不等式的性質(zhì)

1、最新高考數(shù)學(xué)分類專題學(xué)案（附經(jīng)典解析）不等式不等式本章知識結(jié)構(gòu)圖簡單的線性規(guī)劃飛尸+色一a尸：構(gòu)造兩點間的距離應(yīng)用題1= |flx + 6y + u| :歸結(jié)為一次型或點線距離型基本不等式證明和定值，積最大；積定值，和最小應(yīng)用時注意：一正二定三相等最值問題_不等式的性質(zhì)1借助二次函數(shù)的圖象三個二次的關(guān)系幾何意義：占是直線0需+ fry十C = 0在軸一元二次不等式上截距的t倍，在y軸上截距的&倍可行域-I = mx + by :構(gòu)造一次函數(shù)z丄丄：構(gòu)造斜率X a第一節(jié)不等式的性質(zhì)考綱解讀1. 了解現(xiàn)實世界和日常生活中的不等關(guān)系，了解不等式（組）的實 際背景.2. 掌握不等式的性質(zhì)及其應(yīng)

2、用，明確各個性質(zhì)中結(jié)論成立的前提條 件，理解絕對值不等式的性質(zhì).命題趨勢探究高考中單純考查不等式性質(zhì)的題目不多， 但不等式知識幾乎可以滲透 到高考的每一個考點.不等式的性質(zhì)是進行不等式變形、證明以及解 不等式的依據(jù)，所以它仍是高考的一個重點內(nèi)容.主要考查一下幾 點：依據(jù)給定的條件，利用不等式的性質(zhì)判斷不等式或與證明不等 式有關(guān)的結(jié)論是否成立；利用不等式的性質(zhì)與實數(shù)和函數(shù)的性質(zhì)相 結(jié)合，進行大小比較；判斷不等式中條件與結(jié)論之間的關(guān)系，是充 分條件、必要條件還是充要條件；求參數(shù)的取值范圍；證明不等 式時往往使用不等式的推出特征，而解不等式時，則要求同解變形 從命題的趨勢來看，預(yù)測今年本專題在高考中

3、會有如下動向：（1）對不等式性質(zhì)的考查一般不會直接命題，往往與其他知識相結(jié) 合，如與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、數(shù)列等結(jié)合.（2）若直接命題，則通常比較容易，會出現(xiàn)在選擇題或填空題中，若與其他知識相結(jié)合，則有可能在解答題中出現(xiàn)，作為求解或證明的 一個步驟，為中檔難度題.知識點精講一、基本概念不等關(guān)系與等量關(guān)系一樣，也是自然界中存在的基本數(shù)量關(guān)系， 他們 在現(xiàn)實世界和日常生活中大量存在.不等關(guān)系建立在表示數(shù)量的代 數(shù)式之間，可以是常量、變量及稍復(fù)雜的代數(shù)式.用不等號（如“ <“A”，“n “H”等）連接的式子叫做不等式，其中“ V”或“A” 連接的不等式叫做嚴格不等式；用“三”或 鼻”連接的不等式

4、叫做非嚴 格的不等式.不等式可分為絕對值不等式（不論用什么實數(shù)代替不等 式中的字母，不等式都成立）、條件不等式（只能用某些范圍內(nèi)的實 數(shù)代替不等式中的字母，不等式才能夠成立）和矛盾不等式（不論用 什么樣的實數(shù)代替不等式中的字母，不等式都不能成立）.一、基本性質(zhì)不等式的性質(zhì)是證明和解不等式的主要依據(jù).運用時，對每一條性質(zhì) 要弄清條件和結(jié)論，注意條件加強和放寬厚條件和結(jié)論之間的變化； 不僅要記住不等式運算法則的結(jié)論形式，還要掌握法則成立的條件， 避免由于忽略某些限制條件而造成解題失誤.1. 兩個不等式的同向合成，一律為“（充分不必要條件）（1） 乩>乩5>（傳遞性，注意找中間量）（2）

5、乩+ （同向可加性）最新高考數(shù)學(xué)分類專題學(xué)案(附經(jīng)典解析)(3) 口 > > 0匸 > 起> IT => ttc > td卜(同正可乘性，注意條件為正) 注：如E責(zé)#37,其逆命題不成立，如K繪蠶但是噩；.a-fc» = O«G = t；a-t<Ot=>a< b;俚-D：>Oua>b.d- > b <10-(對稱性)fl. > b. r > 0 今 EC A bc(f > ft)(乘正保號性)fl.>hr<Oflc< bc(c < ft)乩> 巨R

6、u 口+c >山+ £(不等量加等量)迂少當漿A刖A® (乘方保號性，注意條件為正) ar>b>O.nEir*(開方保號性，注意條件為正)2. 一個不等式的等價變形，一律為“O”(充要條件)，這是不等式解 法的理論依據(jù)(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)fl=>»<» (同號可倒性)； >；.最為重要的3條不等式性質(zhì)為：+<>&+曲； a> b > 0,c > d > 0 => tic > bd > 0 :> b.M >0 M j，在不等式

7、問題中都有重要的應(yīng)用，但應(yīng)注意他們的適用條件，可以用口訣“同向同正 可乘；同號取倒需反向”來記憶.題型歸納及思路提示題型88不等式的性質(zhì)思路提示應(yīng)用不等式的基本性質(zhì)，不能忽視其性質(zhì)成立的條件，解題時要 做到言必有據(jù)，特別提醒的是在解決有關(guān)不等式的判斷題時， 有時可 用特殊值驗證法，以提高解題的效率.例7.1對于實數(shù)譏疋，有以下命題：若e方，則hxH；若仗嚴Ab嚴， 則Qh；若xbvo則化二口心 ;若c>Q>2?>iO，貝亡A士 ；若貝卩長>聯(lián)<'0'.其中真命題的個數(shù)是()A. 2個B. 3個C. 4個D. 5個分析：判斷命題的真假，要緊扣不等式的

8、性質(zhì)，應(yīng)注意條件與結(jié)論最新高考數(shù)學(xué)分類專題學(xué)案（附經(jīng)典解析）之間的聯(lián)系.解析：中匚值的正負或是否為零未知，因而判斷不等關(guān)系缺乏依據(jù)， 故該命題是假命題；中，由辺hA阮衛(wèi)可知，£0則化Ab,故該命題 是真命題；中HVbvD，不等式兩邊同乘nfttCO），可得，若同 乘&（2? 0），可得航e滬，易知成立，故該命題為真命題；中，由c>a>b> 0可 知 Dya-bVc-b，故有> 0，又因 a > 6 >0，由“同7rCi77向同正可乘”性可知 丄丄成立.故該命題為真命題；中，由已知C d CfiS>0，因為 b oVQ,故 fl&

9、;VO,又口，所以 a.>O.h <'0，故該命題為真命題.綜上所述，都是真命題，故選 C. 評注：準確記憶各性質(zhì)成立的條件，是正確應(yīng)用的前提.在不等式的 判斷中，特殊值法是非常有效的方法，如變式3.)D.變式1設(shè)出心，若"劇0,則下列不等式中正確的是（A. fr C- 0B. 口自+0' t0'C. b + aAOfl."臚 lOB. nB" < ab變式2設(shè)出®是非零實數(shù)，若 xb，則下列不等式中成立的是（）D. !；A.變式3若則下列結(jié)論中正確的是（»中和A僉均不成立B.士 Af和僉 僉均不成立C

10、.不等式七»和仏*£）（1?*9均不成立D.不等式金A擊和仏闿A （b*均不成立變式4若0叫 屯川cb 婦，且叫+衍=?1+g = l，則下列代數(shù)式中值 最大的是B. 口賣盹+山屍C. 2町十口2卜1D. I題型89比較數(shù)（式）的大小與比較法證明不等式思路提示比較數(shù)（式）的大小常用的方法有比較法、直接應(yīng)用不等式的性質(zhì)、 基本不等式、利用函數(shù)的單調(diào)性.比較法又分為作差比較法和作商比較法.作差法比較大小的步驟是：（1）作差；（2）變形；（3）判斷差式與0的大?。唬?）下結(jié)論. 作商比較大?。ㄒ话阌脕肀容^兩個正數(shù)的大?。┑牟襟E是：（1）作商；（2）變形；（3）判斷商式與1的大?。?/p>

11、（4）下結(jié)論. 其中變形是關(guān)鍵，變形的方法主要有通分、因式分解和配方等，變形 要徹底，要有利于0或1比較大小.作差法是比較兩數(shù)（式）大小最為常用的方法，如果要比較的兩數(shù)（式） 均為正數(shù)，且是幕或者因式乘積的形式，也可考慮使用作商法，作商 法比較大小的原理是： 若口 >D,£?AF，貝吐 >100>乩；£=lQb = a；若eWlbcO，貝y2>lQ0Va.;2=lnb = a;fl.7 fl7 fl7例7.2若乩>6>0且紐乎*，試比較氏"護與讓+茂妒的大小.解析：解法一：+滬+血號=（莊+切- ab +胡）-血 +由）=仗+

12、b尸，因為fluftao且a # &，所以（左+時儀一勺尸>0，所以此*+滬A亦b + a滬.解牛法一：4曲曲=二h + i，因為氏力AO且a.b任工方，所以 + 1 Al,又屮a +應(yīng)護>0,所以a.-b>（L"bfLb"變式1若x<y<'Q，試比較+訐）（蠶一7）與（滬-尸）（工+刃的大小 變式2設(shè)gABaO且比工占，試比較譏五與站刖的大小例7.3在銳角中，若函數(shù)y = /V）在1上單調(diào)遞減，貝y下列命題 中正確的是（）A. fcosA） > fleas fit）B. fCdmA） A 代血的C.ffcos SyD.

13、rCdn那 UfWosJ?）解析：因為在銳角a ABE中有-CA + flCuOC- .fi<j4<-,由y = siiijr在232仙自上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以5mA > sn（| 5）= cos5 , 又函數(shù)y = fe在曲1上單調(diào)遞減，所以f（血QU"遜5），故選D.變式1已知函數(shù)只力是衛(wèi)上的偶函數(shù)，且在區(qū)間也+00）上是增函數(shù)，令1=代血年対=風(fēng)00£乎12幾1311晉），貝J（B. c <b <0.C. b <c <0.A. b <itz< cD. a.< b < c 變式2 已知函數(shù)f儀=才4工兀竝

14、，場匡乩監(jiān)+也 山咒玄+卻 O/g +Jti <0 , 那么的值（）C.等于0B. 一定小于0A. 一定大于0D.確定題型90已知不等式的關(guān)系，求目標式的取值范圍思路提示在約束條件下求多變量函數(shù)式的范圍時， 不能脫離變量之間的約 束關(guān)系而獨立分析每個變量的范圍， 否則會導(dǎo)致范圍擴大，而只能建 立已知與未知的直接關(guān)系.例7.4已知一 1 <Jr-fl-y <4，且2<-y<3，貝血=2x - 3y的取值范圍是.解析：解法一：令譽=2葦-羅=口儀+50 + i7O-y）得，；廣fl篤，解得a =-上ifr =-2 2-即2 = ；a +刃+2鷲-y).由一l<j

15、r + y<12<x-y<3 得ApO2x-y-+l=OR_x+v-40x-Jv=z *最有效訓(xùn)練題261.女口果口上滿足，且ctc<0', ()A. ah > arlie (a c3 < 0B. c(b - G.) > 0(限時45分鐘)那么下列選項中不一定成立的是C.(:滬< m滬D.最新高考數(shù)學(xué)分類專題學(xué)案(附經(jīng)典解析)2 < + y) U扌5今(井一刃< 8，所以3屹切< 8 . 覘= 2x-3y的取值范圍是(3,辱解法二：本題還可以利用“線性規(guī)劃”的方法求解 . 如圖7-1所示，當直線Z = 2x 3y過點&#

16、163;時，2取最大值， 點A的坐標為(1,-2),所以為取=B；當直線J = 2x-3y 過點B時，M取最小值，當B的坐標為衛(wèi)，所以備決=3, 又本題不取邊界，因此的取值范圍是 a 3).x-5-2=0k-y-3=0評注：不能求出獨立的竝y范圍內(nèi)，簡單利用不等式性質(zhì)求解，可結(jié)合 后面線性規(guī)劃理解并求解.變式1已知代© = 且，7寸求f的范圍.變式2設(shè)B為實數(shù)，滿足3蠱哪&4<¥<9,貝y壬的最大值 是.最新高考數(shù)學(xué)分類專題學(xué)案（附經(jīng)典解析）已知譏迂R,下列四個條件中，使得應(yīng)R成立的必要而不充分條件（）A. ffi>Z? 1B. tt>6 +

17、 l C. |ti| > |fr|7.已知四個條件：卩V & <咔E推出牛 < 牛成立的有_2.設(shè)fl<i<a<l,貝y下列不等式中成立的是（）A. ffif? < < 1 B. Iogi2i <logi Q < 0C. Z撲 < 2図 < 1D.a7 < ab < I3.已知血bm亡昶晏，并且ci<b ,那么一定成立的是（D.fl-fn _ i < - t5 TTl dA.竽<7B.護藝C.嚴疋jj-l-m iS+mb-m b4. 若為乩£為實數(shù)，貝y下列命題中正確的是（）A.若口 >占，貝 J 3* AB.若gV&vo，貝y d" > di? > fr"C.若則詁i D.若xbco,則*f5. 若亦+矽AO，貝y篇一丁的值是