第3章力矩與力偶Word版

1、第3章力矩與平面力偶系教學提示：本章主要研究力矩、力偶和平面力偶系的理論。這都是有關力的轉動效應的基本知識，在理論研究和工程實際應用中都有重要的意義。教學要求：本章讓學生掌握力矩、力偶和平面力偶系的概念，掌握力對點之矩的兩種求解方法，即直接作力臂的方法與利用合力矩定理求解的方法，掌握平面力偶的性質及平面力偶系的合成與平衡條件，會利用平衡條件求解約束反力。3.1力對點之矩1.力矩的概念力不僅可以改變物體的移動狀態(tài)，而且還能改變物體的轉動狀態(tài)。力使物體繞某點轉動的力學效應，稱為力對該點之矩。以扳手旋轉螺母為例，如圖31所示，設螺母能繞點O轉動。由經(jīng)驗可知，螺母能否旋動，不僅取決于作用在扳手上的力F

2、的大小，而且還與點O到F的作用線的垂直距離d有關。因此，用F與d的乘積作為力F使螺母繞點O轉動效應的量度。其中距離d稱為F對O點的力臂，點O稱為矩心。由于轉動有逆時針和順時針兩個轉向，則力F對O點之矩定義為：力的大小F與力臂d的乘積冠以適當?shù)恼撎枺苑杕o(F) 表示，記為mo(F)±Fh （31）通常規(guī)定：力使物體繞矩心逆時針方向轉動時，力矩為正，反之為負。圖3.1由圖31可見，力F對O點之矩的大小，也可以用三角形OAB的面積的兩倍表示，即 mo(F)±2ABC（32）在國際單位制中，力矩的單位是牛頓米（Nm）或千牛頓米（kNm）。由上述分析可得力矩的性質：（1）力對

3、點之矩，不僅取決于力的大小，還與矩心的位置有關。力矩隨矩心的位置變化而變化。（2）力對任一點之矩，不因該力的作用點沿其作用線移動而改變，再次說明力是滑移矢量。（3）力的大小等于零或其作用線通過矩心時，力矩等于零。 2.合力矩定理 定理：平面匯交力系的合力對其平面內任一點的矩等于所有各分力對同一點之矩的代數(shù)和。mo(FR)mo(F1) mo(F2)mo(Fn)即mo(FR)mo(F)（33）上式稱為合力矩定理。合力矩定理建立了合力對點之矩與分力對同一點之矩的關系。這個定理也適用于有合力的其它力系。例3.1試計算圖3.2中力對A點之矩。圖3.2解本題有兩種解法。（1） 由力矩的定義計算力F對A點之

4、矩。先求力臂d。由圖中幾何關系有：d=ADsin=(AB-DB)sin=(AB-BCctg)sin=(a-bctg)sin=asin-bcos所以 mA(F)=Fd=F(asin-bcos)（2） 根據(jù)合力矩定理計算力F對A點之矩。將力F在C點分解為兩個正交的分力和，由合力矩定理可得mA(F)= mA(Fx)+ mA(Fy)=Fxb+ Fya=F(bcosasin) =F(asin-bcos)本例兩種解法的計算結果是相同的，當力臂不易確定時，用后一種方法較為簡便。3.2力偶和力偶矩1.力偶和力偶矩 在日常生活和工程實際中經(jīng)常見到物體受動兩個大小相等、方向相反，但不在同一直線上的兩個平行力作用的

5、情況。例如，司機轉動駕駛汽車時兩手作用在方向盤上的力（圖3.3a）；工人用絲錐攻螺紋時兩手加在扳手上的力（圖3.3b）；以及用兩個手指擰動水龍頭（圖3.3c）所加的力等等。在力學中把這樣一對等值、反向而不共線的平行力稱為力偶，用符號 ( F ,F)表示。兩個力作用線之間的垂直距離稱為力偶臂，兩個力作用線所決定的平面稱為力偶的作用面。圖3.3實驗表明，力偶對物體只能產(chǎn)生轉動效應，且當力愈大或力偶臂愈大時，力偶使剛體轉動效應就愈顯著。因此，力偶對物體的轉動效應取決于：力偶中力的大小、力偶的轉向以及力偶臂的大小。在平面問題中，將力偶中的一個力的大小和力偶臂的乘積Fd加上適當?shù)姆?，作為力偶對剛體轉動

6、效應的量度，稱為力偶矩，用M或M( F ,F)表示，即 M±Fd (3-4)式中的正負號表示力偶使剛體轉動的方向，通常規(guī)定：力偶使物體逆時針方向轉動時，力偶矩為正，反之為負。力偶矩的單位與力矩的單位相同，在國際單位制中，力矩的單位是牛頓米（Nm）或千牛頓米（kNm）。 力偶是由兩個力組成的特殊力系，它的作用只改變物體的轉動狀態(tài)。力偶對物體的轉動效應用力偶矩來度量。平面力偶對物體的作用效應由以下兩個因素決定： (1) 力偶矩的大??；(2) 力偶在作用面內的轉向。 2.力偶的基本性質及等效條件力和力偶是靜力學中兩個基本要素。力偶與力具有不同的性質：性質一 力偶不能簡化為一個力，即力偶不能

7、用一個力等效替代。因此力偶不能與一個力平衡，力偶只能與力偶平衡。 性質二 力偶對其作在平面內任一點的矩恒等于力偶矩，與矩心位置無關。圖3.4如圖3.4所示，力偶( F ,F)的力偶矩m(F)Fd在其作用面內任取一點O為矩心，因為力使物體轉動效應用力對點之矩量度，因此力偶的轉動效應可用力偶中的兩個力對其作用面內任何一點的矩的代數(shù)和來量度。設O到力F的垂直距離為x，則力偶( F ,F)對于點O的矩為mo( F ,F)= mo( F )+ mo( F)= F（x+d）-Fx=Fd = m所得結果表明，不論點O選在何處，其結果都不會變，即力偶對其作用面內任一點的矩總等于力偶矩。所以力偶對物體的轉動效應

8、總取決于力偶矩（包括大小和轉向），而與矩心位置無關。由上述分析得到如下結論：在同一平面內的兩個力偶，只要兩力偶的力偶矩相等，則這兩個力偶等效。這就是平面力偶的等效條件。根據(jù)力偶的等效性，可得出下面兩個推論：推論1力偶可在其作用面內任意移動或轉動，而不會改變它對物體的作用效應。推論2只要保持力偶矩不變，可同時改變力偶中力的大小和力偶臂的長度，而不會改變它對物體的作用效應。由力偶的等效性可知，力偶對物體的作用，完全取決于力偶矩的大小和轉向。因此，力偶可以用一帶箭頭的弧線來表示如圖所求，其中箭頭表示力偶的轉向，m表示力偶矩的大小。圖3.53.3平面力偶系的合成與平衡條件1.平面力偶系的合成作用在剛體

9、同一平面內的各個力偶，稱為平面力偶系。設作用于剛體的同一平面內的三個力偶( F1 ,F1) ( F2 ,F2) 和( F3 ,F3)，如圖3.6所示。各力偶矩分別為：m1F1d1，m2F2d2，m3F3d3，圖3.6在力偶作用面內任取一線段ABd，按力偶等效條件，將這三個力偶都等效地改為以為d力偶臂的力偶( P1 ,P1) ( P2 ,P2) 和( P3 ,P3)。如圖3.6所示。由等效條件可知P1d=F 1d1，P2dF2d2，P3d F3d3則等效變換后的三個力偶的力的大小可求出。然后移轉各力偶，使它們的力偶臂都與AB重合，則原平面力偶系變換為作用于點A、B的兩個共線力系（圖3.6b）。將

10、這兩個共線力系分別合成，得FRP1P2p3FRP1P2P3可見，力FR與FR等值、反向作用線平行但不共線，構成一新的力偶（FR，F(xiàn)R），如圖3.6c所示。為偶（FR，F(xiàn)R）稱為原來的三個力偶的合力偶。用M表示此合力偶矩，則MFR d（P1P2P3）d= P1d+P2dP3d=F 1d1+F2d2F3d3所以 Mm1m2m3若作用在同一平面內有n個力偶，則上式可以推廣為Mm1m2mnm （35）由此可得到如下結論：平面力偶系可以合成為一合力偶，此合力偶的力偶矩等于力偶系中各分力偶的力偶矩的代數(shù)和。2.平面力偶系的平衡條件平面力偶系中可以用它的合力偶等效代替，因此，若合力偶矩等于零，則原力系必定平

11、衡；反之若原力偶系平衡，則合力偶矩必等于零。由此可得到平面力偶系平衡的必要與充分條件：平面力偶系中所有各力偶的力偶矩的代數(shù)和等于零。 即m0（36）平面力偶系有一個平衡方程，可以求解一個未知量。 例3.2在一鉆床上水平放置工件,在工件上同時鉆四個等直徑的孔,每個鉆頭的力偶矩為 ,求工件的總切削力偶矩和A 、B端水平反力? 圖3.7解: 各力偶的合力偶矩為 由力偶只能與力偶平衡的性質，力與力 組成一力偶。根據(jù)平面力偶系平衡方程有: 例3.3 一平行軸減速箱如圖3.8所示，所受的力可視為都在圖示平面內。減速箱輸入軸I上作用一力偶，其矩為N·m；輸出軸II上作用一反力偶，其矩為 N

12、3;m 。設間距cm，不計減速箱重量。試求螺栓、以及支承面所受的力。圖3.8解：取減速箱為研究對象。減速箱除受、的兩個力偶矩作用外，還受到螺栓與支承面的約束力的作用。因為力偶必須用力偶來平衡，故這些約束力也必定組成一力偶，A、B處的約束反力方向如圖3.8所示，且。根據(jù)平面力偶系的平衡條件，列平衡方程 N得N約束力及分別由處支承面和處螺栓產(chǎn)生。其中是支承面的反作用力，因而，處支承面受壓力，處螺栓受拉力。例3.4如圖3.8所示，電動機軸通過聯(lián)軸器與工作軸相連，聯(lián)軸器上4個螺栓A、B、C、D的孔心均勻地分布在同一圓周上，此圓的直徑d150mm，電動機軸傳給聯(lián)軸器的力偶矩m2.5 kNm，試求每個螺栓

13、所受的力為多少？ 圖3.9解取聯(lián)軸器為研究對象，作用于聯(lián)軸器上的力有電動機傳給聯(lián)軸器的力偶，每個螺栓的反力，受力圖如圖所示。設4個螺栓的受力均勻，即F1F2F3F4F，則組成兩個力偶并與電動機傳給聯(lián)軸器的力偶平衡。由m0，mF×ACF×d0解得本章小結本章研究了平面力偶系的合成和平衡問題：1.本章讓學生掌握力矩、力偶和平面力偶系的概念，掌握力對點之矩的兩種求解方法，即直接作力臂的方法與利用合力矩定理求解的方法，掌握平面力偶的性質及平面力偶系的合成與平衡條件，會利用平衡條件求解約束反力。2.力偶系的合成和平衡應用下面公式進行求解習 題 3.1將圖3.10所示A點的力F沿作用線

14、移至B點，是否改變該力對O點之矩？圖3.10 圖3.113.2一矩形鋼板放在水平地面上，其邊長a3m，b2m（如圖3.11所示）。按圖示方向加力，轉動鋼板需要PP250N。試問如何加力才能使轉動鋼板所用的力最小，并求這個最小力的大小。3.3一力偶( F1 ,F1)作用在Oxy平面內，另一力偶( F2 ,F2)作用在Oyz平面內，力偶矩之絕對值相等（圖3.12），試問兩力偶是否等效？為什么？圖3.123.4圖3.13中四個力作用在某物體同一平面上A、B、C、D四點上（ABCD為一矩形），若四個力的力矢恰好首尾相接，這時物體平衡嗎？為什么？圖3.13 3.5力偶不能與一力平衡，那么如何解釋圖3.14所示的平衡現(xiàn)象？圖3.14 3.6試計算圖3.15中力對點的矩。 圖3.15 3.7如圖3.16所示，簡支梁受集中載荷。若已知KN，求支座、二處的約束反力。 圖3.16 3.8如圖3.17所示，已知梁上作用一力偶，力偶矩為，梁長為。求出圖3.17(a)、(b)、(c)三種情況下，支座和的約束反力。 圖3.17 3.9如圖3.18所示用多軸鉆床在一工件上同時鉆出4個直徑相同的孔，每一鉆頭作用于工件的鉆削力偶，其矩的估計值N·m。求作用于工件的總的鉆削力偶矩。如工件用兩個圓柱銷釘、來固定，m。設鉆削力偶矩由銷釘?shù)姆戳砥胶?，求銷釘、反力的大小。