因式分解的應(yīng)用與探究(帶答案)

1、6第十一節(jié)因式分解的應(yīng)用與探究1 21 2例1 （構(gòu)造求值型）已知例2 （構(gòu)造求值型）已知例3 （構(gòu)造求值型）已知: 6b+9的值。X+y=1,那么Wx xy 2y的值為； x2+2x+y2+ 6y+10=0,求 xy 的值.a= 10000, b=9999,求 a2 + b22ab6a+例4 （構(gòu)造求值型）計算：2 22 22222 （C） （a b） a 2ab b （ D） （a 2b）（a b） a ab 2b例10 （數(shù)形結(jié)合型）如圖，在邊長為 a的正方形中剪去一個邊長為b的小正方形（a>b）,把剩下的部分拼成一個梯形，分別計算這兩個圖形陰影部分的面積，驗證了公式 例11 （數(shù)

2、形結(jié)合型）請你觀察右下方圖形，依據(jù)圖形面積間的關(guān)系，不需要添加輔助線，便可得到一個你非常熟悉的公式, 是;218 219 220 ;例5 （探索規(guī)律型）觀察下列各式：12+ （ 1 X 2） 2 + 22= 9 = 32, 22+ （ 2X3） 2+32=49= 72, 32+ （ 3X 4） + 42= 169= 132,你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？請用含有n （n為正整數(shù)）的等式表示出來，弁說明其中的道理。例6 (探索規(guī)律型)閱讀下列因式分解的過程，再回答所提出的問題：1 + x + x (1 + x) +x (1 + x) 2= (1 + x) 1 + x + x (1+x) = (1+x)(1

3、+ x) = (1 + x) 3上述分解因式的方法是 ,共應(yīng)用了 次；若分解 1 + x+x （1+x） + x （1+x） 2+-+ x （1+x） 2004,則需應(yīng) 用上述方法 次，結(jié)果是;分解因式：1 + x + x （1+x） + x （1 + x） 2+-+ x （1 + x） n （n 為正 整數(shù)）.例7（開放創(chuàng)新型）多項式9x2+1加上一個單項式后, 使它能成為一個整式的完全平方，那么加上的單項式可以 是 （填上一個 你認為正確的即可）； 例8 （開放創(chuàng)新型）請你寫出一個三項式，使它能先 提公因式，再運用公式來分解.例9 （數(shù)形結(jié)合型）如圖，在邊長為 a的正方形中挖掉一個邊長為

4、b的 小正方形（a>b）,把余下的部分剪拼成一個矩形，通過計算兩個圖形（陰 影部分）的面積，驗證了一個等式，則這個等式是（）2222_2這個公式（A）a b（a b）（a b）（ b） （a b） a 2ab b例12 (數(shù)形結(jié)合型)有若干張如圖所示的正方形和長方形卡片，則 表中所列四種方案能拼成邊長為(a+b)的正方形的是()方案、量(張)(1)(2) (；(A)11 2(B)111(C)121(D)211b a例13 (數(shù)形結(jié)合型)如圖是用四張全等的矩形紙片拼 成的圖形，請利用圖中空白部分的面積的不同表示方法寫出 一個關(guān)于a、b的恒等式;例14 (數(shù)形結(jié)合型)給你若干個長方形和正方形

5、的卡片，如圖所示， 請你運用拼圖的方法，下載相應(yīng)的種類和數(shù)量的卡片，拼成一個矩形，使 它的面積等于a2 + 5ab + 4b2,弁根據(jù)你拼成的圖形分解多項式a2+ 5ab+ 4b2.課堂練習(xí)一、選擇題：_ 101_ 1001 .計算(2)(2)結(jié)果為()(A) 2100 (B) 2 (C) 0 (D) 21002 .已知4x2 x m是一個關(guān)于x的完全平方式，則 m的值為()1(A) 4 (B) ±4(0 16 (D) 163. 已知4x2 1 mx是一個關(guān)于x的完全平方式，則 m的值為()(A) 4 (B) -4(C) 16 (D) ± 44. 設(shè) m= 2002+200

6、1 X 2002+2001 X 20022+ 2001 x 20022000, n =200220。1,則正確的關(guān)系是()(A) m= nX2001 (B) m= n (C) m= n + 2002 (D) m= n+2002、填空題:5. 已知x、y為正整數(shù)，且x2=y2+ 37,則x =6. 方程x2-y2=29的整數(shù)解7. 有若干個大小相同的小球一個挨一個擺放，剛好擺成一個等邊三角形(如圖 1);將這些小球換一種擺法，仍一 個挨一個擺放，又剛好擺成一個正方形(如圖2),則這種小球最少有 一個；圖1圖2三、解答題：20023 2 20022 2000計算：20023 20022 2003

7、；8. 求 x2 4xy + 5y2-2y + 2004 的最小值.9. 觀察：1X2X3X4+1 = 52, 2X3X4X5+1 = 112, 3X4X5X6+1 = 19?,請寫出一個具有普遍性的結(jié)論，弁給出證明；根據(jù)，計算2000X2001 X2002X2003+1的結(jié)果(用一個最簡式 子表示).一個自然數(shù)a恰等于另一個自然數(shù)b的平方，則稱自然數(shù)a為完全平 方數(shù)，如64=82, 64就是一個完全平方數(shù).若 a =20022+ 20022X 20032 + 20032,求證：a是一個完全平方數(shù)，弁寫出 a的平方根.公園長椅上坐著兩位白發(fā)蒼蒼的老人，旁邊站著兩個年輕人，他們在 交談，老人說：

8、“我們倆的年齡的平方差是 195”不等老人說完，青年 人就說：“真巧，我們倆年齡的平方差也是195?！边@時一對中年夫婦也湊過來說：“真是巧極了，我們倆年齡的平方差也是195現(xiàn)在請你想一想，這三對人的年齡各是多少？其實符合年齡平方差為195的應(yīng)有4對，如果你有余興，不妨把第4對人的年齡也找出來。答案：一、選擇題：1011001 .【橋西0102】計算(2)( 2)結(jié)果為(D)(A) 2100 (B) 2 (C) 0 (D) -21002. 已知4x2 x m是一個關(guān)于x的完全平方式，則 m的值為(C)1(A) 4 (B) ±4(0 16 (D) 163. 已知4x2 1 mx是一個關(guān)于

9、x的完全平方式，則 m的值為(D) (A) 4 (B) -4(C) 16 (D) ± 44. 【重慶 02 競賽】設(shè) m= 2002+2001X 2002+2001X 20022+ 十 2001 X20022000, n=20022001,則正確的關(guān)系是(B)(A) m= nX2001 (B) m= n (C) m= n + 2002 (D) m= n+2002二、填空題：5. 【橋西0203已知x、y為正整數(shù)，且x2= y2+37,則x =/9; x 15 x 156. 方程x2-y2=29的整數(shù)解為y 14, y 14 ;有若干個大小相同的小球一個挨一個擺放，剛好擺成一個等邊三角

10、形 (如圖1);將這些小球換一種擺法，仍一個挨一個擺放，又剛好擺成一個 正方形(如圖2),則這種小球最少有 36 個;圖1圖2三、解答題：3220022 200220007. 計算： 20023 20022 2003 ; 32220022 2002200020022000 2000解：原式=20023 20022 2003 = 20022 2003 2003一 一 一2一2000(20021)2000-_2T LT=2003(20021)20038. 求 x2 4xy + 5y2-2y + 2004 的最小值.解：原式=(x-2y) 2+ (y- 1) 2+2003,.當x=2, y= 1時，

11、原式取得最小值 2003.9. 【黃岡02競賽，橋東0304】觀察：2221X2X3X4+1 = 5, 2X3X4X5+1=11, 3X4X5X6+1=19,請寫出一個具有普遍性的結(jié)論，弁給出證明；根據(jù)，計算2000X2001 X2002X2003+1的結(jié)果(用一個最簡式 子表示).解：結(jié)論：n (n + 1) (n+2) (n+3) +1= (n2+3n+1) 2,證明：n (n+1) (n + 2) (n + 3) + 1 2，2=(n2+ 3n) (n2+3n+2) + 1=(n+3n) +2 (n+3n) +1=(n2+ 3n+ 1) 2;2000X2001 X2002X 2003+

12、1= (20002+3X2000+ 1) 2=40060012;10.一個自然數(shù)a恰等于另一個自然數(shù)b的平方，則稱自然數(shù)a為完全平方數(shù)，如 64 = 82, 64就是一個完全平方數(shù).若 a= 20022+ 20022X 20032+ 20032,求證：a是一個完全平方數(shù)，弁寫出 a的平方根.解：先從較小的數(shù)字探索：a1= 12+ 12X 22 + 22= 32= ( 1 X 2+ 1 ) 2,a2= 22 + 22x 32 + 32= 72= ( 2 X 3+ 1) 2,a3= 32 + 32x 42 + 42= 132= ( 3X 4+ 1) 2,24=4+4X5+5=21= (4X5+1)

13、,于是猜想：a= 20022+ 20022X 20032 + 20032= (2002X2003+ 1) 2= 2( 4010007) 2，證明采用配方法(略)推廣到一般，若n 是正整數(shù)，則a= n2+ n2 (n+ 1) 2+ ( n+ 1) 2是一個完全平方數(shù)n (n+ 1) + 1 2.解題策略：猜想是數(shù)學(xué)中重要的思想和方法之一。較大的數(shù)字問題可仿較小數(shù)字問題來處理，實現(xiàn)了以簡馭繁的策略。在解題時，如果你不能解決所提出的問題，可先解決“一個與此有關(guān)的問題”。你能不能想出一個更容易著手的問題？一個更普遍的問題？一個更特殊的問題？你能否解決青年人就說：也湊過來說：“真巧，我們倆年齡的平方差也是“真是巧極了，我們倆年齡的平方差也是一想， 這三對人的年齡各是多少？其實符合年齡平方差為如果你有余興，不妨把第4 對人的年齡也找出來。解：由 x2y2=195=3X5X 13,可得195195。 ”這時一對中年夫婦這個問題的一部分？這就是數(shù)學(xué)家解題時的“絕招”11 公園長椅上坐著兩位白發(fā)蒼蒼的