概率論第一張習(xí)題及答案

1、1設(shè)A，B是任意兩個(gè)隨機(jī)事件，則P(+B)(A+B)(+)(A+)=.2設(shè)P(A)=0.4，P(A+B)=0.7，若事件A與B互斥，則P(B)=;若事件A與B獨(dú)立，則P(B)=.3已知隨機(jī)事件A的概率P(A)=0.5，隨機(jī)事件B的概率P(B)=0.6及條件概率P(B|A)=0.8，則P(AB)=.4設(shè)隨機(jī)事件A，B及其和事件AB的概率分別是0.4，0.3和0.6，若表示B的對(duì)立事件，那么積事件A的概率P(A)=.5設(shè)A，B為隨機(jī)事件，P(A)=0.7，P(A-B)=0.3，則P()=.6已知A，B兩個(gè)事件滿足條件P(AB)=P()，且P(A)=p,則P(B)=.7設(shè)三次獨(dú)立試驗(yàn)中，事件A出現(xiàn)的

2、概率相等，若已知A至少出現(xiàn)一次的概率等于19/27，則事件A在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為.8設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的事件A，B和C滿足條件：ABC=，P(A)=P(B)=P(C)<1/2,且已知P(ABC)=9/16，則P(A)=.9設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的事件A和B都不發(fā)生的概率為1/9，A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)生A不發(fā)生的概率相等，則P(A)=.10設(shè)隨機(jī)事件A與B 互不相容，已知P(A)=P(B)=a (0<A<1),P(A|)=P(|)則a=,P(A+B)=.11設(shè)A，B是兩個(gè)隨機(jī)事件，已知P(A|B)=0.3，P(B|A)=0.4，P(|)=0.7，則P(A+B)=.12一射手對(duì)同一

3、目標(biāo)獨(dú)立地進(jìn)行四次射擊，若至少命中一次的概率為80/81，則該射手的命中率為.13已知P(A)=P(B)=P(C)=1/4，P(AB)=0，P(AC)=P(BC)=1/8，則事件A，B，C全不發(fā)生的概率為.14設(shè)A,B是兩個(gè)隨機(jī)事件，0P(B)1，且AB=，則P(A|)+P(|B)=.15設(shè)A,B是兩個(gè)隨機(jī)事件，P(A)+(B)=0.9,P(AB)=0.2,則P(B)+P(A)=.16設(shè)A,B是兩個(gè)隨機(jī)事件，P(A)=0.4,P(AB)=0.2, P(A|B)+P(|)=1,則P(A+B)=.17一批產(chǎn)品共有10個(gè)正品和2個(gè)次品，任意抽取兩次，每次抽一個(gè)，抽出后不在放回，則第二次抽出的是次品的

4、概率是.18袋中有50個(gè)乒乓球，其中20個(gè)是黃球，30個(gè)是白球，今有兩人依次隨機(jī)的從袋中取一球取后不放回，則第二人取得黃球的概率是.19若在區(qū)間(0，1)內(nèi)任取兩個(gè)數(shù)，則事件“兩數(shù)之和小于6/5”的概率為.20將C，C，E，E，I，N，S等7個(gè)字母隨機(jī)地排成一行，那么，恰好排成英文單詞SCIENCE的概率為.21設(shè)工廠A和工廠B的產(chǎn)品的次品率為1%和2%，現(xiàn)叢由A和B的產(chǎn)品分別占60%和40%的一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件，發(fā)現(xiàn)是次品，則該次品屬A產(chǎn)品的概率是.22設(shè)10件產(chǎn)品中有4件不合格品，從中任取兩件，已知所取兩件產(chǎn)品中有一件是不合格品，則另一件也是不合格品的概率為.23甲，乙兩人獨(dú)立地對(duì)同一

5、目標(biāo)射擊依次，其命中率分別為0.6和0.5，現(xiàn)已知目標(biāo)被命中，則它是甲射中的概率是.24假設(shè)一批產(chǎn)品中一，二，三等品各占60%，30%。10%，從中不放回地隨意取出一件，結(jié)果不是三等品，則取到的是一等品的概率為.25袋內(nèi)有5張卡片，每張卡片上分別寫有數(shù)字1，2，3，4，5，從中不放回地隨機(jī)抽取3張卡片，則取到的兩張卡片中最大的數(shù)與最小的數(shù)之差等于3的概率是.26在n階行列式的展開式中任意取出一項(xiàng)，此項(xiàng)不含第一行，第一列元素a11的概率為8/9，則此行列式的階數(shù)n=.27從數(shù)集1，2，3，4，5中任意取出一數(shù)（取后放回），用表示第i次取出的數(shù)(i=1,2,3),記b=，如果三階矩陣，則線性方程組

6、AX=b有解的概率為.28擲3顆均勻骰子，已知所得的3個(gè)電數(shù)成等差數(shù)列，則其中還有2點(diǎn)的概率為.29已知隨機(jī)事件A與B 相互獨(dú)立，P(A)=a，P(B)=b，如果事件C發(fā)生必然導(dǎo)致事件A與B同時(shí)發(fā)生，則事件A，B，C都不發(fā)生的概率為.30有k個(gè)袋子，每個(gè)袋內(nèi)均裝有n張卡片，分別編有號(hào)碼1，2，.，n.現(xiàn)在從每個(gè)袋內(nèi)各取一張卡片，則取到卡片上的最大編號(hào)不超過(guò)m+2且不小于m的概率p是.31甲，乙兩名射手對(duì)同一目標(biāo)進(jìn)行射擊，甲射手的命中率為p1,乙射手的命中率為p2(0< p1,p2 <1),規(guī)定甲先開始，每人一次輪流進(jìn)行，直至目標(biāo)被擊中為止，要使甲先命中的概率比乙大，則p1與p2應(yīng)滿

7、足的關(guān)系式是.32有兩個(gè)箱子，第1個(gè)箱子有3個(gè)白球，2個(gè)紅球，第2個(gè)箱子有4個(gè)白球，4個(gè)紅球，現(xiàn)從第1個(gè)箱子中隨機(jī)地取1個(gè)球放到第2個(gè)箱子里，再?gòu)?第2個(gè)箱子中取出1個(gè)球，此球是白球的概率為.已知上述從第2個(gè)箱子中取出的球是白球，則從第一個(gè)箱子中取出的球是白球的概率為.33通信渠道傳遞15個(gè)信號(hào)，假設(shè)每個(gè)信號(hào)在傳遞過(guò)程中失真的概率為p，若A，B，C,分別表示事件A：無(wú)一消耗失真；B：恰有一信號(hào)失真；C：兩個(gè)以上信號(hào)失真，則P(A)=;P(B)=;P(C)=.34設(shè)在一次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率為p，現(xiàn)進(jìn)行n次獨(dú)立試驗(yàn)，則A至少發(fā)生一次的概率為;而事件A至多發(fā)生一次的概率為.35三個(gè)箱子，第一個(gè)

8、箱子中有4個(gè)黑球、1個(gè)白球，第二個(gè)箱子中有3個(gè)黑球、3個(gè)白球，第三個(gè)箱子有3個(gè)黑球、5個(gè)白球?，F(xiàn)隨機(jī)地取一個(gè)箱子，再?gòu)倪@個(gè)箱子中取出1個(gè)球，這個(gè)球?yàn)榘浊虻母怕蕿?已知取出的球是白球，此球?qū)儆诘诙€(gè)箱子的概率為.36隨機(jī)地向半圓0<Y<(a為正常數(shù))內(nèi)擲一點(diǎn)，點(diǎn)落在半圓內(nèi)任何區(qū)域的概率與區(qū)域面積成正比，則原點(diǎn)和該點(diǎn)的連線與x軸的夾角小于的概率為.第一章 隨機(jī)事件和概率選擇、填空題答案（一） 填空題1. 答案是0.分析：（），（）.于是 .2. 答案是0.3，0.5分析：若A與B互斥，則P（A+B）=P（A）+P（B），于是 P（B）=P（A+B）-P（A）=0.7-0.4=0.3若A

9、與B獨(dú)立，則P（AB）=P（A）P（B），于是由P（A+B）= P（A）+P（B）- P（AB）= P（A）+P（B）- P（A）P（B），得P（B）=.3. 答案是：0.7.分析：由題設(shè).于是.4. 答案是：0.3.分析：因?yàn)橛?因此。5答案是：0.6分析 由題設(shè)P(A)=0.7,P(A)=0.3,利用公式A+AB=A，知 P（AB）=P（A）-P（A）=0.7-0.3=0.4故 P（）=1-P（AB）=1-0.4=0.66.答案是： 1-p分析 由于P（）=P（）=1-P（A U B）=1-P（A）+P（B）-P（AB）=1-p-P（B）+P（AB）由題設(shè)P（）=P（AB），故P（B）=1

10、-p7.答案是： 1/3分析 設(shè)事件A在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為p（0P1),則有1-（1-p）3=19/27，從而解的 p=1/3。8答案是：1/4分析 因?yàn)镻（A U B U C）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AC）-P（AB）-P（BC）+P（ABC）由題設(shè)P（A）=P（B）=P（C），P（AC）=P（A）P（C）=P2（A），P（AB）=P（A）P（B）=P2（A），P（BC）=P（B）P（C）=P2（A），P（ABC）=0因此有 9/16=3P（A）-3P2（A）解得P（A）=3/4或批（A）=1/4，又題設(shè)P（A）1/2，故，P（A）=1/4。9答案是：2/3分析 由題設(shè)，可知

11、與也相互獨(dú)立，有P（）=P（）P（）=1/9 ，又因?yàn)镻（A）=P（B），故， P（A）=P（B），P（）=P（）=1/3，所以P（A）=1-P（）=2/3。10.答案是：1/3，2/3分析 首先根據(jù)已知條件建立以a為未知量的方程，但是題中所給的三個(gè)已知條件中，A與B互不相容與P（A）=P（B）動(dòng)很簡(jiǎn)單，沒(méi)有什么文章好作，因此我們應(yīng)該從第三個(gè)條件P（A|）=P（|）=0.5P（A|）=0.5解出a=1/3，P（A+B）=2/3，等式中第二步是因?yàn)锳與B互不相容，于是BA。即A=A。注意（1）題中P（A）的另一種求法是P（A）=P（A）+P（AB）=P（A）=a（題設(shè)A與B互不相容，P（AB）=

12、P（Ø）=0。（2）本題既要用到事件概率性質(zhì)，又要用到條件概率性質(zhì)，是對(duì)事件與概率這兩個(gè)基本概念的一個(gè)綜合考察題，。凡涉及事件概率的計(jì)算問(wèn)題。熟悉事件間關(guān)系與運(yùn)算法則以及概率、條件概率、事件獨(dú)立性等概念和性質(zhì)很重要，只有熟練的掌握這些概念與性質(zhì)才能對(duì)各種變化的條件，靈活運(yùn)用有關(guān)結(jié)論進(jìn)行計(jì)算或論證，否則只能簡(jiǎn)單的直接套用典型公式，這樣對(duì)較靈活的題就會(huì)無(wú)能為力。11.答案是： 0.58分析 從條件給綠的性質(zhì)可知P(A|)+P()=1P(A|B)=1-P(|)=0.3因此 P（A|B）=P(A|).即A與B相互獨(dú)立。P（A）=P（A|B）=0.3，P（B）=P（B|A）=0.4.P（A+B

13、）=P（A）+P（B）-P（A）P（B）=0.58.注意 此題不是一個(gè)直接的概率計(jì)算問(wèn)題。它首先要根據(jù)各已知條件概率數(shù)值關(guān)系，確定事件A與B是獨(dú)立事件，能否判斷出事件A 與B的獨(dú)立性是解決這個(gè)題目的關(guān)鍵。12答案是：2/3。分析 設(shè)命中率為p(0<p<1),則至少命中一次概率為1-（1-p）4，由1-（1-p）4=80/81，解得p=2/3。13.答案是： 1/2。分析 由ABCAB，P（AB）=0得P（ABC）=0，所求事件概率為P（*）=1-P（A U B U C）=1-P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（AC）-P（BC）+P（ABC） =1/214答案是： 2分析

14、 從條件AB=可知 （AB）（）=AB= Ø，（AB）（）=A B =，于是有 = Ø，A+B=，但已知AB= Ø，因此A與B為對(duì)立事件，即A= ，=B，即P（A|）=P（|B）=1。條件AB= 出發(fā)，設(shè)法分析出A與B間的關(guān)系來(lái)解決兩個(gè)條件概率的計(jì)算問(wèn)題，本題關(guān)鍵是要從兩個(gè)互不相容事件AB與的相等分析出它們都是不可能事件，即AB= Ø ，進(jìn)而得出A與B為對(duì)立事件。15答案是；0.5分析 由于P（B）+P（AB）=P（B），P（A）+P（AB）=P（A），可得P（B）+P（A）=P（A）+P（B）-2P（AB）=0.5?；驊?yīng)用公式 P（A+B）=P（A）+

15、P（B）-P（AB），P（A+B）= P（B）+P（A）+P（AB），可得 P（B）+P（A）=P（A+B）-P（AB）=P（A）+P（B）-2P（AB）=0.5。注意 解這個(gè)題的思路是設(shè)法分析出B及A與AB的關(guān)系，最容易想到的應(yīng)該是P（B）+P（AB）=P（B）等。16.答案是：0.7。分析 由于P（A）=P（AB）+P（A）=0.4，P（AB）=0.2，因此P（A）=0.2，可見(jiàn)， P（B）與P（）均大于零，對(duì)于，有P（A|）+P（|）=1。 于是 P（A|）=P（A|B）因此A與B相互獨(dú)立。 P（B）=0.5，P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）=0.7。注意 能夠考慮到條件概率

16、的性質(zhì) P（A|）+ P（|）=1 （P（）>0），從而結(jié)合題設(shè)條件P（A|B）+ P（|）=1，導(dǎo)出等式 P（A|B）= P（A|）。 這是題解的首要一步，能從式導(dǎo)出P（AB）=P（A）P（B），即A與B獨(dú)立需要用到條件概率的概念，無(wú)論是式，還是式的成立應(yīng)首先考慮它們對(duì)于事件A，B關(guān)系的影響，即式或式的成立都可證明A與B是相互獨(dú)立的。17. 答案是：1/6。分析 本題屬抽簽情況，每次抽到次品的概率相等，均為1/6，另外，用全概率公式也可求解。18.答案是：2/5。分析 根據(jù)抽簽原理，第一個(gè)人，第二個(gè)人，。取得黃球的概率相等，均為2/5，因此應(yīng)填2/5。或者利用全概率公式計(jì)算， 設(shè)A=第

17、一個(gè)人取出為黃球；B=第一個(gè)人取出為白球；C=第二個(gè)人取出為黃球；則P（A）=2/5，P（B）=3/5，P（C|A）=19/49，P（C|B）=20/49，由全概率公式知：P（C）=P（A）*P（C|A）+P（B）*P（C|B）=2/5*19/49+3/5*20/49=2/5。19.答案是：17/25。分析 這是一個(gè)幾何概型問(wèn)題，以x，y表示在（0，1）中隨機(jī)地取得的兩個(gè)數(shù)，則（x，y）點(diǎn)的全體是如圖1-2所示的正方形，而事件兩數(shù)之和小于6/5發(fā)生的充要條件為x+y<6/5,即落在圖中陰影部分的點(diǎn)（x，y）的全體。根據(jù)幾何概率的定義，所求概率即為圖中陰影部分面積與邊長(zhǎng)為1的正方形面積之比

18、，即 Px+y6/5=1-1/2*（4/5）2=17/25。20.答案是：1/1260。分析 這是一個(gè)古典概型問(wèn)題，將7個(gè)字母C，C，E，E，I，N，S任一種可能排列作為基本事件，則全部基本事件數(shù)為7！，而有利的基本事件數(shù)為1*2*1*2*1*1*1=4。故所求的概率為 21.答案是：3/7。分析 本題考察逆概公式，設(shè)事件A=抽取的產(chǎn)品為工廠A生產(chǎn)的，B=抽取的產(chǎn)品為工廠B生產(chǎn)的，C=抽取的是次品，則P（A）=0.6，P（B）=0.4，P（C|A）=0.01，P（C|B）=0.02，由逆概公式（貝葉斯公式）知P（A|C）=。22.答案是：1/5。分析 以A表示事件從10件產(chǎn)品中任取兩件，兩件都

19、是不合格品，兩件都是不合格品，以B表示事件從10件產(chǎn)品中任取兩件，至少有一件是不合格品，則所求的概率為 P（A|B），而 P（A）=，P（B）=1-=。 顯然AB，故P（AB）=P（A）=2/15，由條件概率的計(jì)算公式知P（A|B）=。23.答案是：0.75。分析 用A代表事件“甲命中目標(biāo)”，B代表事件“乙命中目標(biāo)”，則AB代表事件“目標(biāo)被命中”，且P（AB）=P（A）+P（B）-P（AB）=P（A）+P（B）-P（A）P（B）=0.5+0.6-0.5*0.6=0.8，所求概率為 P（A|AB）=0.6/0.8=0.75。24. 答案是： 2/3。分析 用Ai代表事件“取出的產(chǎn)品為第i等品”，

20、i=1，2，3，則A1，A2，A3，互不相容，所求概率為 P（A1|A1A2）=2/3。25答案是： 0.4。分析 設(shè)所求事件的概率為P（A），試驗(yàn)的樣本空間的樣本點(diǎn)總數(shù)60。對(duì)于事件A，符合條件的三張卡片數(shù)字有以下四組：1，2，4 1，3 ，4 2，3 ，5 2，4 ，5而每一組的構(gòu)成又有3！種不同排列，比如對(duì)于數(shù)字為1，2，4的三張卡片，依次抽取的結(jié)果可以有1，2，4；1，4，2；2，1，4；2，4，1；4，1，2；4，2，1共六種不同結(jié)果，因此有利于事件A的樣本點(diǎn)數(shù)為4*3！=24種，由古典型概率公式P（A）=24/60=0.4。注意 這是一個(gè)古典概型問(wèn)題，對(duì)于這類問(wèn)題計(jì)算的關(guān)鍵是求出試

21、驗(yàn)的樣本空間與有利于所討論的事件中的樣本點(diǎn)數(shù)目，一般來(lái)說(shuō)，樣本空間中樣本點(diǎn)數(shù)的計(jì)算比較容易，而有利于所討論事件的樣本點(diǎn)數(shù)的計(jì)算往往比較復(fù)雜，要仔細(xì)分析事件的結(jié)構(gòu)，不要漏算也不要重復(fù)計(jì)算樣本點(diǎn)數(shù)目。26答案是：9。分析 由于n階行列式展開式共有n!項(xiàng)，含a11的共有（n-1）!項(xiàng)，那么不含a11的共有n!-(n-1)!項(xiàng)，依題意有=1-， 解得n=9.注意 這是一個(gè)古典概型問(wèn)題，解題的關(guān)鍵在于弄清n階行列式展開式中各項(xiàng)的構(gòu)成情況，即可求得所要的結(jié)果。27.答案是： 13/125。分析 因?yàn)樵鰪V矩陣，所以AX=b有解b3-2b2+b1=0,其中bi是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，其分布列為Pbi=k=1/

22、5 (i=1,2,3; k=1,2,3,4,5).所求概率為PAX=b有解=Pb3-2b2+b1=0=Pb3-b2=b2-b1=Pb1,b2,b3成等差數(shù)列 =Pb1=1,b2=1,b3=1+Pb1=2-j,b2=2,b3=2+j+Pb1=3-j,b2=3,b3=3+j+Pb1=4-j,b2=4,b3=4+j+Pb1=5,b2=5,b3=5 =13*=。注意 該題是線性代數(shù)與概率論知識(shí)相結(jié)合的綜合練習(xí)題，只要知道“AX=B”有解得充要條件，是不難解答該題的，至于概率的計(jì)算，可以用列舉法求得。29.答案是： 19/42。分析 顯然這是一道計(jì)算條件概率的題目，若記A=擲出3顆骰子所得點(diǎn)數(shù)成等差數(shù)列

23、，B=3顆骰子點(diǎn)數(shù)中含有2點(diǎn)，則所求概率p=P(B|A)= ,根據(jù)古典概率計(jì)算公式，易得p。事實(shí)上，有列舉法易知，從1，2，3，4，5，6種可重復(fù)取了三個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列的情形有：公差為零的有6種情況：111，222，。，666；公差為1的有1，2，3；2，3，4；3，4，5；4，5，6；公差為2的有1，3，5；2，4，6；而每一個(gè)結(jié)果又有3！種情況，所以有利A的基本事件數(shù)為6+6*3！，而基本事件總數(shù)為63，故P(A)= . 由上述列舉結(jié)果，易知有利AB的基本事件數(shù)為1+3*3！，所以 P(AB)= . 故p=.注意 本題主要考察古典概型，其關(guān)鍵是弄清基本事件，計(jì)算出基本事件總數(shù)及有利于事件A

24、基本事件數(shù)，應(yīng)用乘法法則、集合元素對(duì)等法則、列舉法、求逆法是幾種常用方法。29.答案是：（1-a）（1-b）。分析 已知 P（AB）=P（A）P（B），CAB。故=，所以P（）=P（）=P（）P（）=（1-a）（1-b）。注意 這道試題主要是考查考生是否確切掌握事件的關(guān)系與運(yùn)算，只需將題目中的事件關(guān)系用式子表明清楚，就不難算出所要的結(jié)果。30.答案是：p=.分析 從一個(gè)袋內(nèi)去一張卡片，共有n種不同的等可能取法。從k個(gè)袋內(nèi)各取一張卡片有nk種不同的等可能取法.如果每個(gè)袋內(nèi)都從1至m+2號(hào)的卡片中取一張,則取到的k張卡片最大編號(hào)不超過(guò)m+2。有利于這一事件的等可能結(jié)果共有（m+2）k種，類似的，取

25、到卡片最大號(hào)碼不超過(guò)m-1的取法共有（m-1）k種，因此，有利于所求事件，即取到最大號(hào)碼恰好位m,m+1,m+2的結(jié)果共有（m+2）k-(m-1)k種。應(yīng)用古典概型計(jì)算公式有 p=. 注意 古典概型的計(jì)算困難是準(zhǔn)確算出有利于所求事件A的基本事件數(shù)。既不能漏算，又不要重復(fù)計(jì)算，本題另一種考慮的思路是：令事件Ai=“取到最大號(hào)碼不超過(guò)i”，令Bi=”最大號(hào)碼恰好為i”,則Bi=Ai-Ai-1,且AiAi-1.P(Bi)=P(Ai)-P(Ai-1)= -=.p=P(Bm+2)+P(Bm+1)+P(Bm)=+=31.答案是： p1>.分析 設(shè)在第i次射擊中，甲擊中記作事件Ai,乙擊中記作事件Bi

26、,顯然Ai與Bi(ij)相互獨(dú)立，記事件A.B分別表示甲、乙先射中。 P（A）=P(A1)+P(A3)+P(A5)+=p1p2+q1q2q1p2+(q1q2)2q1p2+,=其中qi=1-pi,i=1,2.依題意應(yīng)有P(A)>P(B), 即 > 。由于0<p1,p2<1,因此0<q1,q2<1.于是有 p1>q1p2.p1>(1-p1)p2, 即 p1>.注意 本題主要考查對(duì)于較復(fù)雜事件概率的計(jì)算能力。題中所涉及的兩個(gè)事件A與B都是可列個(gè)兩兩互不相容事件的和，而和中的每個(gè)加項(xiàng)又是一些相互獨(dú)立事件的積。這與全概率公式適用的模型的相同之處是：都要將一個(gè)較復(fù)雜事件分解為一些兩兩互不相容事件的和，且作為和的各個(gè)加項(xiàng)都是一些事件的積；不同之處在于本題中每個(gè)加項(xiàng)中的各個(gè)事件是相互獨(dú)立的，如，A3,等相互獨(dú)立，記P(A3)=P()P()P(A3),而全概率公式中，每一加項(xiàng)中的事件A1與B,A2與B等都沒(méi)有獨(dú)立性作為