函數(shù)對(duì)稱(chēng)性、周期性和奇偶性規(guī)律總結(jié).

1、函數(shù)對(duì)稱(chēng)性、周期性和奇偶性關(guān)嶺民中數(shù)學(xué)組( 一) 、同一函數(shù)的函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱(chēng)性： （奇偶性是一種特殊的對(duì)稱(chēng)性）1、奇偶性 : （1） 奇函數(shù)關(guān)于（ 0， 0）對(duì)稱(chēng)，奇函數(shù)有關(guān)系式f (x)f ( x)0（2）偶函數(shù)關(guān)于 y（即 x=0）軸對(duì)稱(chēng)，偶函數(shù)有關(guān)系式f (x)f (x)2 、奇偶性的拓展:同一函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性（1）函數(shù)的軸對(duì)稱(chēng)：函數(shù) yf(x) 關(guān)于 xa 對(duì)稱(chēng)f (ax)f (ax)f (a x)f (a x) 也可以寫(xiě)成 f ( x)f (2ax)或 f ( x)f (2a x)若 寫(xiě) 成 ： f ( ax) f (b x) ， 則 函 數(shù) yf ( x)關(guān)于直線x(a x) (b

2、x)a b對(duì)稱(chēng)22證 明 ： 設(shè) 點(diǎn) ( x1, y1 ) 在 yf (x) 上 ， 通 過(guò) f ( x)f (2ax) 可 知 ，y1f ( x1 )f (2ax1 ) ，即點(diǎn) (2ax1 , y1 )也在 yf ( x) 上，而點(diǎn)(x1 , y1 ) 與點(diǎn) (2ax1 , y1 ) 關(guān)于 x=a 對(duì)稱(chēng)。得證。說(shuō)明：關(guān)于 xa 對(duì)稱(chēng)要求橫坐標(biāo)之和為2a ，縱坐標(biāo)相等。(ax1 , y1 )與(ax1, y1 )關(guān)于xa 對(duì)稱(chēng)，函數(shù)yf ( x) 關(guān)于xa 對(duì)稱(chēng)f (ax)f (ax) ( x1 , y1 )與(2ax1, y1 )關(guān)于xa 對(duì)稱(chēng)，函數(shù)yf ( x) 關(guān)于xa 對(duì)稱(chēng)f ( x)

3、f ( 2ax) (x1 , y1 )與(2ax1 ,y1) 關(guān)于xa 對(duì)稱(chēng)，函數(shù)yf ( x) 關(guān)于xa 對(duì)稱(chēng)f (x)f (2ax)（ 2）函數(shù)的點(diǎn)對(duì)稱(chēng)：函數(shù)yf (x) 關(guān)于點(diǎn) ( a, b)對(duì)稱(chēng)f (ax)f (ax)2b上述關(guān)系也可以寫(xiě)成f ( 2ax)f (x) 2b 或 f ( 2 a x )f ( x ) 2b若寫(xiě)成： f (ax) f (bx)c ，函數(shù) yf ( x) 關(guān)于點(diǎn) ( ab , c )對(duì)稱(chēng)22證明：設(shè)點(diǎn) (x1 , y1 ) 在 yf ( x) 上，即 y1f ( x1 ) ，通過(guò) f (2ax)f ( x) 2b可知， f (2ax1 )f ( x1 )2b

4、，所以 f (2ax1 ) 2bf ( x1 ) 2by1 ，所以點(diǎn)( 2a x1 ,2by1 ) 也在 yf ( x) 上，而點(diǎn) ( 2ax1 ,2by1 ) 與 (x1, y1 ) 關(guān)于 (a,b) 對(duì)稱(chēng)得證。說(shuō) 明 : 關(guān)于 點(diǎn) (a,b) 對(duì) 稱(chēng) 要求 橫坐 標(biāo)之 和 為 2a ,縱 坐標(biāo) 之 和 為 2b , 如( a x)與（ ax)之和為2a。（ 3）函數(shù) yf (x) 關(guān)于點(diǎn) yb 對(duì)稱(chēng) : 假設(shè)函數(shù)關(guān)于 yb 對(duì)稱(chēng)，即關(guān)于任一個(gè) x值，都有兩個(gè) y 值與其對(duì)應(yīng)， 顯然這不符合函數(shù)的定義，故函數(shù)自身不可能關(guān)于y b 對(duì)稱(chēng)。但在曲線c(x,y)=0，則有可能會(huì)出現(xiàn)關(guān)于yb 對(duì)稱(chēng)，

5、比如圓c( x, y) x 2y 24 0它會(huì)關(guān)于 y=0 對(duì)稱(chēng)。（ 4）復(fù)合函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)定理：性質(zhì) 1、復(fù)數(shù)函數(shù) y fg(x)為偶函數(shù)，則復(fù)合函數(shù) yfg(x) 為奇函數(shù)，則 fg( 性質(zhì) 2、復(fù)合函數(shù) y f(x a) 為偶函數(shù)，則fg( x) fg(x) 。x) fg(x) 。 f(x a) f( xa) ；復(fù)合函數(shù) yf(x a) 為奇函數(shù)，則 f( xa) f(a x) 。性質(zhì) 3、復(fù)合函數(shù) y f(x a) 為偶函數(shù)，則 yf(x) 關(guān)于直線 x a 軸對(duì)稱(chēng)。復(fù)合函數(shù) yf(x a) 為奇函數(shù)，則 yf(x) 關(guān)于點(diǎn) (a,0) 中心對(duì)稱(chēng)?？偨Y(jié)： x 的系數(shù)一個(gè)為 1，一個(gè)

6、為 -1 ，相加除以 2，可得對(duì)稱(chēng)軸方程總結(jié)： x 的系數(shù)一個(gè)為 1，一個(gè)為 -1 ，f(x) 整理成兩邊，其中一個(gè)的系數(shù)是為1，另一個(gè)為 -1 ，存在對(duì)稱(chēng)中心。總結(jié)： x 的系數(shù)同為為 1，具有周期性。( 二) 、兩個(gè)函數(shù)的圖象對(duì)稱(chēng)性1、 yf ( x)與 yf (x) 關(guān)于 X 軸對(duì)稱(chēng)。證明： 設(shè) yf ( x) 上任一 點(diǎn)為 (x1, y1)則 y1f (x1) ， 所以 yf ( x) 經(jīng)過(guò)點(diǎn)( x1 ,y1 ) ( x1 , y1) 注：換種說(shuō)法：與 ( x1 ,yy1 ) 關(guān)于f ( x) 與 yX 軸對(duì)稱(chēng)， y1g( x)f ( x)f ( x1 ) 與 y若滿足f ( x)f

7、( x)g (x)關(guān)于 X軸對(duì)稱(chēng) .，即它們關(guān)于y0對(duì)稱(chēng)。2、yf ( x) 與yf (x)關(guān)于Y 軸對(duì)稱(chēng)。證明：設(shè)yf ( x) 上任一點(diǎn)為(x1, y1) 則y1f (x1 ) ，所以yf (x) 經(jīng)過(guò)點(diǎn) (x1, y1) ( x1 , y1)與 (x1 , y1 ) 關(guān)于Y 軸對(duì)稱(chēng)，yf ( x)與 yf (x) 關(guān)于Y 軸對(duì)稱(chēng)。注：因?yàn)?(x1, y1 ) 代入 yf (x) 得 y1f ( (x1 )f (x1) 所以 yf (x) 經(jīng)過(guò)點(diǎn)(x1 , y1 )換種說(shuō)法：yf ( x) 與 yg( x)f (x) 若滿足 f ( x)g (x) ，即它們關(guān)于x 0對(duì)稱(chēng)。3、yg (x)

8、f ( x) 與f ( y( x) f (2 af ( x)x) 關(guān)于直線xa 對(duì)稱(chēng)。證明：設(shè)yf ( x)上任一點(diǎn)為( x1 , y1 )則y1f ( x1 )，所以yf (2 ax)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2 ax1, y1) ( x1 , y1) 與 (2 ax1 , y1) 關(guān)于xa 軸對(duì)稱(chēng)，yf ( x)與yf (2 ax) 關(guān)于直線 xa 對(duì)稱(chēng)。注：換種說(shuō)法： yf ( x) 與 yg (x) f (2 ax) 若滿足 f ( x)g( 2a x) ，即它們關(guān)于 xa 對(duì)稱(chēng)。4、 yf (x) 與 y2a f ( x) 關(guān)于直線 y a 對(duì)稱(chēng)。證明：設(shè) y f ( x) 上任一點(diǎn)為 ( x1 ,

9、y1) 則 y1f ( x1 ) ，所以 y2af ( x) 經(jīng)過(guò)點(diǎn)( x1 , 2a y1) (x1, y1 ) 與 ( x1 , 2ay1 ) 關(guān)于 ya 軸對(duì)稱(chēng) ， y f ( x) 與 y2af ( x) 關(guān)于直線y a 對(duì)稱(chēng) .注：換種說(shuō)法： yf (x) 與 yg(x) 2a f ( x) 若滿足 f ( x)g(x)2a，即它們關(guān)于 ya 對(duì)稱(chēng)。5、 yf (x)與 y 2b f (2ax) 關(guān)于點(diǎn) (a,b)對(duì)稱(chēng)。證明：設(shè) y f (x) 上任一點(diǎn)為( x1 , y1) 則 y1f (x1 ) ，所以 y 2b f (2 ax) 經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2 a x1, 2b y1 ) ( x1

10、 , y1 ) 與 (2ax1, 2by1) 關(guān)于點(diǎn) (a,b) 對(duì)稱(chēng)， yf (x)與 y 2bf (2a x) 關(guān)于點(diǎn) (a,b) 對(duì)稱(chēng) .注：換種說(shuō)法： yf ( x) 與 yg (x)2bf (2 ax) 若滿足 f ( x)g (2ax)2b ，即它們關(guān)于點(diǎn) (a,b) 對(duì)稱(chēng)。g(2ax)2b f (2 a(2 ax) 2b f ( x)6、 yf ( ax) 與 yf ( xb) 關(guān)于直線 xab 對(duì)稱(chēng)。2證明：設(shè)yf ( x) 上任一點(diǎn)為 (x1, y1 ) 則 y1f ( x1 ) ，所以 yf (a x) 經(jīng)過(guò)點(diǎn)( a x1 , y1 ) , yf (b x) 經(jīng) 過(guò)點(diǎn) (b

11、 x1, y1 ) , (a x1, y1 ) 與 (bx1 , y1 ) 關(guān)于直線xab 對(duì)稱(chēng)，2 yf (ax) 與 yf ( xb) 關(guān)于直線 xab 對(duì)稱(chēng)。2三、總規(guī)律：定義在上的函數(shù)yf x ，在對(duì)稱(chēng)性、周期性和奇偶性這三條性質(zhì)中，只要有兩條存在，則第三條一定存在。一、同一函數(shù)的周期性、對(duì)稱(chēng)性問(wèn)題( 即函數(shù)自身 )( 一) 、函數(shù)的周期性：對(duì)于函數(shù)yf (x)，如果存在一個(gè)不為零的常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有f ( xT )f ( x) 都成立，那么就把函數(shù)y f (x) 叫做周期函數(shù)，不為零的常數(shù) T 叫做這個(gè)函數(shù)的周期。如果所有的周期中存在著一個(gè)最小的正數(shù)，就把這

12、個(gè)最小的正數(shù)叫做最小正周期。1、周期性：（1）函數(shù) yf ( x) 滿足如下關(guān)系式，則f (x)的周期為 2TA 、 f ( x T )f ( x) B 、 f ( x T)1或f ( x T )1f ( x)f ( x)C 、 f ( xT )1f ( x) 或 f (xT )1 f (x) （等式右邊加負(fù)號(hào)亦成立）21f ( x)21 f (x)D 、其他情形（ 2）函數(shù) yf ( x) 滿足 f (ax)f (ax) 且 f (bx)f (bx) ，則可推出f ( x)f (2ax)f b( 2axb)f b( 2axb)f x2(ba)即可以得到 yf ( x) 的周期為 2(b-a)

13、 ，即可以得到“如果函數(shù)在定義域內(nèi)關(guān)于垂直于x軸兩條直線對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)一定是周期函數(shù)”（ 3）如果奇函數(shù)滿足 f (x T )f ( x) 則可以推出其周期是 2T，且可以推出對(duì)稱(chēng)軸為 xT2kT (k z) ，根據(jù) f ( x) f (x 2T ) 可以找出其對(duì)稱(chēng)中心為2(kT，0)( kz) （以上 T 0 ）如果偶函數(shù)滿足f ( xT)f (x) 則亦可以推出周期是2T，且可以推出對(duì)稱(chēng)中心為 ( T2kT ,0)(kz) ， 根 據(jù) f ( x)f ( x2T)可以推出對(duì)稱(chēng)軸為2x T2kT ( kz) （以上 T 0 ）（ 4）如果奇函數(shù) yf ( x) 滿足 f (T x) f (Tx

14、) （ T 0 ），則函數(shù) yf ( x) 是以 4T 為周期的周期性函數(shù)。如果偶函數(shù)yf ( x) 滿足 f (T x)f (Tx)（ T0 ），則函數(shù) yf (x) 是以 2T 為周期的周期性函數(shù)。定理 1：若函數(shù) f x在 R上滿足 f (ax)f ax ，且 f ( b x)fbx （其中 ab），則函數(shù) yf x 以 2 a b 為周期 .定理 2：若函數(shù) f x 在 R上滿足 f ( ax)f ax ，且 f (bx)f b x（其中a），則函數(shù) y f x 以 2 ab 為周期.b定理 3：若函數(shù) f x在 R 上滿足 f (ax)f ax，且 f (b x)fbx （其中 ab

15、），則函數(shù) yf x 以 4 a b 為周期 .定理 4：若函數(shù) f(x) 的圖像關(guān)于直線x=a 和 x=b 都對(duì)稱(chēng)，則 f(x) 是周期函數(shù)， 2（b-a）是它的一個(gè)周期（未必是最小正周期）。定理 5：若函數(shù) f(x) 的圖像關(guān)于點(diǎn)（ a,c）和(b,c)都成中心對(duì)稱(chēng)，則f(x)是周期函數(shù)， 2（b-a）是它的一個(gè)周期（未必是最小正周期） 。定理 6：若函數(shù) f(x) 關(guān)于點(diǎn)（a,c）和 x=b 都對(duì)稱(chēng)，則 f(x) 是周期，4（b-a）是它的一個(gè)周期（未必是最小正周期） 。定理 7：若函數(shù) f(x) 滿足 f(x-a)=f(x+a)(a>0), 則 f(x) 是周期函數(shù)， 2a 是它的一個(gè)周期。