計量經(jīng)濟學課件

1、1計量經(jīng)濟學計量經(jīng)濟學 第第 1 章章導論導論南京大學金融學系南京大學金融學系 林輝林輝MobileE-mail：21.1 計量經(jīng)濟學的基本概念計量經(jīng)濟學的基本概念 例子：關于個人消費例子：關于個人消費C和收入和收入Y之間的關系。之間的關系。宏觀經(jīng)濟學告訴我們宏觀經(jīng)濟學告訴我們122,01CY但是，宏觀經(jīng)濟學并沒有告訴我們：但是，宏觀經(jīng)濟學并沒有告訴我們：（1）對一個具體的宏觀經(jīng)濟系統(tǒng)而言，上述關系式在多大）對一個具體的宏觀經(jīng)濟系統(tǒng)而言，上述關系式在多大程度上是可靠的？程度上是可靠的？若不可靠，那么以其為基礎的經(jīng)濟理論也就很難成立若不可靠，那么以其為基礎的經(jīng)濟理論也就

2、很難成立了了 （2） 這里的兩個參數(shù)值到底是多少？這里的兩個參數(shù)值到底是多少？宏觀經(jīng)濟政策如何制定需要兩個參數(shù)？宏觀經(jīng)濟政策如何制定需要兩個參數(shù)？宏觀經(jīng)濟政策已經(jīng)制定，需要檢驗其效果？宏觀經(jīng)濟政策已經(jīng)制定，需要檢驗其效果？ 31.1 計量經(jīng)濟學的基本概念計量經(jīng)濟學的基本概念 計量經(jīng)濟學是以計量經(jīng)濟學是以經(jīng)濟理論經(jīng)濟理論為基石，以為基石，以經(jīng)濟數(shù)據(jù)經(jīng)濟數(shù)據(jù)為為基礎，運用基礎，運用概率論與數(shù)理統(tǒng)計學概率論與數(shù)理統(tǒng)計學中產(chǎn)生的方法量中產(chǎn)生的方法量化經(jīng)濟變量間的相互關系，以證實或證偽經(jīng)濟理化經(jīng)濟變量間的相互關系，以證實或證偽經(jīng)濟理論，提出政策建議或進行政策評價的經(jīng)濟學分支論，提出政策建議或進行政策評價

3、的經(jīng)濟學分支學科。學科。 經(jīng)濟理論是規(guī)范的，需要實證數(shù)據(jù)來支持。如柯布經(jīng)濟理論是規(guī)范的，需要實證數(shù)據(jù)來支持。如柯布-道道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)。格拉斯生產(chǎn)函數(shù)。 確定參數(shù)值，發(fā)現(xiàn)經(jīng)濟規(guī)律確定參數(shù)值，發(fā)現(xiàn)經(jīng)濟規(guī)律 方法：概率論和數(shù)理統(tǒng)計方法：概率論和數(shù)理統(tǒng)計 計量經(jīng)濟學就是利用計量經(jīng)濟學就是利用經(jīng)濟數(shù)據(jù)檢驗經(jīng)濟規(guī)律經(jīng)濟數(shù)據(jù)檢驗經(jīng)濟規(guī)律！41.1 計量經(jīng)濟學的基本概念計量經(jīng)濟學的基本概念 例如，宏觀經(jīng)濟理論認為，在其它條件不變的例如，宏觀經(jīng)濟理論認為，在其它條件不變的情況下，收入的增加可以導致消費增加，即經(jīng)情況下，收入的增加可以導致消費增加，即經(jīng)濟理論設想收入與消費之間有一正向關系。濟理論設想收入與消費之

4、間有一正向關系。 但是，該理論并沒有對這兩者的關系提供數(shù)值但是，該理論并沒有對這兩者的關系提供數(shù)值度量：它沒有給出收入的一單位變化，消費將度量：它沒有給出收入的一單位變化，消費將會增加多少，即沒有給出會增加多少，即沒有給出邊際消費傾向邊際消費傾向的數(shù)值。的數(shù)值。 計量經(jīng)濟學要做的工作包括兩個內(nèi)容計量經(jīng)濟學要做的工作包括兩個內(nèi)容 邊際消費傾向是否存在？即參數(shù)是否為零（假設檢邊際消費傾向是否存在？即參數(shù)是否為零（假設檢驗）驗） 若存在其數(shù)值估計為多少？（點估計和區(qū)間估計）若存在其數(shù)值估計為多少？（點估計和區(qū)間估計）51.1 計量經(jīng)濟學的基本概念計量經(jīng)濟學的基本概念 與理論經(jīng)濟學的區(qū)別：經(jīng)濟理論所作

5、的陳述、與理論經(jīng)濟學的區(qū)別：經(jīng)濟理論所作的陳述、假說和分析都大多數(shù)是定性的，而計量經(jīng)濟學假說和分析都大多數(shù)是定性的，而計量經(jīng)濟學對大多數(shù)經(jīng)濟理論賦予定量的經(jīng)驗內(nèi)容。對大多數(shù)經(jīng)濟理論賦予定量的經(jīng)驗內(nèi)容。 與經(jīng)濟統(tǒng)計的區(qū)別：統(tǒng)計學則主要關心收集、加工與經(jīng)濟統(tǒng)計的區(qū)別：統(tǒng)計學則主要關心收集、加工和以適當?shù)男问奖憩F(xiàn)經(jīng)濟數(shù)據(jù)。和以適當?shù)男问奖憩F(xiàn)經(jīng)濟數(shù)據(jù)。 與數(shù)理統(tǒng)計的區(qū)別：數(shù)理統(tǒng)計提供工具，但數(shù)據(jù)的與數(shù)理統(tǒng)計的區(qū)別：數(shù)理統(tǒng)計提供工具，但數(shù)據(jù)的特征不同特征不同 數(shù)理統(tǒng)計學所使用的數(shù)據(jù)往往是自然科學中的實驗數(shù)據(jù)數(shù)理統(tǒng)計學所使用的數(shù)據(jù)往往是自然科學中的實驗數(shù)據(jù)（experimental data），它通常是在

6、實驗環(huán)境中獲得的。），它通常是在實驗環(huán)境中獲得的。 計量經(jīng)濟學所使用的數(shù)據(jù)大多數(shù)是從對個人、企業(yè)或經(jīng)濟計量經(jīng)濟學所使用的數(shù)據(jù)大多數(shù)是從對個人、企業(yè)或經(jīng)濟系統(tǒng)中的某些部分的控制實驗或觀測得到的非實驗數(shù)數(shù)據(jù)系統(tǒng)中的某些部分的控制實驗或觀測得到的非實驗數(shù)數(shù)據(jù)（non-experimental data）。這樣一來便產(chǎn)生了不是數(shù)理）。這樣一來便產(chǎn)生了不是數(shù)理統(tǒng)計學所正常遇到的一些特殊問題。統(tǒng)計學所正常遇到的一些特殊問題。 61.2 建立計量經(jīng)濟學模型的步驟建立計量經(jīng)濟學模型的步驟1.2.1 理論模型的設計理論模型的設計 1.2.2 樣本數(shù)據(jù)的收集樣本數(shù)據(jù)的收集 1.2.3 模型參數(shù)的估計模型參數(shù)的估計

7、 1.2.4 模型的檢驗模型的檢驗 71.2.1 理論模型的建立理論模型的建立 確定模型包含的變量確定模型包含的變量 根據(jù)經(jīng)濟學理論和經(jīng)濟行為分析。根據(jù)經(jīng)濟學理論和經(jīng)濟行為分析。 例如：同樣是生產(chǎn)方程，電力工業(yè)和紡織工業(yè)應例如：同樣是生產(chǎn)方程，電力工業(yè)和紡織工業(yè)應該選擇不同的變量，為什么？（提示：考慮供給與該選擇不同的變量，為什么？（提示：考慮供給與需求）需求） 在時間序列數(shù)據(jù)樣本下可以應用在時間序列數(shù)據(jù)樣本下可以應用Grange統(tǒng)計檢統(tǒng)計檢驗等方法。驗等方法。 例如，消費和例如，消費和GDP之間的因果關系。之間的因果關系。 考慮數(shù)據(jù)的可得性。考慮數(shù)據(jù)的可得性。 注意因素和變量之間的聯(lián)系與區(qū)別

8、。注意因素和變量之間的聯(lián)系與區(qū)別。 考慮入選變量之間的關系?？紤]入選變量之間的關系。 要求變量間互相獨立。要求變量間互相獨立。8 確定模型的數(shù)學形式確定模型的數(shù)學形式 利用經(jīng)濟學和數(shù)理經(jīng)濟學的成果利用經(jīng)濟學和數(shù)理經(jīng)濟學的成果 根據(jù)樣本數(shù)據(jù)作出的變量關系圖（散點圖）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)作出的變量關系圖（散點圖） 選擇可能的形式試模擬選擇可能的形式試模擬 擬定模型中待估計參數(shù)的理論期望值區(qū)間擬定模型中待估計參數(shù)的理論期望值區(qū)間 符號、大小、符號、大小、 關系關系 例如：例如：ln(人均食品需求量人均食品需求量)=+ln(人均收入人均收入) +ln(食品價格食品價格) +ln(其它商品價格其它商品價格)+

9、其中其中 、的符號、大小、的符號、大小、 關系關系91.2.2 樣本數(shù)據(jù)的收集樣本數(shù)據(jù)的收集 幾類常用的樣本數(shù)據(jù)幾類常用的樣本數(shù)據(jù) 時間序列數(shù)據(jù)是一批按照時間先后排列的統(tǒng)計數(shù)據(jù)。 截面數(shù)據(jù)是一批發(fā)生在同一時間截面上的調(diào)查數(shù)據(jù)。 這兩類數(shù)據(jù)都是反映經(jīng)濟規(guī)律的經(jīng)濟現(xiàn)象的數(shù)量信息。不同點：時間序列數(shù)據(jù)是含義、口徑相同的同一指標按時間先后排列的統(tǒng)計數(shù)據(jù)列；而橫截面數(shù)據(jù)是一批發(fā)生在同一時間截面上不同統(tǒng)計單元的相同統(tǒng)計指標組成的數(shù)據(jù)列。 面板數(shù)據(jù)：既有時間序列又有截面數(shù)據(jù)。1.2.2 樣本數(shù)據(jù)的收集樣本數(shù)據(jù)的收集 數(shù)據(jù)質(zhì)量數(shù)據(jù)質(zhì)量完整性：所有變量都必須得到相同容量的樣本觀完整性：所有變量都必須得到相同容量

10、的樣本觀測值測值準確性準確性可比性：產(chǎn)出量用不變價格計算，在不同年份是可比性：產(chǎn)出量用不變價格計算，在不同年份是可比的，資本用當前價格計算，則在不同年份不可比的，資本用當前價格計算，則在不同年份不具有可比性。具有可比性。一致性：總體與樣本的一致性，如用企業(yè)的數(shù)據(jù)一致性：總體與樣本的一致性，如用企業(yè)的數(shù)據(jù)作為行業(yè)生產(chǎn)函數(shù)的樣本數(shù)據(jù)，用某些省份的數(shù)作為行業(yè)生產(chǎn)函數(shù)的樣本數(shù)據(jù)，用某些省份的數(shù)據(jù)作為全國總量模型的數(shù)據(jù)據(jù)作為全國總量模型的數(shù)據(jù)10111.2.3 模型參數(shù)的估計模型參數(shù)的估計（1）如何選擇模型參數(shù)估計方法：最小二乘法，）如何選擇模型參數(shù)估計方法：最小二乘法，極大似然估計法。極大似然估計法。

11、 （2）統(tǒng)計軟件的使用：本課程選擇用）統(tǒng)計軟件的使用：本課程選擇用Eviews121.2.4 模型的檢驗模型的檢驗 經(jīng)濟意義檢驗：經(jīng)濟意義檢驗：參數(shù)估計量的符號、大參數(shù)估計量的符號、大小、關系是否符合慣常的邏輯、是否符小、關系是否符合慣常的邏輯、是否符合經(jīng)濟理論。合經(jīng)濟理論。1. ln(人均食品需求量人均食品需求量)=2.00.5ln(人均收人均收入入)4.5ln(食品價格食品價格) +0.8ln(其它商品價格其它商品價格)2. ln(人均食品需求量人均食品需求量)=2.0+0.5ln(人均收入人均收入)4.5ln(食品價格食品價格)+0.8ln(其它商品價格其它商品價格)3. ln(人均食品

12、需求量人均食品需求量)=2.0+0.5ln(人均收入人均收入)0.8ln(食品價格食品價格) +0.8ln(其它商品價格其它商品價格)13 統(tǒng)計檢驗統(tǒng)計檢驗 由數(shù)理統(tǒng)計理論決定：包括擬合優(yōu)度檢驗、由數(shù)理統(tǒng)計理論決定：包括擬合優(yōu)度檢驗、變量顯著性檢驗、方程的顯著性檢驗變量顯著性檢驗、方程的顯著性檢驗 計量經(jīng)濟學檢驗計量經(jīng)濟學檢驗 由計量經(jīng)濟學理論決定：如是否滿足古典由計量經(jīng)濟學理論決定：如是否滿足古典假設：包括隨機干擾項的異方差性檢驗和序假設：包括隨機干擾項的異方差性檢驗和序列相關性檢驗，解釋變量的共線性檢驗。列相關性檢驗，解釋變量的共線性檢驗。141.3 概率統(tǒng)計知識復習121,.,ninix

13、xxx1211(,.,) nniniiikxk xxxkx1()niiiabxnabx15 期望值：集中趨勢的度量期望值：集中趨勢的度量121,.,( )/nniixxxxE xxnn( )( )xE xxf x 一般形式一般形式( )( )E xxf x dx隨機變量的期望值是其各可能取值的加權平均，與各可隨機變量的期望值是其各可能取值的加權平均，與各可能取值對應的概率為權重。能取值對應的概率為權重。( ),cE cc為常數(shù)()( )E axbaE xba、b為常數(shù)為常數(shù)()()iiiiEa xE a xa為常數(shù)為常數(shù)16兩隨機變量積的期望值不等于兩變量期望之積兩隨機變量積的期望值不等于兩變

14、量期望之積方差（標準差）：離散程度的度量方差（標準差）：離散程度的度量2211var()()()niiiXE XXXXn2var()var( ),var()var( )var()var( )var( )2cov( , )var()?( )var( )0 xbx baxbaxxyxyx yaxbystd xx為常數(shù)()( ) ()iiiiE x yE x E y17 協(xié)方差：考察兩個變量之間的相互關系cov( , )()() ()cov( , )var( )x yE xxyyE xyx yx xx若隨機變量若隨機變量X，Y 相互獨立，則其協(xié)方差為零。相互獨立，則其協(xié)方差為零。cov( , )(

15、) ( )0 x yE x E yx y由此可見，協(xié)方差表示兩個變量之間是否具有相關，由此可見，協(xié)方差表示兩個變量之間是否具有相關，如果大于零為正相關，小于零為負相關。如果大于零為正相關，小于零為負相關。 協(xié)方差受到量綱的影響，因此引入相關系數(shù)，將相關關系標準化。,cov( , )11x yxyx y 191.4 總體、樣本和分布 總體：研究對象的全體 樣本：總體的某個部分 統(tǒng)計推斷：從樣本推斷總體 以上的公式適用于總體，對于樣本并不一定成立1/niiXXn222(),(1)ixxxXXsssn20 一般地，自由度的個數(shù)是指用于計算某個特征數(shù)(比如樣本期望或樣本方差)的獨立觀察值的個數(shù)。 隨機

16、變量隨機變量X的樣本方差定義為的樣本方差定義為我們稱其自由度為我們稱其自由度為(n1)，也就是說，如果我，也就是說，如果我們用與計算樣本方差相同的樣本來計算樣本均們用與計算樣本方差相同的樣本來計算樣本均值時，將失去一個自由度，也即只有值時，將失去一個自由度，也即只有n1個獨個獨立的觀察值。立的觀察值。22()(1)ixXXsn21 樣本相關系數(shù)xyxysrs s()()(1)iixyXX YYsn 樣本協(xié)方差22幾種分布正態(tài)分布正態(tài)分布2( ,)xN 中心極限定理：對于任何一個總體分布，只要樣中心極限定理：對于任何一個總體分布，只要樣本容量趨于無限大，樣本均值將趨于正態(tài)分布。本容量趨于無限大，

17、樣本均值將趨于正態(tài)分布。2( ,/ )xNn 211( )exp() )22xf x24(1.67)0.0475p z 查表可以得到26 t分布：若已知u，但不知道方差，雖然樣本容量比較大(0,1)/xzNn 需要用樣本的方差S代替總體方差(1)/nxtsnF分布分布28 如果兩總體方差真實值確實相等，則計算出的F值將接近于1，但如果兩總體方差真實值不相等，則F值不等于1； 兩總體同方差，則比值F服從分子自由度為( m1)，分母自由度為( n1) 2的F分布 兩總體方差相差越大， F值就越大。 例如：要分析股票市場的是否已經(jīng)發(fā)生逆轉，則需要用到F分布29本章需要掌握的知識點 計量經(jīng)濟學的定義

18、經(jīng)濟計量的基本步驟 期望值、方差、協(xié)方差、相關系數(shù) 中心極限定理計量經(jīng)濟學計量經(jīng)濟學 第第 2 章章回歸分析概述回歸分析概述本章內(nèi)容本章內(nèi)容2.1、變量間的關系及回歸分析的基本概念、變量間的關系及回歸分析的基本概念 2.2、總體回歸函數(shù)、總體回歸函數(shù)2.3、隨機擾動項、隨機擾動項2.4、樣本回歸函數(shù)（、樣本回歸函數(shù)（SRF） （1）確定性關系確定性關系或函數(shù)關系函數(shù)關系：研究的是確定現(xiàn)象非隨機變量間的關系。 （2）統(tǒng)計依賴）統(tǒng)計依賴或相關關系：相關關系：研究的是非確定現(xiàn)象隨機變量間的關系。 1 1、變量間的關系、變量間的關系 經(jīng)濟變量之間的關系，大體可分為兩類：2.1 變量間的關系及回歸分析的

19、基本概念對變量間統(tǒng)計依賴關系的考察主要是通過相關分析對變量間統(tǒng)計依賴關系的考察主要是通過相關分析(correlation analysis)或回歸分析或回歸分析(regression analysis)來完成的：來完成的：2,半徑半徑圓面積f施肥量陽光降雨量氣溫農(nóng)作物產(chǎn)量,f 正相關 線性相關 不相關 相關系數(shù)：統(tǒng)計依賴關系 負相關 11XY 有因果關系 回回歸歸分分析析 正相關 無因果關系 相相關關分分析析 非線性相關 不相關 負相關例如例如： 函數(shù)關系：函數(shù)關系：統(tǒng)計依賴關系統(tǒng)計依賴關系/統(tǒng)計相關關系：統(tǒng)計相關關系：1. 有相關關系并不意味著一定有因果關系；2. 相關分析對稱地對待任何（兩

20、個）變量，兩個變量都被看作是隨機的?；貧w分析對變量的處理方法存在不對稱性，即區(qū)分應變量（被解釋變量）和自變量（解釋變量）：前者是隨機變量，后者不是。注意：注意： 回歸分析回歸分析(regression analysis)是研究一個變量關于另一個（是研究一個變量關于另一個（些）變量的具體依賴關系的計算方法和理論些）變量的具體依賴關系的計算方法和理論。 其用意：在于通過后者的已知或設定值，去估計和（或）預其用意：在于通過后者的已知或設定值，去估計和（或）預測前者的（總體）均值測前者的（總體）均值。 這里：前一個變量被稱為被解釋變量被解釋變量（Explained Variable）或應變量應變量（D

21、ependent Variable），），后一個（些）變量被稱為解釋變量解釋變量（Explanatory Variable）或自變量自變量（Independent Variable）。2 2、回歸分析的基本概念、回歸分析的基本概念 回歸分析構成計量經(jīng)濟學的方法論基礎，其主要內(nèi)容包括：回歸分析構成計量經(jīng)濟學的方法論基礎，其主要內(nèi)容包括： （1）根據(jù)樣本觀察值對經(jīng)濟計量模型參數(shù)進行估計，求得回回歸方程；歸方程；（2）對回歸方程、參數(shù)估計值進行顯著性檢驗；（3）利用回歸方程進行分析、評價及預測。 由于變量間關系的隨機性，回歸分析回歸分析關心的是根關心的是根據(jù)解釋變量的已知或給定值，考察被解釋變量的總

22、體據(jù)解釋變量的已知或給定值，考察被解釋變量的總體均值均值，即當解釋變量取某個確定值時，與之統(tǒng)計相關的被解釋變量所有可能出現(xiàn)的對應值的平均值。 例例2.1：一個假想的社區(qū)有100戶家庭組成，要研究該社區(qū)每月家庭消費支出家庭消費支出Y與每月家庭可支配收入家庭可支配收入X的關系。 即如果知道了家庭的月收入，能否預測該社區(qū)家庭的平均月消費支出水平。2.2 總體回歸函數(shù)總體回歸函數(shù) 為達到此目的，將該100戶家庭劃分為組內(nèi)收入差不多的10組，以分析每一收入組的家庭消費支出。表表 2.1.1 某某社社區(qū)區(qū)家家庭庭每每月月收收入入與與消消費費支支出出統(tǒng)統(tǒng)計計表表 每月家庭可支配收入X（元） 800 1100

23、 1400 1700 2000 2300 2600 2900 3200 3500 561 638 869 1023 1254 1408 1650 1969 2090 2299 594 748 913 1100 1309 1452 1738 1991 2134 2321 627 814 924 1144 1364 1551 1749 2046 2178 2530 638 847 979 1155 1397 1595 1804 2068 2266 2629 935 1012 1210 1408 1650 1848 2101 2354 2860 968 1045 1243 1474 1672 188

24、1 2189 2486 2871 1078 1254 1496 1683 1925 2233 2552 1122 1298 1496 1716 1969 2244 2585 1155 1331 1562 1749 2013 2299 2640 1188 1364 1573 1771 2035 2310 1210 1408 1606 1804 2101 1430 1650 1870 2112 1485 1716 1947 2200 每 月 家 庭 消 費 支 出 Y （元） 2002 共計 2420 4950 11495 16445 19305 23870 25025 21450 21285 1

25、5510 （1）由于不確定因素的影響，對同一收入水平X，不同家庭的消費支出不完全相同； （2）但由于調(diào)查的完備性，給定收入水平X的消費支出Y的分布是確定的，即以X的給定值為條件的Y的條件分布條件分布（Conditional distribution）是已知的， 如： P(Y=561|X=800）=1/4。因此，給定收入X的值Xi，可得消費支出Y的條件條件均值均值（conditional mean）或條件期望條件期望（conditional expectation）： E(Y|X=Xi)該例中：E(Y | X=800)=605分析：分析： 描出散點圖發(fā)現(xiàn)：隨著收入的增加，消費“平均地說平均地說”

26、也在增加，且Y的條件均值均落在一根正斜率的直線上。這條直線稱為總體回歸線總體回歸線。05001000150020002500300035005001000150020002500300035004000每月可支配收入X（元）每月消費支出Y（元） 回歸函數(shù)（PRF）說明被解釋變量Y的平均狀態(tài)（總體條件期望）隨解釋變量X變化的規(guī)律。 含義：含義： 函數(shù)形式：函數(shù)形式： 可以是線性或非線性的。 例2.1中，將居民消費支出看成是其可支配收入的線性函數(shù)時: iiXXYE10)|(為一線性函數(shù)。線性函數(shù)。其中，0，1是未知參數(shù)，稱為回歸系數(shù)回歸系數(shù)（regression coefficients）。 。2

27、.3 隨機擾動項 總體回歸函數(shù)說明在給定的收入水平Xi下，該社區(qū)家庭平均的消費支出水平。 但對某一個別的家庭，其消費支出可能與該平均水平有偏差。)|(iiiXYEY 稱i為觀察值Yi圍繞它的期望值E(Y|Xi)的離差離差（deviation），是一個不可觀測的隨機變量，又稱為隨機干擾項隨機干擾項（stochastic disturbance）或隨機誤隨機誤差項差項（stochastic error）。 記例2.1中，個別家庭的消費支出為： （*）式稱為總體回歸函數(shù)總體回歸函數(shù)（方程）（方程）PRFPRF的隨機設的隨機設定形式。表明被解釋變量除了受解釋變量的系統(tǒng)性影定形式。表明被解釋變量除了受解

28、釋變量的系統(tǒng)性影響外，還受其他因素的隨機性影響響外，還受其他因素的隨機性影響。 （1）該收入水平下所有家庭的平均消費支出E(Y|Xi)，稱為系統(tǒng)性（系統(tǒng)性（systematic）或確定性確定性（deterministic) )部分部分。 （2）其他隨機隨機或非確定性非確定性（nonsystematic)部分部分 i。即，給定收入水平Xi ,個別家庭的支出可表示為兩部分之和:(*) 由于方程中引入了隨機項，成為計量經(jīng)濟學模型，因此也稱為總體回歸模型總體回歸模型。隨機誤差項主要包括下列因素的影響：隨機誤差項主要包括下列因素的影響：1）在解釋變量中被忽略的因素的影響；2）變量觀測值的觀測誤差的影響；

29、3）模型關系的設定誤差的影響；4）其它隨機因素的影響。產(chǎn)生并設計隨機誤差項的主要原因：產(chǎn)生并設計隨機誤差項的主要原因：1）理論的含糊性；2）數(shù)據(jù)的欠缺；3）節(jié)省原則。2.4 樣本回歸函數(shù)（SRF） 問題：問題：能從一次抽樣中獲得總體的近似的信息嗎？如果可以，如何從抽樣中獲得總體的近似信息？ 問：能否從該樣本估計總體回歸函數(shù)PRF？回答：能 例例2.2：在例2.1的總體中有如下一個樣本，表表 2.1.3 家家庭庭消消費費支支出出與與可可支支配配收收入入的的一一個個隨隨機機樣樣本本 Y 800 1100 1400 1700 2000 2300 2600 2900 3200 3500 X 594 6

30、38 1122 1155 1408 1595 1969 2078 2585 2530 總體的信息往往無法掌握，現(xiàn)實的情況只能是在一次觀測中得到總體的一個樣本。該樣本的散點圖散點圖（scatter diagram)： 樣本散點圖近似于一條直線，畫一條直線以盡好地擬合該散點圖，由于樣本取自總體，可以該線近似地代表總體回歸線。該線稱為樣本回歸線樣本回歸線（sample regression lines）。）。 記樣本回歸線的函數(shù)形式為：iiiXXfY10)(稱為樣本回歸函數(shù)樣本回歸函數(shù)（sample regression function，SRF）。 這里將樣本回歸線樣本回歸線看成總體回歸線總體回歸

31、線的近似替代則 注意：注意： 樣本回歸函數(shù)的隨機形式樣本回歸函數(shù)的隨機形式/樣本回歸模型樣本回歸模型：同樣地，樣本回歸函數(shù)也有如下的隨機形式： iiiiieXYY10式中，ie稱為（樣樣本本）殘殘差差（或剩剩余余）項項（residual） ，代表了其他影響iY的隨機因素的集合，可看成是i的估計量i。 由于方程中引入了隨機項，成為計量經(jīng)濟模型，因此也稱為樣本回歸模型樣本回歸模型（sample regression model）。 回歸分析的主要目的回歸分析的主要目的：根據(jù)樣本回歸函數(shù)SRF，估計總體回歸函數(shù)PRF。注意：注意：這里PRF可能永遠無法知道。即，根據(jù) iiiiieXeYY10估計ii

32、iiiXXYEY10)|(49計量經(jīng)濟學 第 3 章一元線性回歸模型的參數(shù)估計50單方程計量經(jīng)濟學模型分為兩大類： 線性模型和非線性模型線性模型中，變量之間的關系呈線性關系非線性模型中，變量之間的關系呈非線性關系 一元線性回歸模型一元線性回歸模型：只有一個解釋變量 iiiXY10i=1,2,nY為被解釋變量，X為解釋變量，0與1為待估待估參數(shù)參數(shù)， 為隨機干擾項隨機干擾項51 回歸分析的主要目的回歸分析的主要目的是要通過樣本回歸函數(shù)（模型）SRF盡可能準確地估計總體回歸函數(shù)（模型）PRF。 估計方法估計方法有多種，其種最廣泛使用的是普通普通最小二乘法最小二乘法（ordinary least s

33、quares, OLS）。 為保證參數(shù)估計量具有良好的性質(zhì)，通常對為保證參數(shù)估計量具有良好的性質(zhì)，通常對模型提出若干基本假設。模型提出若干基本假設。 注：實際這些假設與所采用的估計方法緊密相關。 523.1 線性回歸模型的基本假設線性回歸模型的基本假設 假設1、解釋變量X是確定性變量，不是隨機變量； 假設2、隨機誤差項具有零均值、同方差和序列不相關性： E(i)=0 i=1,2, ,n Var (i)=2 i=1,2, ,n Cov(i, j)=0 ij i,j= 1,2, ,n 假設3、隨機誤差項與解釋變量X之間不相關： Cov(Xi, i)=0 i=1,2, ,n 假設4、服從零均值、同方

34、差、零協(xié)方差的正態(tài)分布 iN(0, 2 ) i=1,2, ,n53 1、如果假設1、2滿足，則假設3也滿足; 2、如果假設4滿足，則假設2也滿足。注意：注意： 以上假設也稱為線性回歸模型的以上假設也稱為線性回歸模型的古典假設古典假設，滿足，滿足該假設的線性回歸模型，也稱為該假設的線性回歸模型，也稱為古典線性回歸模型古典線性回歸模型（Classical Linear Regression Model, CLRM）。）。 注意：注意：為為總體回歸方程中總體回歸方程中隨機誤差項，隨機誤差項， e ei為在樣本回歸方為在樣本回歸方程中的殘差項，二者的記號不同。程中的殘差項，二者的記號不同。從概念上講，

35、它與從概念上講，它與 i i類似，可看做類似，可看做 i i的估計量。樣本回的估計量。樣本回歸函數(shù)中生成歸函數(shù)中生成e ei i的原因與總體回歸函數(shù)中生成的原因與總體回歸函數(shù)中生成uiui的原因的原因相同。相同。 542.1 2.1 參數(shù)的普通最小二乘估計（參數(shù)的普通最小二乘估計（OLSOLS） 給定一組樣本觀測值（Xi, Yi）（i=1,2,n）要求樣本回歸函數(shù)盡可能好地擬合這組值. 普通最小二乘法普通最小二乘法（Ordinary least squares, OLS）給出的判斷標準是：選擇合適的參數(shù)使得觀察值選擇合適的參數(shù)使得觀察值的殘差平方和最小。的殘差平方和最小。 2012201min

36、(,)() ()iiiiiQYYuYX550100112()02()0iiiiiQYXQYXX 01201iiiiiinXYXXX Y12201()1()iiiiiiiinX YXYnXXYXn56記22221)(iiiiXnXXXxiiiiiiiiYXnYXYYXXyx1)(上述參數(shù)估計量可以寫成： XYxyxiii1021稱為OLS估計量的離差形式離差形式（deviation form）。）。 由于參數(shù)的估計結果是通過最小二乘法得到的，故稱為普通普通最小二乘估計量最小二乘估計量（ordinary least squares estimators）。 在計量經(jīng)濟學中，往往以小寫字母表示對均值

37、的離差。 57 例例3.1：在上述家庭可支配收入可支配收入- -消費支出消費支出例中，對于所抽出的一組樣本數(shù)，參數(shù)估計的計算可通過下面的表進行。 表表 2.2.1 參參數(shù)數(shù)估估計計的的計計算算表表 iX iY ix iy iiyx 2ix 2iy 2iX 2iY 1 800 594 -1350 -973 1314090 1822500 947508 640000 352836 2 1100 638 -1050 -929 975870 1102500 863784 1210000 407044 3 1400 1122 -750 -445 334050 562500 198381 1960000

38、1258884 4 1700 1155 -450 -412 185580 202500 170074 2890000 1334025 5 2000 1408 -150 -159 23910 22500 25408 4000000 1982464 6 2300 1595 150 28 4140 22500 762 5290000 2544025 7 2600 1969 450 402 180720 202500 161283 6760000 3876961 8 2900 2078 750 511 382950 562500 260712 8410000 4318084 9 3200 2585 1

39、050 1018 1068480 1102500 1035510 10240000 6682225 10 3500 2530 1350 963 1299510 1822500 926599 12250000 6400900 求和 21500 15674 5769300 7425000 4590020 53650000 29157448 平均 2150 1567 58777. 07425000576930021iiixyx172.1032150777. 0156700XY因此，由該樣本估計的回歸方程為： iiXY777. 0172.10359 3.2 最小二乘估計量的性質(zhì)最小二乘估計量的性質(zhì)*

40、當模型參數(shù)估計出后，需考慮參數(shù)估計值的精度，即是否能代表總體參數(shù)的真值，或者說需考察參數(shù)估計量的統(tǒng)計性質(zhì)。 一個用于考察總體的估計量，可從如下幾個方面考察其優(yōu)劣性： （1）線性性）線性性，即它是否是另一隨機變量的線性函數(shù)； （2）無偏性）無偏性，即它的均值或期望值是否等于總體的真實值； （3）有效性）有效性，即它是否在所有線性無偏估計量中具有最小方差。 擁有這類性質(zhì)的估計量稱為最佳線性無偏估計量最佳線性無偏估計量（best liner unbiased estimator, BLUE）。 60古典假設都是針對普通最小二乘法的。在違背這些基本假設的情況下，普通最小二乘法就不再是最佳線性無偏估計量

41、，因此使用普通最小二乘法進行估計已無多大意義。但模型本身還是可以估計的，尤其是可以通過最大似然法等其他原理進行估計。61高斯高斯馬爾可夫定理馬爾可夫定理(Gauss-Markov theorem) 在給定經(jīng)典線性回歸的假定下，最小二乘估計量是具有最小方差的線性無偏估計量。622 2、無無偏偏性性，即估計量0、1的均值（期望）等于總體回歸參數(shù)真值0與1 證：證：iiiiiiiiiikXkkXkYk10101)(易知02iiixxk1iiXk故iik111111)()()(iiiiEkkEE同樣地，容易得出 0000)()()()(iiiiEwEwEE633 3、有有效效性性（最最小小方方差差性性

42、） ，即在所有線性無偏估計量中，最小二乘估計量0、1具有最小方差。 (1)先求0與1的方差 )var()var()var()var(21021iiiiiiikXkYk22222iiixxx221020)/1 ()var()var()var(iiiiiikXnXwYw2222222221121iiiiixxXkXnnkXkXnn22222222221iiiiixnXxnXnxxXn64（2）證明最小方差性假設*1是其他估計方法得到的關于1的線性無偏估計量： iiYc*1其中，ci=ki+di，di為不全為零的常數(shù)則容易證明)var()var(1*1同理，可證明0的最小二乘估計量0具有最的小方差

43、普通最小二乘估計量普通最小二乘估計量（ordinary least Squares Estimators）稱為最佳線性無偏估計量最佳線性無偏估計量（best linear unbiased estimator, BLUE） 653.3 參數(shù)估計量的概率分布及隨機干擾項方參數(shù)估計量的概率分布及隨機干擾項方差的估計差的估計 1、參數(shù)估計量、參數(shù)估計量0和和1的概率分布的概率分布 ),(2211ixN),(22200iixnXN6622/1ix2220iixnX 672、隨機誤差項、隨機誤差項 的方差的方差 2的估計的估計 由于隨機項 i不可觀測，只能從 i的估計殘差ei i出發(fā)，對總體方差進行估計

44、。 2又稱為總體方差總體方差。 可以證明可以證明，2的最小二乘估計量最小二乘估計量為222nei它是關于2的無偏估計量。 68在隨機誤差項的方差2估計出后，參數(shù)0和1的方方差差和標標準準差差的估計量分別是： 1的樣本方差： 2221ixS 1的樣本標準差： 21ixS 0的樣本方差： 22220iixnXS 0的樣本標準差： 220iixnXS 69本章的重點概念 普通最小二乘法的基本思想 選擇合適的參數(shù)使得觀察值的殘差平方和最小。 線性回歸模型并非意味著因變量是自變量的線性函數(shù) 線性回歸模型本質(zhì)上指的是參數(shù)線性，而不是變量線性。同時，模型與函數(shù)不是同一回事。模型只是假設，而函數(shù)之間的真實關系

45、不可知。 古典線性回歸模型的基本假定 回歸模型隨機誤差項i滿足哪些條件時，稱為古典線性回歸模型？ 隨機擾動項產(chǎn)生的原因 計量經(jīng)濟學計量經(jīng)濟學 第第 4 章章一元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗一元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗 回歸分析是要通過樣本所估計的參數(shù)來代替總體的真實參數(shù)，或者說是用樣本回歸線代替總體回歸線。 樣本是一次抽樣取得的，很難能夠收集到總體。 盡管從統(tǒng)計性質(zhì)上已知，如果有足夠多的重復抽樣，參數(shù)的估計值的期望（均值）就等于其總體的參數(shù)真值，但在一次抽樣中，估計值不一定就等于該真值。 那么，在一次抽樣中參數(shù)的估計值與真值的差異有多大，是否顯著，這就需要進一步進行統(tǒng)計檢驗。 統(tǒng)計檢驗的方法主要有 擬

46、合優(yōu)度檢驗 置信區(qū)間檢驗 t檢驗 F檢驗（下一章）4.1 擬合優(yōu)度檢驗 對樣本回歸直線與樣本觀測值之間擬合程度的檢驗。：判定系數(shù)（可決系數(shù)）R2問題：采用普通最小二乘估計方法，已經(jīng)保證了問題：采用普通最小二乘估計方法，已經(jīng)保證了模型最好地擬合了樣本觀測值，為什么還要檢驗模型最好地擬合了樣本觀測值，為什么還要檢驗擬合程度？擬合程度？普通最小二乘法所保證的最好擬合，是同一個問題內(nèi)部的普通最小二乘法所保證的最好擬合，是同一個問題內(nèi)部的比較，擬合優(yōu)度檢驗結果所表示的優(yōu)劣是不同問題之間的比較，擬合優(yōu)度檢驗結果所表示的優(yōu)劣是不同問題之間的比較。兩個同樣滿足最小二乘原則的模型，對樣本觀測值比較。兩個同樣滿足

47、最小二乘原則的模型，對樣本觀測值的擬合程度不一定相同。的擬合程度不一定相同。 4.1.1 4.1.1 總離差平方和的分解總離差平方和的分解 已知由一組樣本觀測值（Xi,Yi），i=1,2,n得到如下樣本回歸直線 iiXY10iiiiiiiyeYYYYYYy)()( 如果Yi=i 即實際觀測值落在樣本回歸“線”上，則擬合最好擬合最好。這時，“離差”全部來自回歸線，而與“殘差”無關。對于所有樣本點，則需考慮這些點與樣本均值離差對于所有樣本點，則需考慮這些點與樣本均值離差的平方和，的平方和，可以證明可以證明：記22)(YYyTSSii總體平方和（Total Sum of Squares）22)(YY

48、yESSii回歸平方和回歸平方和（Explained Sum of Squares）22)(iiiYYeRSS殘差平方和殘差平方和（Residual Sum of Squares ）要證明只要證明0i iy e 110i ii ii iy exexe01YX01iiYX1111()iiiiiiYYXXYYXXyx由于所以()0,0i ii iE xexeTSS=ESS+RSSY的觀測值圍繞其均值的總離差總離差(total variation)可分解為兩部分：一部分來自回歸線一部分來自回歸線(ESS)，另一部分則另一部分則來自殘差平方和來自殘差平方和(RSS)。在給定樣本中，TSS不變，如果實際

49、觀測點離樣本回歸線越近，則ESS在TSS中占的比重越大，因此 擬合優(yōu)度擬合優(yōu)度：回歸平方和（：回歸平方和（ESSESS）/Y/Y的總離差（的總離差（TSSTSS）TSSRSSTSSESSR1記24.1.2 可決系數(shù)可決系數(shù)R2 2統(tǒng)計量統(tǒng)計量 稱 R2 為（樣本）可決系數(shù)（樣本）可決系數(shù)/判定系數(shù)判定系數(shù)（coefficient of determination)。 可決系數(shù)可決系數(shù)的取值范圍取值范圍：0，1 R2 2越接近越接近1 1，說明實際觀測點離樣本線越近，擬，說明實際觀測點離樣本線越近，擬合優(yōu)度越高合優(yōu)度越高。關于R2的說明12222221iiiiiiiiiiyyexeyyexeTS

50、SESSRSS在實際計算可決系數(shù)時，在1已經(jīng)估計出后： 22212iiyxR 在收入收入-消費支出消費支出例中， 9766. 045900207425000)777. 0(222212iiyxR注：可決系數(shù)注：可決系數(shù)是一個非負的統(tǒng)計量。它也是隨著是一個非負的統(tǒng)計量。它也是隨著抽樣的不同而不同，通過可決系數(shù)可以決定哪次抽樣的不同而不同，通過可決系數(shù)可以決定哪次抽樣在同樣采用最小二乘估計的條件下，更能說抽樣在同樣采用最小二乘估計的條件下，更能說明問題。明問題。證明：可決系數(shù)是證明：可決系數(shù)是Y與與X相關系數(shù)的平方！相關系數(shù)的平方！4.2 變量的顯著性檢驗 回歸分析回歸分析是要判斷解釋變量解釋變量

51、X是否是被解釋變量被解釋變量Y的一個顯著性的影響因素。 回歸的參數(shù)是否是可靠的回歸的參數(shù)是否是可靠的 如果有多個變量，那個自變量應該進入，而哪個變量如果有多個變量，那個自變量應該進入，而哪個變量應該剝離應該剝離變量的顯著性檢驗所應用的方法是數(shù)理統(tǒng)計學變量的顯著性檢驗所應用的方法是數(shù)理統(tǒng)計學中的假設檢驗。中的假設檢驗。計量經(jīng)計學中，主要是針對變量的參數(shù)真值是計量經(jīng)計學中，主要是針對變量的參數(shù)真值是否為零來進行顯著性檢驗的。否為零來進行顯著性檢驗的。 4.2.1 假設檢驗 假設檢驗，就是事先對總體參數(shù)或總體分布形式作出一個假設，然后利用樣本信息來判斷原假設是否合理，即判斷樣本信息與原假設是否有顯著

52、差異，從而決定是否接受或否定原假設。假設檢驗采用的邏輯推理方法是反證法！先假定原假設正確，然后根據(jù)樣本信息，觀察由此假設而導致的結果是否合理，從而判斷是否接受原假設。判斷結果合理與否，是基于“小概率事件不易發(fā)生”的原理一次抽樣中，盡然不能支持原假設，也就是舉反例否決。4.2.2 變量的顯著性檢驗變量的顯著性檢驗 ),(2211ixN)2(1112211ntSxti 檢驗步驟：檢驗步驟： （1）對總體參數(shù)提出假設 H0： 1=0， H1：10（2）以原假設H0構造t統(tǒng)計量，并由樣本計算其值11St （3）給定顯著性水平，查t分布表，得臨界值t /2(n-2)(4) 比較，判斷 若 |t| t /

53、2(n-2)，則拒絕H0 ，接受H1 ； 若 |t| t /2(n-2)，則拒絕H1 ，接受H0 ；確定確定拒絕域拒絕域 -2.086+2.0862.5% rejection region2.5% rejection regionf(x) 對于一元線性回歸方程中的0，可構造如下t統(tǒng)計量進行顯著性檢驗： )2(0022200ntSxnXtii在上述收入-消費支出例中，首先計算2的估計值 134022107425000777. 04590020222221222nxyneiii0425. 00018. 07425000/13402221ixS41.98742500010/5365000013402

54、2220iixnXSt統(tǒng)計量的計算結果分別為： 29.180425. 0777. 0111St048. 141.9817.103000St 給定顯著性水平=0.05，查t分布表得臨界值 t 0.05/2(8)=2.306|t1|2.306，說明家庭可支配收入在家庭可支配收入在95%的置信度的置信度下顯著，即是消費支出的主要解釋變量；下顯著，即是消費支出的主要解釋變量；|t0|2.306,表明在表明在95%的置信度下，無法拒絕截距的置信度下，無法拒絕截距項為零的假設。項為零的假設。 假設檢驗假設檢驗可以通過一次抽樣的結果檢驗總體參數(shù)假設值的范圍（如是否為零），但它并沒有指出在一次抽樣中樣本參數(shù)值

55、到底離總體參數(shù)的真值有多“近”。要判斷樣本參數(shù)的估計值在多大程度上可以“近似”地替代總體參數(shù)的真值，往往需要通過構造一個以樣本參數(shù)的估計值為中心的“區(qū)間”，來來考察它以多大的可能性（概率）包含著真實的參考察它以多大的可能性（概率）包含著真實的參數(shù)值。數(shù)值。這種方法就是參數(shù)檢驗的置信區(qū)間估計置信區(qū)間估計。 4.3 參數(shù)的置信區(qū)間檢驗法參數(shù)的置信區(qū)間檢驗法1)(P 如 果 存 在 這 樣 一 個 區(qū) 間 ， 稱 之 為 置 信 區(qū) 間置 信 區(qū) 間（confidence interval）； 1-稱為置信系數(shù)置信系數(shù)（置信度置信度）（confidence coefficient）， 稱為顯著性水平

56、顯著性水平（level of significance）；置信區(qū)間的端點稱為置信限置信限（confidence limit）或臨界值臨界值（critical values）。一元線性模型中一元線性模型中， i (i=1，2）的置信區(qū)間的置信區(qū)間: :在變量的顯著性檢驗中已經(jīng)知道： )2(ntstiii意味著，如果給定置信度（1-），從分布表中查得自由度為(n-2)的臨界值，那么t值處在(-t/2, t/2)的概率是(1- )。表示為： Pttt()221即Ptstiii()221Ptstsiiiii()221于是得到:(1-)的置信度下, i的置信區(qū)間是 (,)iitstsii22 在上述收入

57、收入- -消費支出消費支出例中，如果給定 =0.01，查表得： 355. 3)8()2(005. 02tnt由于042. 01S41.980S于是，1、0的置信區(qū)間分別為：（0.6345,0.9195) ， （-433.32,226.98）。這樣，我們就可以拒絕H0：1=0，而接受H1：10，也就是說我們可以以99%的概率接受10。4.3 參數(shù)的置信區(qū)間檢驗法 如果我們能夠以5%以及以上的顯著性水平拒絕某個檢驗的零假設，則稱這個檢驗在統(tǒng)計上是顯著的。 意思是：回歸參數(shù)明顯不是“零假設” T檢驗和置信區(qū)間檢驗的結論是一致的。4.3 參數(shù)的置信區(qū)間檢驗法 這2種方法可以得到相同的結論。 在顯著性檢

58、驗中，我們在下面的情況下不拒絕零假設 H0 ： = * ，即統(tǒng)計量落在非拒絕域內(nèi)， 整理，得 這樣就回到了置信區(qū)間方法。 tSEtcritcrit*()(*)(SEtSEtcritcrit)(*)(SEtSEtcritcrit由于置信區(qū)間一定程度地給出了樣本參數(shù)估計值與總體參數(shù)真值的“接近”程度，因此，在給定置信水平下，置信區(qū)間越小越好。要縮小置信區(qū)間，則需要： （1 1）增大樣本容量）增大樣本容量n n，因為在同樣的置信水平下，n越大，t分布表中的臨界值越??；同時，增大樣本容量，還可使樣本參數(shù)估計量的標準差減小； （2 2）提高模型的擬合優(yōu)度）提高模型的擬合優(yōu)度，因為樣本參數(shù)估計量的標準差與

59、殘差平方和呈正比，模型擬合優(yōu)度越高，殘差平方和應越小。課后練習 下面數(shù)據(jù)是依據(jù)10組X和Y的觀察值得到的： 1110iY 1680iX 204200iiX Y 2315400iX2133300iY ，假定滿足所有的古典線性回歸模型的假設，且總體回歸方程的形式為01iiiYX根據(jù)上述給出的條件，進行假設檢驗和參數(shù)估計，并求得R2上機練習：汽車零售額 從課件系統(tǒng)下載“汽車零售額”數(shù)據(jù) 對數(shù)據(jù)進行描述性統(tǒng)計 建立GWY（收入總水平）來解釋（GCDAN）汽車零售額的回歸方程 對回歸結果進行檢驗 顯著性檢驗 置信區(qū)間檢驗 擬合優(yōu)度檢驗：原假設參數(shù)為0 若將截距項的原假設設置為10，斜率系數(shù)設置為0.05

60、，請在99%置信水平下對其進行參數(shù)檢驗。 進行無截距項的回歸并進行參數(shù)檢驗，將該回歸結果與帶截距項的回歸結果進行比較，請說明你最終愿意用哪個方程進行回歸。97計量經(jīng)濟學 第 5 章多元線性回歸模型 98 多元線性回歸模型多元線性回歸模型:表現(xiàn)在線性回歸模型中的解釋變量有多個。 一般表現(xiàn)形式一般表現(xiàn)形式：ikikiiiXXXY 22110i=1,2,n其中:k為解釋變量的數(shù)目，j稱為回歸參數(shù)回歸參數(shù)（regression coefficient）。 習慣上習慣上：把常數(shù)項常數(shù)項看成為一虛變量虛變量的系數(shù)，該虛變量的樣本觀測值始終取1。這樣： 模型中解釋變量的數(shù)目為（模型中解釋變量的數(shù)目為（k+1