=0，所以<。 這與在I上的單調(diào)增加矛盾。 故數(shù)列在I上單調(diào)減少有下界，即存在。 在迭代數(shù)列（*

4、3）中令，可得x=。 由題設(shè)可得=x-=0在I上有唯一實根， 于是由=a-=0得x=a， 故=a。 （ii）類似地可以證明數(shù)列在I=<a,b上單調(diào)增加有上界，且=b。定理2：設(shè)=x-是迭代數(shù)列（*3）在區(qū)間I=<a,b>上的特征函數(shù)，和在I上單調(diào)增加且存在I的內(nèi)點使得=0，則存在且等于 證明：不妨設(shè)對一切自然數(shù)n，迭代數(shù)列（*3）恒有， 記=<a,=,b>. 由題設(shè)及引理得在和上均單調(diào)增加且連續(xù)。 若對有=，則由在I上單調(diào)增加有 =， 一般地由數(shù)學(xué)歸納法易證=（n=1,2，）； 若對有=，類似地可以證明 （n=1,2，）。 所以是迭代數(shù)列（*3）在或上的特征函數(shù)。

5、 故由定理1，存在且等于。 利用上述定理，可以把迭代數(shù)列收斂性的證明和求極限的問題轉(zhuǎn)化為求其特征函數(shù)、迭代函數(shù)單增區(qū)間和特征函數(shù)零點的問題，從而把判斷函數(shù)單調(diào)性和求函數(shù)零點的一些方法應(yīng)用到迭代數(shù)列的求解中，簡化極限運算。 這種方法解題的一般步奏是：（1）求出函數(shù)=x-的單增區(qū)間（或和公共的單增區(qū)間）；（2）求出方程=0在單增區(qū)間的根；（3）判斷是迭代函數(shù)列（1）在單增區(qū)間上的特征函數(shù)；（4）判斷極限存在并得出極限。 例1：設(shè)>0 ,=(n=1,2,；0<c1)，證明存在且等于0。 證明：令=x-， 則=1->0（x>0）且=0. 當(dāng)>0時，恒有=>0（n=1

6、,2，）， 故為迭代數(shù)列在單增區(qū)間0,+)上連續(xù)的特征函數(shù)。 于是由定理1可得存在且等于0.例2：設(shè)數(shù)列滿足迭代關(guān)系=（n=1,2，；a>0），證明存在并求此極限。 證明：由數(shù)學(xué)歸納法和均值定理可知， 當(dāng)時有（n=2,3，）； 當(dāng)時有（n=2,3，）。 所以是分別在區(qū)間和上連續(xù)的特征函數(shù)。 由F=得在和上單調(diào)增加。 又因為解得。 所以由定理1得的極限存在且當(dāng)時，； 當(dāng)時，。 同理可證數(shù)列：（n=1,2，；a>0）的極限存在且。例3：設(shè)數(shù)列滿足迭代關(guān)系（n=1,2，；，），證明：對任意的初值，存在并求此極限。 證明：對任意的，有（n=2,3，）， 因此F（x）=是在區(qū)間上的特征函數(shù)。

7、 又當(dāng)時，（等號僅當(dāng)時成立）， 故和在單調(diào)增加，且。 由定理2可知的極限存在且等于0. 同理可證明（n=1,2，；）的極限存在且，其中是的根。 3.極限定理證明的特征函數(shù)法 李亞普諾夫提出了一種以特征函數(shù)為基礎(chǔ)的思想證明了中心極限定理，后來的 發(fā)展說明了李亞普諾夫的方法在證明最為多種多樣的極限定理時，是十分有效的，這決定了它的發(fā)展和廣泛應(yīng)用。 3.1分布函數(shù)與特征函數(shù)對應(yīng)的連續(xù)性定理1：設(shè)是分布函數(shù)序列：，而是相應(yīng)的特征函數(shù)序列：，（1） 如果，其中是某一分布函數(shù)，則，其中是的特征函數(shù)。（2） 如果對于每個存在極限，而函數(shù)在連續(xù)，則是某一概率分布的特征函數(shù)，且注：設(shè)是隨機變量，且,則稱隨機變量

8、依分布收斂于，并記作定理時，常認為表達式.這一記號很直觀（是distribution的字頭），因此在表述極限定理時，常認為表達式比更好。證明：將弱收斂的定義分別用于函數(shù)和，立即可以證明命題（1）； 命題（2）的證明，要求事先證明幾個引理。 引理1：設(shè)是稠密概率測度族。假設(shè)序列的弱收斂子序列，都收斂于同一概率測度P。則整個序列也弱收斂于同一概率測度P 證明：假設(shè)結(jié)果相反，整個數(shù)列不收斂于P則存在這樣的有界連續(xù)函數(shù)，使得 由此可得，存在和無限數(shù)列，使得 （*4） 則由序列可以選出子序列，使得，其中是某一測度概率。 根據(jù)引理假設(shè)，所以有， 而這與（*4）矛盾，從而引理得證。引理2：設(shè)是稠密概率測度族

9、，序列弱收斂于某種概率測度，當(dāng)且僅當(dāng)于每個存在極限，而函數(shù)測度的特征函數(shù)： 證明：如果概率測度族稠密，則存在數(shù)列和概率測度P，使得。 假設(shè)結(jié)果相反，整個數(shù)列不收斂于P，則根據(jù)引理1，存在子序列和概率測度，使得，且。 對于每個存在極限，則從而，。 由于特征函數(shù)唯一決定分布，故與假設(shè)矛盾。 最后，由弱收斂的定義可得引理相反的結(jié)論成立。引理3：設(shè)是數(shù)軸上的分布函數(shù)，而是其特征函數(shù)，則存在常數(shù)，使得對于任何有， （*5） 證明：由于， 則 ，其中=，所以，當(dāng)常數(shù)時（*5）式肯定成立。定理1的命題（2）的證明： 設(shè)，其中在0連續(xù)。 現(xiàn)在證明，由此可得是稠密概率測度族，其中是對應(yīng)于分布函數(shù)的測度。 由于（*5）和控制收斂定理，當(dāng)時有= 由于根據(jù)定義在0連續(xù)且，可得對于任何，存在使得對于一切，有。 從而測度族稠密，而由引理2可得存在概率測度，使得。 因此， 即。故是概率測度的特征函數(shù)。3.2極限定理證明的特征函數(shù)法定理2（辛欽大數(shù)定率）設(shè)是獨立同分布隨機變量序列，且，+，則，即對任何，有，證明：設(shè)和，則由隨機變量的獨立性有 因此對任意，有， 從而函數(shù)在0處連續(xù)且是集中在點m的退化概率分布的特征函數(shù)。所以，即定理3（