中考數(shù)學壓軸題分類解析匯編十專題專題01 動點問題

1、專題1：動點問題1. （2012上海市14分）如圖，在半徑為2的扇形AOB中，AOB=90°，點C是弧AB上的一個動點（不與點A、B重合）ODBC，OEAC，垂足分別為D、E（1）當BC=1時，求線段OD的長；（2）在DOE中是否存在長度保持不變的邊？如果存在，請指出并求其長度，如果不存在，請說明理由；（3）設(shè)BD=x，DOE的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出它的定義域【答案】解：（1）點O是圓心，ODBC，BC=1，BD=BC=。 又OB=2，。（2）存在，DE是不變的。如圖，連接AB，則。D和E是中點，DE=。（3）BD=x，。1=2，3=4，AOB=900。2+3=45

2、°。過D作DFOE，垂足為點F。DF=OF=。由BODEDF，得，即，解得EF=x。OE=。【考點】垂徑定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，相似三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥浚?）由ODBC，根據(jù)垂徑定理可得出BD=BC= ，在RtBOD中利用勾股定理即可求出OD的長。（2）連接AB，由AOB是等腰直角三角形可得出AB的長，再由D和E是中點，根據(jù)三角形中位線定理可得出DE= 。（3）由BD=x，可知，由于1=2，3=4，所以2+3=45°，過D作DFOE，則DF=OF=，EF=x，OE=，即可求得y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式。 ，點C是弧AB上的一個動點（不

3、與點A、B重合）， 。2. （2012福建南平14分）如圖，在ABC中，點D、E分別在邊BC、AC上，連接AD、DE，且1=B=C（1）由題設(shè)條件，請寫出三個正確結(jié)論：（要求不再添加其他字母和輔助線，找結(jié)論過程中添加的字母和輔助線不能出現(xiàn)在結(jié)論中，不必證明）答：結(jié)論一： ；結(jié)論二： ；結(jié)論三： （2）若B=45°，BC=2，當點D在BC上運動時（點D不與B、C重合），求CE的最大值；若ADE是等腰三角形，求此時BD的長（注意：在第（2）的求解過程中，若有運用（1）中得出的結(jié)論，須加以證明）【答案】解：（1）AB=AC；AED=ADC；ADEACD。（2）B=C，B=45°，

4、ACB為等腰直角三角形。1=C，DAE=CAD，ADEACD。AD：AC=AE：AD， 。當AD最小時，AE最小，此時ADBC，AD=BC=1。AE的最小值為 。CE的最大值= 。當AD=AE時，1=AED=45°，DAE=90°。點D與B重合，不合題意舍去。當EA=ED時，如圖1，EAD=1=45°。AD平分BAC，AD垂直平分BC。BD=1。當DA=DE時，如圖2，ADEACD，DA：AC=DE：DC。DC=CA=。BD=BCDC=2。綜上所述，當ADE是等腰三角形時，BD的長的長為1或2?！究键c】相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰（直角）三角形的判定和性

5、質(zhì)。【分析】（1）由B=C，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得AB=AC；由1=C，AED=EDC+C得到AED=ADC；又由DAE=CAD，根據(jù)相似三角形的判定可得到ADEACD。（2）由B=C，B=45°可得ACB為等腰直角三角形，則，由1=C，DAE=CAD，根據(jù)相似三角形的判定可得ADEACD，則有AD：AC=AE：AD，即，當ADBC，AD最小，此時AE最小，從而由CE=ACAE得到CE的最大值。分當AD=AE，EA=ED，DA=DE三種情況討論即可。3. （2012甘肅蘭州12分）如圖，RtABO的兩直角邊OA、OB分別在x軸的負半軸和y軸的正半軸上，O為坐標原點，A、B兩點的坐標

6、分別為(3，0)、(0，4)，拋物線yx2bxc經(jīng)過點B，且頂點在直線x上(1)求拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；(2)若把ABO沿x軸向右平移得到DCE，點A、B、O的對應(yīng)點分別是D、C、E，當四邊形ABCD是菱形時，試判斷點C和點D是否在該拋物線上，并說明理由；(3)在(2)的條件下，連接BD，已知對稱軸上存在一點P使得PBD的周長最小，求出P點的坐標；(4)在(2)、(3)的條件下，若點M是線段OB上的一個動點(點M與點O、B不重合)，過點M作BD交x軸于點N，連接PM、PN，設(shè)OM的長為t，PMN的面積為S，求S和t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和

7、此時M點的坐標；若不存在，說明理由【答案】解：（1）拋物線yx2bxc經(jīng)過點B(0，4)，c4。頂點在直線x上，解得。所求函數(shù)關(guān)系式為。（2）在RtABO中，OA3，OB4，。四邊形ABCD是菱形，BCCDDAAB5。C、D兩點的坐標分別是(5，4)、(2，0)，當x5時，；當x2時，。點C和點D都在所求拋物線上。（3）設(shè)CD與對稱軸交于點P，則P為所求的點，設(shè)直線CD對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為ykxb，則，解得，。直線CD對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為。當x時，。P()。（4）MNBD，OMNOBD。，即，得。設(shè)對稱軸交x于點F，則。， ， (0t4)。，04，當時，S取最大值是。此時，點M的坐標為(0，)?！?/p>

8、考點】二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，曲線上點的坐標與方程的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)。【分析】（1）根據(jù)拋物線yx2bxc經(jīng)過點B(0，4)，以及頂點在直線x上，得出b，c即可。（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得出C、D兩點的坐標分別是(5，4)、(2，0)，利用圖象上點的性質(zhì)得出x5或2時，y的值即可。（3）首先設(shè)直線CD對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為ykxb，求出解析式，當x時，求出y即可。（4）利用MNBD，得出OMNOBD，進而得出，得到，從而表示出PMN的面積，利用二次函數(shù)最值求出即可。4. （2012廣東省9分）如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，連接BC、AC（

9、1）求AB和OC的長；（2）點E從點A出發(fā)，沿x軸向點B運動（點E與點A、B不重合），過點E作直線l平行BC，交AC于點D設(shè)AE的長為m，ADE的面積為s，求s關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m的取值范圍；（3）在（2）的條件下，連接CE，求CDE面積的最大值；此時，求出以點E為圓心，與BC相切的圓的面積（結(jié)果保留）【答案】解：（1）在中，令x=0，得y=9，C（0，9）；令y=0，即，解得：x1=3，x2=6，A（3，0）、B（6，0）。AB=9，OC=9。（2）EDBC，AEDABC，即：。s=m2（0m9）。（3）SAEC=AEOC=m，SAED=s=m2，SEDC=SAECSAED=m

10、2+m=（m）2+。CDE的最大面積為，此時，AE=m=，BE=ABAE=。又，過E作EFBC于F，則RtBEFRtBCO，得：，即：。以E點為圓心，與BC相切的圓的面積 SE=EF2=?！究键c】二次函數(shù)綜合題，曲線上點的坐標與方程的關(guān)系，相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，勾股定理，直線與圓相切的性質(zhì)?！痉治觥浚?）已知拋物線的解析式，當x=0，可確定C點坐標；當y=0時，可確定A、B點的坐標，從而確定AB、OC的長。（2）直線lBC，可得出AEDABC，它們的面積比等于相似比的平方，由此得到關(guān)于s、m的函數(shù)關(guān)系式；根據(jù)題目條件：點E與點A、B不重合，可確定m的取值范圍。 （3）首先用m

11、列出AEC的面積表達式，AEC、AED的面積差即為CDE的面積，由此可得關(guān)于SCDE關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可得到SCDE的最大面積以及此時m的值。過E做BC的垂線EF，這個垂線段的長即為與BC相切的E的半徑，可根據(jù)相似三角形BEF、BCO得到的相關(guān)比例線段求得該半徑的值，由此得解。5. （2012貴州畢節(jié)16分）如圖，直線l1經(jīng)過點A（1，0），直線l2經(jīng)過點B(3，0), l1、l2均為與y軸交于點C(0，)，拋物線經(jīng)過A、B、C三點。（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）拋物線的對稱軸依次與軸交于點D、與l2交于點E、與拋物線交于點F、與l1交于點G。求證：DE=EF=FG;(3)

12、若l1l2于y軸上的C點處，點P為拋物線上一動點，要使PCG為等腰三角形，請寫出符合條件的點P的坐標，并簡述理由?！敬鸢浮拷猓海?）拋物線經(jīng)過A（1，0），B（3，0），C（0，）三點， ，解得。拋物線的解析式為：（2）證明：設(shè)直線l1的解析式為y=kx+b，由直線l1經(jīng)過A（1，0），C（0，），得 ，解得，直線l1的解析式為：y=-x 。直線l2經(jīng)過B（3，0），C（0，）兩點，同理可求得直線l2解析式為：y= x 。拋物線，對稱軸為x=1，D（1，0），頂點坐標為F（1， ）。點E為x=1與直線l2：y= x的交點，令x=1，得y= ，E（1， ）。點G為x=1與直線l1：y=-x 的交

13、點，令x=1，得y= ，G（1，）。各點坐標為：D（1，0），E（1， ），F(xiàn)（1，），G（1， ），它們均位于對稱軸x=1上。DE=EF=FG=。（3）如圖，過C點作C關(guān)于對稱軸x=1的對稱點P1，CP1交對稱軸于H點，連接CF，PG。PCG為等腰三角形，有三種情況：當CG=PG時，如圖，由拋物線的對稱性可知，此時P1滿足P1G=CG。C（0，），對稱軸x=1，P1（2， ）。當CG=PC時，此時P點在拋物線上，且CP的長度等于CG。如圖，C（1， ），H點在x=1上，H（1，）。在RtCHG中，CH=1，HG=|yGyH|=| （）|= ，由勾股定理得：。PC=2如圖，CP1=2，此時與中

14、情形重合。又RtOAC中，點A滿足PC=2的條件，但點A、C、G在同一條直線上，所以不能構(gòu)成等腰三角形。當PC=PG時，此時P點位于線段CG的垂直平分線上.l1l2，ECG為直角三角形。由（2）可知，EF=FG，即F為斜邊EG的中點。CF=FG，F(xiàn)為滿足條件的P點，P2（1，）。又，CGE=30°。HCG=60°。又P1C=CG，P1CG為等邊三角形。P1點也在CG的垂直平分線上，此種情形與重合。綜上所述，P點的坐標為P1（2， ）或P2（1， ）?！究键c】二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，曲線上點的坐標與方程的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊上中

15、線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值?！痉治觥浚?）已知A、B、C三點坐標，利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式。（2）D、E、F、G四點均在對稱軸x=1上，只要分別求出其坐標，就可以得到線段DE、EF、FG的長度。D是對稱軸與x軸交點，F(xiàn)是拋物線頂點，其坐標易求；E是對稱軸與直線l2交點，需要求出l2的解析式，G是對稱軸與l1的交點，需要求出l1的解析式，而A、B、C三點坐標已知，所以l1、l2的解析式可以用待定系數(shù)法求出。從而問題得到解決。（3）PCG為等腰三角形，需要分三種情況討論：CG=PG，CG=PC，PC=PG。6. （2012貴州遵義12分）如圖，ABC是邊長為6的等邊三角

16、形，P是AC邊上一動點，由A向C運動（與A、C不重合），Q是CB延長線上一點，與點P同時以相同的速度由B向CB延長線方向運動（Q不與B重合），過P作PEAB于E，連接PQ交AB于D（1）當BQD=30°時，求AP的長；（2）當運動過程中線段ED的長是否發(fā)生變化？如果不變，求出線段ED的長；如果變化請說明理由【答案】解：（1）ABC是邊長為6的等邊三角形，ACB=60°。BQD=30°，QCP=90°。設(shè)AP=x，則PC=6x，QB=x，QC=QB+C=6+x。在RtQCP中，BQD=30°，PC=QC，即6x=（6+x），解得x=2。當BQD=

17、30°時，AP=2。（2）當點P、Q運動時，線段DE的長度不會改變。理由如下：作QFAB，交直線AB的延長線于點F，連接QE，PF。PEAB于E，DFQ=AEP=90°。點P、Q做勻速運動且速度相同，AP=BQ。ABC是等邊三角形，A=ABC=FBQ=60°。在APE和BQF中，A=FBQ，AP=BQ，AEP=BFQ=90°，APEBQF（AAS）。AE=BF，PE=QF且PEQF。四邊形PEQF是平行四邊形。DE=EF。EB+AE=BE+BF=AB，DE=AB。又等邊ABC的邊長為6，DE=3。當點P、Q運動時，線段DE的長度不會改變?！究键c】動點問題

18、，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)?！痉治觥浚?）由ABC是邊長為6的等邊三角形，可知ACB=60°，再由BQD=30°可知QCP=90°，設(shè)AP=x，則PC=6x，QB=x，在RtQCP中，BQD=30°，PC=QC，即6x=（6+x），求出x的值即可。（2）作QFAB，交直線AB的延長線于點F，連接QE，PF，由點P、Q做勻速運動且速度相同，可知AP=BQ，再根據(jù)全等三角形的判定定理得出APEBQF，再由AE=BF，PE=QF且PEQF，可知四邊形PEQF是平行四邊形，進而可得出EB+AE=BE+BF=AB，DE

19、=AB，由等邊ABC的邊長為6可得出DE=3，故當點P、Q運動時，線段DE的長度不會改變。7. （2012湖北宜昌12分）如圖，在平面直角坐標系中，直線y=x+1分別與兩坐標軸交于B，A兩點，C為該直線上的一動點，以每秒1個單位長度的速度從點A開始沿直線BA向上移動，作等邊CDE，點D和點E都在x軸上，以點C為頂點的拋物線y=a（xm）2+n經(jīng)過點EM與x軸、直線AB都相切，其半徑為3（1）a（1）求點A的坐標和ABO的度數(shù)；（2）當點C與點A重合時，求a的值；（3）點C移動多少秒時，等邊CDE的邊CE第一次與M相切？【答案】解：（1）當x=0時，y=1；當y=0時，x=， OA=1，OB=。

20、A的坐標是（0，1）。tanABO=。ABO=30°。（2）CDE為等邊三角形，點A（0，1），tan30°=，OD=。D的坐標是（，0），E的坐標是（，0），把點A（0，1），D（，0），E（，0）代入 y=a（xm）2+n，得，解得。a=3。（3）如圖，設(shè)切點分別是Q，N，P，連接MQ，MN，MP，ME，過點C作CHx軸，H為垂足，過A作AFCH，F(xiàn)為垂足。CDE是等邊三角形，ABO=30°，BCE=90°，ECN=90°。CE，AB分別與M相切，MPC=CNM=90°。四邊形MPCN為矩形。MP=MN，四邊形MPCN為正方形。M

21、P=MN=CP=CN=3（1）a（a0）。EC和x軸都與M相切，EP=EQ。NBQ+NMQ=180°，PMQ=60°。EMQ，=30°。在RtMEP中，tan30°=，PE=（3）a。CE=CP+PE=3（1）a+（3）a=2a。DH=HE=a，CH=3a，BH=3a。OH=3a，OE=4a。E（4a，0），C（3a，3a）。設(shè)二次函數(shù)的解析式為：y=a（x+3a+）23a，E在該拋物線上，a（4a+3a+）23a=0，得：a2=1，解之得a1=1，a2=1。a0，a=1。AF=2，CF=2，AC=4。點C移動到4秒時，等邊CDE的邊CE第一次與M相切。

22、【考點】動點問題，二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，曲線上點的坐標與方程的關(guān)系，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，等邊三角形的性質(zhì)，直線與圓相切的性質(zhì)?！痉治觥浚?）已知直線AB的解析式，令解析式的x=0，能得到A點坐標；令y=0，能得到B點坐標；在RtOAB中，知道OA、OB的長，用正切函數(shù)即可得到ABO的值。 （2）當C、A重合時，可知點C的坐標，然后結(jié)合OC的長以及等邊三角形的特性求出OD、OE的長，即可得到D、E的坐標，利用待定系數(shù)即可確定a的值。（3）作出第一次相切時的示意圖，已知的條件只有圓的半徑，那么連接圓心與三個切點以及點E，首先能判斷出四邊形CPMN是正方形，那么CP與M的半徑

23、相等，只要再求出PE就能進一步求得C點坐標；那么可以從PE=EQ，即RtMEP入手，首先CED=60°，而MEP=MEQ，易求得這兩個角的度數(shù)，通過解直角三角形不難得到PE的長，即可求出PE及點C、E的坐標然后利用C、E的坐標確定a的值，從而可求出AC的長，由此得解。8. （2012湖南常德10分）已知四邊形ABCD是正方形，O為正方形對角線的交點，一動點P從B開始，沿射線BC運動，連結(jié)DP，作CNDP于點M，且交直線AB于點N，連結(jié)OP，ON。（當P在線段BC上時，如圖1：當P在BC的延長線上時，如圖2） （1）請從圖1，圖2中任選一圖證明下面結(jié)論： BN=CP： OP=ON，且O

24、PON (2) 設(shè)AB=4，BP=x，試確定以O(shè)、P、B、N為頂點的四邊形的面積y與x的函數(shù)關(guān)系?！敬鸢浮浚?）證明：如圖1，四邊形ABCD是正方形，OC=OB，DC=BC，DCB=CBA=90°，OCB=OBA=45°，DOC=90°，DCAB。DPCN，CMD=DOC=90°。BCN+CPD=90°，PCN+DCN=90°。CPD=CNB。DCAB，DCN=CNB=CPD。在DCP和CBN中，DCP=CBN，CPD=BNC，DC=BC，DCPCBN（AAS）。CP=BN。在OBN和OCP中，OB=OC，OCP=OBN， CP=BN

25、 ，OBNOCP（SAS）。ON=OP，BON=COP。BON+BOP=COP+BOP，即NOP=BOC=90°。ONOP。（2）解：AB=4，四邊形ABCD是正方形，O到BC邊的距離是2。圖1中，圖2中，。以O(shè)、P、B、N為頂點的四邊形的面積y與x的函數(shù)關(guān)系是： 。【考點】正方形的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，兩線垂直的判定，多邊形的面積的分解，函數(shù)解析式的確定，分段函數(shù)，點到直線的距離?！痉治觥浚?）對于圖1，證明線段相等，一般情況下找全等。根據(jù)BN，CP的分布情況 可以觀察CNB和DPC，然后證明兩三角形全等。也可以觀察CAN和DBP，證明AN=BP，從而有BN

26、=CP。對于圖2，證明如下：ABCD為正方形，AC，BD為對角線，DCP=90º。 CMDP， PCM=PDC。PDB=CAN。 又DPB=ANC，BD=AC，PDBNCA（ASA）。 PB=AN，DP=CN。CP=BN。 PDB=CAN，OD=OC， CP=BN，PDONCO（SAS）。 OP=ON，DOP=CON。 DOC=90º，PON=NOC+POC=DOP+POC=DOC=90º。OPON。（2）求以O(shè)、P、B、N為頂點的四邊形的面積，則要把四邊形分解為兩個三角形去解決問題。圖1中，S四邊形OPBN=SOBN+SBOP，；圖2中，S四邊形OBNP=SPO

27、B+SPBN，代入求出即可。9. （2012湖南張家界10分）如圖，O的直徑AB=4，C為圓周上一點，AC=2，過點C作O的切線DC，P點為優(yōu)弧上一動點（不與AC重合）（1）求APC與ACD的度數(shù)；（2）當點P移動到CB弧的中點時，求證：四邊形OBPC是菱形（3）P點移動到什么位置時，APC與ABC全等，請說明理由【答案】解：（1）連接AC，如圖所示：AB=4，OA=OB=OC=AB=2。又AC=2，AC=OA=OC。ACO為等邊三角形。AOC=ACO=OAC=60°，APC=AOC=30°。又DC與圓O相切于點C，OCDC。DCO=90°。ACD=DCOACO=

28、90°60°=30°。 （2）連接PB，OP，AB為直徑，AOC=60°，COB=120°。當點P移動到弧CB的中點時，COP=POB=60°。COP和BOP都為等邊三角形。AC=CP=OA=OP。四邊形AOPC為菱形。（3）當點P與B重合時，ABC與APC重合，顯然ABCAPC。當點P繼續(xù)運動到CP經(jīng)過圓心時，ABCCPA，理由為：CP與AB都為圓O的直徑，CAP=ACB=90°。在RtABC與RtCPA中，AB=CP，AC=ACRtABCRtCPA（HL）。綜上所述，當點P與B重合時和點P運動到CP經(jīng)過圓心時，ABCCP

29、A?！究键c】切線的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，菱形的判定。【分析】（1）連接AC，由直徑AB=4，得到半徑OA=OC=2，又AC=2，得到AC=OC=OA，即AOC為等邊三角形，可得出三個內(nèi)角都為60°，再由同弧所對的圓心角等于所對圓周角的2倍，得到APC為30°，由CD為圓O的切線，得到OC垂直于CD，可得出OCD為直角，用OCD-OCA可得出ACD的度數(shù)。（2）由AOC為60°，AB為圓O的直徑，得到BOC=120°，再由P為CB 的中點，得到兩條弧相等，根據(jù)等弧對等角，可得出COP=BOP=60°，從

30、而得到COP與BOP都為等邊三角形，可得出OC=OB=PC=PB，即四邊形OBPC為菱形。 （3）點P有兩個位置使APC與ABC全等，其一：P與B重合時，顯然兩三角形全等；第二：當CP為圓O的直徑時，此時兩三角形全等。10. （2012江蘇無錫10分）如圖，菱形ABCD的邊長為2cm，DAB=60°點P從A點出發(fā)，以cm/s的速度，沿AC向C作勻速運動；與此同時，點Q也從A點出發(fā)，以1cm/s的速度，沿射線AB作勻速運動當P運動到C點時，P、Q都停止運動設(shè)點P運動的時間為ts（1）當P異于AC時，請說明PQBC；（2）以P為圓心、PQ長為半徑作圓，請問：在整個運動過程中，t為怎樣的值

31、時，P與邊BC分別有1個公共點和2個公共點？【答案】解：（1）四邊形ABCD是菱形，且菱形ABCD的邊長為2，AB=BC=2，BAC=DAB。又DAB=60°，BAC=BCA=30°。如圖1，連接BD交AC于O。四邊形ABCD是菱形，ACBD，OA=AC。OB=AB=1。OA=，AC=2OA=2。運動ts后，AP=t，AO=t，。又PAQ=CAB，PAQCAB.APQ=ACB.PQBC.（2）如圖2，P與BC切于點M，連接PM，則PMBC。在RtCPM中，PCM=30°，PM=。由PM=PQ=AQ=t，即=t，解得t=，此時P與邊BC有一個公共點。如圖3，P過點B

32、，此時PQ=PB，PQB=PAQ+APQ=60°PQB為等邊三角形。QB=PQ=AQ=t。t=1。當時，P與邊BC有2個公共點。如圖4，P過點C，此時PC=PQ，即 =tt=。當1t時，P與邊BC有一個公共點。當點P運動到點C，即t=2時，Q、B重合，P過點B，此時，P與邊BC有一個公共點。綜上所述，當t=或1t或t=2時，P與菱形ABCD的邊BC有1個公共點；當時，P與邊BC有2個公共點?！究键c】直線與圓的位置關(guān)系，菱形的性質(zhì)，含30°角直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行的判定，切線的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥浚?）連接BD交AC于O，構(gòu)建直角三角

33、形AOB利用菱形的對角線互相垂直、對角線平分對角、鄰邊相等的性質(zhì)推知PAQCAB；然后根據(jù)“相似三角形的對應(yīng)角相等”證得APQ=ACB；最后根據(jù)平行線的判定定理“同位角相等，兩直線平行”可以證得結(jié)論。（2）分P與BC切于點M，P過點B，P過點C和點P運動到點C四各情況討論即可。11. （2012江蘇南通12分）如圖，在ABC中，ABAC10cm，BC12cm，點D是BC邊的中點點P從點B出發(fā)，以acm/s(a0)的速度沿BA勻速向點A運動；點Q同時以1cm/s的速度從點D出發(fā)，沿DB勻速向點B運動，其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動，設(shè)它們運動的時間為ts(1)若a2，BPQBD

34、A，求t的值；(2)設(shè)點M在AC上，四邊形PQCM為平行四邊形若a，求PQ的長；是否存在實數(shù)a，使得點P在ACB的平分線上？若存在，請求出a的值；若不存在，請說明理由【答案】解：（1）ABC中，AB=AC=10，BC=12，D是BC的中點，BD=CD=BC=6。a=2，BP=2t，DQ=t。BQ=BDQD=6t。BPQBDA，即，解得：。（2）過點P作PEBC于E，四邊形PQCM為平行四邊形，PMCQ，PQCM，PQ=CM。PB：AB=CM：AC。AB=AC，PB=CM。PB=PQ。BE=BQ=（6t）。a=，PB=t。ADBC，PEAD。PB：AB=BE：BD，即。解得，t=。PQ=PB=t

35、=（cm）。不存在理由如下：四邊形PQCM為平行四邊形，PMCQ，PQCM，PQ=CM。PB：AB=CM：AC。AB=AC，PB=CM，PB=PQ。若點P在ACB的平分線上，則PCQ=PCM，PMCQ，PCQ=CPM。CPM=PCM。PM=CM。四邊形PQCM是菱形。PQ=CQ。PB=CQ。PB=at，CQ=BD+QD=6+t，PM=CQ=6+t，AP=ABPB=10at，且 at=6+t。PMCQ，PM：BC=AP：AB，化簡得：6at+5t=30。把代入得，t=。不存在實數(shù)a，使得點P在ACB的平分線上。【考點】等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，平行的性質(zhì)，菱形的

36、判定和性質(zhì)，反證法?！痉治觥浚?）由ABC中，AB=AC=10，BC=12，D是BC的中點，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，即可求得BD與CD的長，又由a=2，BPQBDA，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得t的值。（2）首先過點P作PEBC于E，由四邊形PQCM為平行四邊形，易證得PB=PQ，又由平行線分線段成比例定理，即可得方程，解此方程即可求得答案。用反證法，假設(shè)存在點P在ACB的平分線上，由四邊形PQCM為平行四邊形，可得四邊形PQCM是菱形，即可得PB=CQ，PM：BC=AP：PB，及可得方程組，解此方程組求得t值為負，故可得不存在。12. （2012江蘇泰州12分） 如圖，已知一

37、次函數(shù)的圖象與x軸相交于點A，與反比例函數(shù)的圖象相交于B（1，5）、C（，d）兩點點P（m，n）是一次函數(shù)的圖象上的動點（1）求k、b的值；（2）設(shè)，過點P作x軸的平行線與函數(shù)的圖象相交于點D試問PAD的面積是否存在最大值？若存在，請求出面積的最大值及此時點P的坐標；若不存在，請說明理由；（3）設(shè)，如果在兩個實數(shù)m與n之間（不包括m和n）有且只有一個整數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍【答案】解：（1）將點B 的坐標代入，得 ，解得。 反比例函數(shù)解析式為。 將點C（，d）的坐標代入，得。C（，2）。 一次函數(shù)的圖象經(jīng)過B（1，5）、C（，2）兩點， ，解得。（2）存在。 令，即，解得。A（，0）。 由題意

38、，點P（m，n）是一次函數(shù)的圖象上的動點，且 點P在線段AB 上運動（不含A、B）。設(shè)P（）。 DPx軸，且點D在的圖象上， ，即D（）。 PAD的面積為。 S關(guān)于n的二次函數(shù)的圖象開口向下，有最大值。 又n=，得，而。 當時，即P（）時，PAD的面積S最大，為。 （3）由已知，P（）。 易知mn，即，即。 若，則。 由題設(shè)，解出不等式組的解為。 若，則。 由題設(shè)，解出不等式組的解為。 綜上所述，數(shù)a的取值范圍為，?！究键c】反比例函數(shù)和一次函數(shù)綜合問題，曲線上點的坐標與方程的關(guān)系，平行的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，不等式組的應(yīng)用?！痉治觥浚?）根據(jù)曲線上點的坐標與方程的關(guān)系，由B 的坐標求得，從而得

39、到；由點C在上求得，即得點C的坐標；由點B、C在上，得方程組，解出即可求得k、b的值。 （2）求出PAD的面積S關(guān)于n的二次函數(shù)（也可求出關(guān)于m），應(yīng)用二次函數(shù)的最值原理即可求得面積的最大值及此時點P的坐標。（3）由mn得到。分和兩種情況求解。13. （2012江蘇常州9分）已知，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，點M為邊BC的中點，點P為邊CD上的動點（點P異于C、D兩點）。連接PM，過點P作PM的垂線與射線DA相交于點E（如圖）。設(shè)CP=x，DE=y。（1）寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式 ；（2）若點E與點A重合，則x的值為 ；（3）是否存在點P，使得點D關(guān)于直線PE的對稱點D落在邊AB上

40、？若存在，求x的值；若不存在，請說明理由。【答案】解：（1）y=x24x。 （2）或。 （3）存在。 過點P作PHAB于點H。則 點D關(guān)于直線PE的對稱點D落在邊AB上， P D=PD=4x，E D=ED= y=x24x，EA=ADED= x24x2，P DE=D=900。 在RtDP H中，PH=2， DP =DP=4x，DH=。 E DA=1800900P DH=900P DH=DP H，P DE=P HD =900， E DADP H。，即， 即，兩邊平方并整理得，2x24x1=0。解得。當時，y=，此時，點E已在邊DA延長線上，不合題意，舍去（實際上是無理方程的增根）。當時，y=，此時

41、，點E在邊AD上，符合題意。當時，點D關(guān)于直線PE的對稱點D落在邊AB上?！究键c】矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，折疊對稱的性質(zhì)，解無理方程?！痉治觥浚?）CM=1，CP=x，DE=y，DP=4x，且MCPPDE， ，即。y=x24x。（2）當點E與點A重合時，y=2，即2=x24x，x24x2=0。 解得。（3）過點P作PHAB于點H，則由點D關(guān)于直線PE的對稱點D落在邊AB上，可得E DA與DP H相似，由對應(yīng)邊成比例得得關(guān)于x的方程即可求解。注意檢驗。14. （2012江蘇徐州8分）如圖1，A、B、C、D為矩形的四個頂點，AD=4cm，AB=dcm。動點E、F分別從點D、B

42、出發(fā)，點E以1 cm/s的速度沿邊DA向點A移動，點F以1 cm/s的速度沿邊BC向點C移動，點F移動到點C時，兩點同時停止移動。以EF為邊作正方形EFGH，點F出發(fā)xs時，正方形EFGH的面積為ycm2。已知y與x的函數(shù)圖象是拋物線的一部分，如圖2所示。請根據(jù)圖中信息，解答下列問題：（1）自變量x的取值范圍是 ；（2）d= ，m= ，n= ；（3）F出發(fā)多少秒時，正方形EFGH的面積為16cm2？【答案】解：（1）0x4。 （2）3，2，25 （3）過點E作EIBC垂足為點I。則四邊形DEIC為矩形。 EI=DC=3，CI=DE=x。 BF=x，IF=42x。 在RtEFI中，。 y是以EF

43、為邊長的正方形EFGH的面積， 。 當y=16時，解得，。F出發(fā)或秒時，正方形EFGH的面積為16cm2。【考點】動點問題，矩形的判定和性質(zhì)，平行線間垂直線段的性質(zhì)，勾股定理，解一元二次方程。【分析】（1）自變量x的取值范圍是點F從點C到點B的運動時間，由時間=距離÷速度，即可求。 （2）由圖2知，正方形EFGH的面積的最小值是9，而正方形EFGH的面積最小時，根據(jù)地兩平行線間垂直線段最短的性質(zhì)，得d=AB=EF=3。 當正方形EFGH的面積最小時，由BF=DE和EFAB得，E、F分別為AD、BC的中點，即m=2。 當正方形EFGH的面積最大時，EF等于矩形ABCD的對角線，根據(jù)勾股

44、定理，它為5，即n=25。 （3）求出正方形EFGH的面積y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，即可求得F出發(fā)或秒時，正方形EFGH的面積為16cm2。15. （2012四川樂山13分）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（m，m），點B的坐標為（n，n），拋物線經(jīng)過A、O、B三點，連接OA、OB、AB，線段AB交y軸于點C已知實數(shù)m、n（mn）分別是方程x22x3=0的兩根（1）求拋物線的解析式；（2）若點P為線段OB上的一個動點（不與點O、B重合），直線PC與拋物線交于D、E兩點（點D在y軸右側(cè)），連接OD、BD當OPC為等腰三角形時，求點P的坐標；求BOD 面積的最大值，并寫出此時點D的坐標【答案】解

45、：（1）解方程x22x3=0，得 x1=3，x2=1。mn，m=1，n=3。A（1，1），B（3，3）。拋物線過原點，設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx。，解得：。拋物線的解析式為。（2）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b。，解得：。直線AB的解析式為。C點坐標為（0，）。直線OB過點O（0，0），B（3，3），直線OB的解析式為y=x。OPC為等腰三角形，OC=OP或OP=PC或OC=PC。設(shè)P（x，x）。（i）當OC=OP時，解得（舍去）。P1（）。（ii）當OP=PC時，點P在線段OC的中垂線上，P2（）。（iii）當OC=PC時，由，解得（舍去）。P3（）。綜上所述，P點坐標為P1（）或

46、P2（）或P3（）。過點D作DGx軸，垂足為G，交OB于Q，過B作BHx軸，垂足為H設(shè)Q（x，x），D（x，）SBOD=SODQ+SBDQ=DQOG+DQGH=DQ（OG+GH）=。0x3，當時，S取得最大值為，此時D（）。【考點】二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，曲線上點的坐標與方程的關(guān)系，解一元二次方程，等腰三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值。【分析】（1）首先解方程得出A，B兩點的坐標，從而利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式即可。 （2）首先求出AB的直線解析式，以及BO解析式，再利用等腰三角形的性質(zhì)得出當OC=OP時，當OP=PC時，點P在線段OC的中垂線上，當OC=PC時分別求出x的值即可。利用S

47、BOD=SODQ+SBDQ得出關(guān)于x的二次函數(shù)，從而得出最值即可。16. （2012四川攀枝花12分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，四邊形ABCD是菱形，頂點ACD均在坐標軸上，且AB=5，sinB=（1）求過ACD三點的拋物線的解析式；（2）記直線AB的解析式為y1=mx+n，（1）中拋物線的解析式為y2=ax2+bx+c，求當y1y2時，自變量x的取值范圍；（3）設(shè)直線AB與（1）中拋物線的另一個交點為E，P點為拋物線上AE兩點之間的一個動點，當P點在何處時，PAE的面積最大？并求出面積的最大值【答案】解：（1）四邊形ABCD是菱形，且AB=5，AB=AD=CD=BC=5，sinB=si

48、nD=。在RtOCD中，OC=CDsinD=4，OD=3，OA=ADOD=2。A（2，0）、B（5，4）、C（0，4）、D（3，0）。設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x+2）（x3），將C（0，4）代入得：2×（3）a=4，解得a=。拋物線的解析式為y=（x+2）（x3）。（2）由A（2，0）、B（5，4）得直線AB：。由（1）得：，則：，解得：，。由圖可知：當y1y2時，2x5。（3）SPAE等于AE和AE上高乘積的一半， 當在拋物線上AE兩點之間，P到直線AB的距離最大時，SPAE最大。若設(shè)直線LAB，則直線L與拋物線有且只有一個交點時，該交點為點P。設(shè)直線L：，當直線L與拋物線有且

49、只有一個交點時，且=0。由化簡，得，解得，b=。且，解得。直線L：。點P（）。由（2）得：E（5，），則直線PE：。設(shè)直線PE與x軸交于點F，則點F（，0），AF=OA+OF=。PAE的最大值：。 綜上所述，當P（）時，PAE的面積最大，為。【考點】二次函數(shù)綜合題，菱形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，待定系數(shù)法，曲線上點的坐標與方程的關(guān)系，直線與拋物線的交點，平行線的性質(zhì)，一元二次方程根的判別式。【分析】（1）由菱形ABCD的邊長和一角的正弦值，可求出OCODOA的長，從而確定ACD三點坐標，通過待定系數(shù)法可求出拋物線的解析式。（2）首先由AB的坐標確定直線AB的解析式，然后求出直線AB與拋物線解析

50、式的兩個交點，然后通過觀察圖象找出直線y1在拋物線y2圖象下方的部分。（3）該題的關(guān)鍵點是確定點P的位置：PAE的面積最大，那么AE上的高最大，即點P離直線AE的距離最遠，那么點P為與直線AB平行且與拋物線有且僅有的唯一交點。根據(jù)一元二次方程根的判別式=0求解即可。17. （2012四川廣元12分）如圖，在矩形ABCO中，AO=3，tanACB=，以O(shè)為坐標原點，OC為x軸，OA為y軸建立平面直角坐標系。設(shè)D，E分別是線段AC，OC上的動點，它們同時出發(fā)，點D以每秒3個單位的速度從點A向點C運動，點E以每秒1個單位的速度從點C向點O運動，設(shè)運動時間為t秒。（1）求直線AC的解析式；（2）用含t

51、的代數(shù)式表示點D的坐標；（3）當t為何值時，ODE為直角三角形？（4）在什么條件下，以RtODE的三個頂點能確定一條對稱軸平行于y軸的拋物線？并請選擇一種情況，求出所確定拋物線的解析式?！敬鸢浮拷猓海?）根據(jù)題意，得CO=AB=BCtanACB=4，A（0，3）、B（4，3）、C（4，0）。設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+3，代入C點坐標，得：4k+3=0，k=。直線AC：y=x+3。（2）分別作DFAO，DHCO，垂足分別為F，H，則有ADFDCHACO。AD：DC：AC=AF：DH：AO=FD：HC：OC，而AD=3t（其中0t），OC=AB=4，AC=5，F(xiàn)D=，AF=，DH=，HC=。

52、D（，）。（3）CE= t，E（t，0），OE=OC-CE=4- t，HE=|CH-CE|=，則OD2=DH2+OH2=，DE2=DH2+HE2=。當ODE為直角三角形時，有OD2+DE2=OE2，或OD2+OE2=DE2，或DE2+OE2=OD2，即，或，或，上述三個方程在0t內(nèi)的所有實數(shù)解為。（4）當DOOE，及DEOE時，即和時，以RtODE的三個頂點不確定對稱軸平行于y軸的拋物線，其它兩種情況都可以各確定一條對稱軸平行于y軸的拋物線。D（，），E（4-t，0）當時，D（，），E（3，0）。拋物線過O（0，0），設(shè)所求拋物線為，將點D，E坐標代入，得，解得。所求拋物線為。【考點】二次函數(shù)綜合題，動點