備考之相似三角形壓軸題(附考點卡片)

1、備考2017之相似三角形壓軸題（一）（附考點卡片）1. （2015?武漢）如圖， ABC,AEFG均是邊長為2的 等邊三角形，點D是邊BC EF的中點，直線AG、FC相交于點M 當 EFG繞點D旋轉時，線段BM長的最小值是（A. 2-品)B.好1C 邁 D. J1- 1AGDF2. （2016?閔行區(qū)二模）如圖，已知在 ABC中，AB=AC=6H.點D在邊AB上，且AD=2,聯(lián)結CD交AH于點E.AH丄BC,垂足為點（1）如圖1,如果AE=AD,求AH的長；（2）如圖2,0A是以點A為圓心，AD為半徑的圓，交AH于點F.設點P為邊BC上一點，如果以點P為圓心，BP為半徑的圓與O A外切，以點P

2、為圓心，CP 為半徑的圓與O A內切，求邊BC的長；（3）如圖3,聯(lián)結DF.設DF=x ABC的面積為y,求y關于x的函數解析式,并寫出自變量x的取值范圍.3. (2016?江都區(qū)二模)如圖， ABC和 DEF均是邊長為4的等邊三角形，DEF的頂點D為 ABC的一邊BC的中點， DEF繞點D旋轉，且邊分別交 ABC的邊AB AC于點H、G,圖中直線BC兩DE始終側的圖形關于直線BC成軸對稱.連結HH、HG、H，其中HH、GG分別交BC于點I、J.(1)求證： DHBA GDC(2)設CG=x四邊形HH G的面積為y, 求y關于x的函數解析式和自變量x的取值范圍. 求當x為何值時，y的值最大，最

3、大值為多少？DF、GG、0B=6, BC=12 / ABC+4. (2012?徐匯區(qū)校級模擬)在 OAC中，/ AOC=90, / C=90, M、N分別在線段 AB AC上.(1)填空：cosC=(2)如圖1,當AM=4，且 AMN與 ABC相似時， AMN與 ABC的面積比(3)如圖2,當MN / BC時，將 AMN沿MN翻折，點A落在四邊形BCNM所 在平面的點為點 E, EN與射線AB交于點F,設MN=x, EMN與 ABC重疊部分的面積為y,求y關于x的函數解析式，并寫出自變量的取值范圍.圉15. （2006?韶關）如圖，在 ABC中，AB=AC E是高AD上的動點，F是點D關 于點

4、E的對稱點（點F在高AD上，且不與A, D重合）.過點F作BC的平行線與AB交于G,與AC交于H,連接GE并延長交BC于點I，連接HE并延長交BC于點J,連接GJ, HI.（1）求證：四邊形GHIJ是矩形;（2） 若 BC=10, AD=6,設 DE=x S矩形 GHIJ=y.求y與x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；點E在何處時，矩形GHIJ的面積與 AGH的面積相等?C6. （2002?湖州）已知，如圖，四邊形 ABCD是矩形，AB=1,AD=2, M 是 CD邊上一點（不與C、D重合）,以BM為直徑畫半圓交AD于E、F,連接 BE, ME.(1)求證：AE=DF(2)求證： AEB

5、A DME;（3）設AE=x四邊形ABMD的面積為y,求y關于x的函數關系式和自變量的得到 A CD 如圖(2), A D< AB7. （2008?濱州）如圖（1）,已知在 ABC中，AB=AC=10 AD為底邊BC上的高, 且AD=6.將 ACD沿箭頭所示的方向平移，于E, A分別交AB、AD于G、F.以DD為直徑作O O,設BD的長為x,O O的面積為y.（1）求y與x之間的函數關系式及自變量x的取值范圍;（2）連接EF,求EF與O O相切時x的值;(3) 設四邊形ED D的面積為S,試求S關于x的函數表達式，并求x為何值時,S的值最大，最大值是多少?F4S 2Z 一D C圖28 (

6、2016?煙臺)【探究證明】(1) 某班數學課題學習小組對矩形內兩條互相垂直的線段與矩形兩鄰邊的數量 關系進行探究，提出下列問題，請你給出證明.如圖1,矩形ABCD中, EF丄GH, EF分別交AB, CD于點E, F, GH分別交AD, BC于點G，H.求證：齧詈；【結論應用】的值為(2)如圖2,在滿足(1)的條件下，又 AM丄BN,點M , N分別在邊BC, CD 上，若語噲，則帶【聯(lián)系拓展】(3)如圖 3,四邊形 ABCD中，/ ABC=90, AB=AD=1Q BC=CD=5 AM 丄 DN，點M , N分別在邊的值.BC, AB上，求CDNAM9. (2016?揚州)如圖， ABC

7、和 DEF 中，AB=AC DE=DF / A=/ D.(1)O求證：匹巫；AB DE由(1)中的結論可知，等腰三角形ABC中，當頂角/ A的大小確定時，它 的對邊(即底邊BC)與鄰邊(即腰AB或AC)的比值也就確定，我們把這個比 值記作T (A),即T (A)=今鷲鸞愍)憲，如T (60° =1.厶的鄰辺(腰)AB理解鞏固：T (90°) =_, T (120° =_，若a是等腰三角形的頂角，則T(2)(a)的取值范圍是學以致用：如圖2，圓錐的母線長為9，底面直徑PQ=8,一只螞蟻從點P沿著圓錐的側面爬行到點Q,求螞蟻爬行的最短路徑長(精確到(參考數據：T (1

8、60° 1.97, T (80° 1.29, T (40° 0.68)10. (2016?安徽)如圖1，A，B分別在射線OM, ON上，且/ MON為鈍角，現 以線段OA, OB為斜邊向/ MON的外側作等腰直角三角形，分別是 OAP,AOBQ,點C, D, E分別是OA, OB, AB的中點.(1)求證： P CEA EDQ;(2)延長PC, QD交于點R.如圖2,若/ MON=150，求證： ABR為等邊三角形;11. (2016?富順縣校級一模)女口圖，在 RtAABC中，/ ACB=90, AC=3, BC=4,過點B作射線BBi/ AC.動點D從點A出發(fā)

9、沿射線AC方向以每秒5個單位的速度運動，同時動點E從點C沿射線AC方向以每秒3個單位的速度運動過點D 作DH丄AB于H,過點E作EF丄AC交射線BB于F, G是EF中點，連接DG設點D運動的時間為t秒.(1)當t為何值時，AD=AB并求出此時DE的長度;(2)當 DEG與 ACB相似時，求t的值.12.(2016?壽光市校級模擬)如圖，已知 ED/ BC / EAB=/ BCF(1)四邊形ABCD為平行四邊形；(2)求證：Off=OE?OF(3)連接 OD,若/ OBC=/ ODC 求證：四邊形ABCD為菱形.13. (2016?丹東模擬)已知點 E在ABC內，/ ABC=Z EBD=a, /

10、 ACB=/ EDB=60, / AEB=150, / BEC=90.(1)當 a =60° (如圖 1), 判斷 ABC的形狀，并說明理由; 求證：BD話AE;(2)當a =90時(如圖2),求詈的值.CS圖114. (2016?市北區(qū)一模)如圖，在 ABC中，AD是BC邊上的中線，過點 A作AF/ BC,且AF專BC,連接BF BF,線段BF與AD相交于點E.求證：E是AD的中點；若AB丄AC,試判斷四邊形ADCF的形狀，并證明你的結論.(1)(2)15. (2016?桐城市模擬)小明和幾位同學做手的影子游戲時， 發(fā)現對于同一物體, 影子的大小與光源到物體的距離有關. 因此，他們

11、認為：可以借助物體的影子長度計算光源到物體的位置.于是，他們做了以下嘗試.LIIC D(1) 如圖1,垂直于地面放置的正方形框架 ABCD,邊長AB為30cm,在其正上 方有一燈泡，在燈泡的照射下，正方形框架的橫向影子AB D C的長度和為 6cm.那么燈泡離地面的高度為(2) 不改變圖1中燈泡的高度，將兩個邊長為30cm的正方形框架按圖2擺放,請計算此時橫向影子A，DC勺長度和為多少？(3) 有n個邊長為a的正方形按圖3擺放，測得橫向影子A，D C勺長度和為 b,求燈泡離地面的距離.(寫出解題過程，結果用含 a, b, n的代數式表示)16. （2016?啟東市一模）如圖，在 RtAABC中

12、，/ C=90°, AC=4cm BC=5cm D是BC邊上一點，CD=3cm 點P為邊AC上一動點(點P與A、C不重合)，過點P作PE/ BC,交AD于點E.點P以1cm/s的速度從A到C勻速運動.(1) 設點P的運動時間為t (s), DE的長為y (cm),求y關于t的函數關系式, 并寫出t的取值范圍;(2)當t為何值時，以PE為半徑的O E與以DB為半徑的O D外切？并求此時/ DPE的正切值；(3)將 ABD沿直線AD翻折，得到 AB ,連接B'C如果/ ACE玄BCB,求t的值.CDP遇C&D £17. (2016?蘇州一模)如圖，在矩形 ABC

13、D中，AB=3, BC=4動點P從點A出發(fā) 沿AC向終點C運動，同時動點Q從點B出發(fā)沿BA向點A運動，到達A點后立 刻以原來的速度沿AB返回.點P, Q運動速度均為每秒1個單位長度，當點P到達點C時停止運動，點Q也同時停止.連結PQ,設運動時間為t (t> 0)秒.(1) 求線段AC的長度;D(2) 當點Q從B點向A點運動時(未到達A點),求APQ的面積S關于t的 函數關系式，并寫出t的取值范圍；(3)伴隨著P, Q兩點的運動，線段PQ的垂直平分線為I:當I經過點A時，射線QP交AD于點E,求AE的長； 當I經過點B時，求t的值.18. (2017?莘縣一模)如圖，RtAABC中，/ C

14、=90°, BC=8cm, AC=6cm 點 P從B出發(fā)沿BA向A運動，速度為每秒1cm，點E是點B以P為對稱中心的對稱點， 點P運動的同時，點Q從A出發(fā)沿AC向C運動，速度為每秒2cm，當點Q到達 頂點C時，P, Q同時停止運動，設P, Q兩點運動時間為t秒.A(1)當t為何值時，PQ/ BC?(2) 設四邊形PQCB的面積為y,求y關于t的函數關系式;(3) 四邊形PQCB面積能否是 ABC面積的営？若能，求出5此時t的值；若不能，請說明理由；(4) 當t為何值時， AEQ為等腰三角形？(直接寫出結果)19. (2016?開平區(qū)二模)如圖， ABC是等邊三角形，AB=4cm, C

15、D丄AB于點D， 動點P從點A出發(fā)，沿AC以2cm/s的速度向終點C運動，當點P出發(fā)后，過點P作PQ/ BC交折線AD- DC于點Q,以PQ為邊作等邊三角形PQR設四邊形 APRQ與 ACD重疊部分圖形的面積為S (cm2)，點P運動的時間為t (s).(1)當點Q在線段AD上時，用含t的代數式表示QR的長;(2) 求點R運動的路程長;(3) 當點Q在線段AD上時，求S與t之間的函數關系式;(4) 直接寫出以點B、Q、R為頂點的三角形是直角三角 形時t的值.20. （2015?長樂市一模）如圖，矩形 ABCD中，AB=3, BC=2點M在BC上，連 接AM，作/ AMN=/ AMB，點N在直線

16、AD上, MN交CD于點E(1)求證： AMN是等腰三角形;求BM?AN的最大值;當M為BC中點時，求ME的長.PQ為邊向右作正方形P QMN，（1） C點的坐標為21. （2016?高港區(qū)一模）如圖，平面直角坐標系中，菱形 OABC的邊OA在x軸 正半軸上，OA=10, cos/ COA=-.一個動點P從點0出發(fā)，以每秒1個單位長5度的速度沿線段0A方向運動,過點P作PQX OA,交折線段OC- CB于點Q,以點N在射線0A上，當P點到達A點時，運動結，當t=時N點與A點重合；（2）在整個運動過程中，設正方形 PQMN與菱形OABC的重合部分面積為S,直接寫出S與t之間的函數關系式和相應的自

17、變量t的取值范圍；（3）如圖2,在運動過程中，過點 0和點B的直線將正方形PQMN分成了兩部分，請問是否存在某一時刻，使得被分成的兩部分中有一部分的面積是菱形面積 的?。咳舸嬖?，請求出對應的t的值；若不存在，請說明理由.22. （2016?天橋區(qū)一模）等邊 ABC的邊長為2, P是BC邊上的任一點（與B、 C不重合）設BP=x連接AP,以AP為邊向兩側作等邊 APD和等邊APE分 別與邊AB AC交于點M、N.（如圖1）.（1）求證：AM=AN;（2）若BM制，求x的值；（3）求四邊形ADPE與 ABC重疊部分的面積為S與x之間的函數關系式及S的最小值;（4）如圖2,連接DE分別與邊AB、AC

18、交于點G, H,當x為何值時，/ BAD=15 .EQ, QR交折線AC- CB于R （如圖1）,當點Q以每秒2個單位向終點B移動時,沿AB- BC- CA移動，設移動時間為23. （2016?淮陰區(qū)一模）在 RtAABC中，/ C=90°, AB=10, AC=8 點 Q在 AB上, 且AQ=2,過Q做QRX AB,垂足為點P同時從A出發(fā)，以每秒6個單位的速度 t秒（如圖2）.(1)求 BCQ的面積S與t的函數關系式.(2)t為何值時，QP/ AC?(3)t為何值時，直線QR經過點P?當點P在AB上運動時，以PQ為邊在AB上方所作的正方形 PQMN在Rt ABC內部，求此時t的取值

19、范圍.24. (2016?射陽縣二模)如圖1,點C在線段AB上, DC丄AB于點C，且AC=DC點E在線段DC上，且CE=CB(1)求證： ACEA DCB(2) 如圖2,延長BE至U F，使DF/ AB,連接CF,當CD=2CE時，求證：AE丄CF；(3) 如圖3,延長BE到f，使DF/ AB,連接AF,若CD=nCE(n> 1)時，設AEF的面積為$, BDE的面積為S2,試探究S1與®之間的數量關系，并說明 理由.A25. （2016?東城區(qū)二模）【問題】在 ABC中，AC=BC / ACB=90,點E在直線BC上（ B，C除外），分別經過點E和點B作AE和AB的垂線，兩

20、條垂線交于點 F,研究AE和EF的數量關系. 【探究發(fā)現】某數學興趣小組在探究 AE, EF的關系時，運用 從特殊到一般”的數學思想，他 們發(fā)現當點E是BC的中點時，只需要取AC邊的中點G （如圖1），通過推理證 明就可以得到AE和EF的數量關系，請你按照這種思路直接寫出 AE和EF的數量關系；【數學思考】 那么當點E是直線BC上（B，C除外）（其它條件不變），上面得到的結論是否仍 然成立呢？請你從 點E在線段BC上”；點E在線段BC的延長線” 點E在線 段BC的反向延長線上”三種情況中，任選一種情況，在圖2中畫出圖形，并證明 你的結論;【拓展應用】當點E在線段CB的延長線上時，若 BE=nB

21、C（Ov n< 1），請直接寫出Sabc：壓圖1AEF的值.F26. (2017?任城區(qū)一模)小明一直對四邊形很感興趣，在矩形 ABCD中, E是AC 上任意一點，連接DE,作DEX EF,交AB于點F.請你跟著他一起解決下列問題：(1)如圖，若AB=BC則DE, EF有什么數量關系？請給出證明.(2)如圖，若/ CAB=30,則DE EF又有什么數量關系？請給出證明.(3)由(1)、(2)這兩種特殊情況，小明提出問題：如果在矩形ABCD中，BC=mAB那DE, EF有什么數量關系？請給出證明.RtAABC中，/ C=90°, AB=5cm, AC=4cm同時點Q從點A出發(fā)沿A

22、C向C勻速運動，已知27. (2016?利辛縣模擬)如圖， 如點P由點B出發(fā)向點A勻速運動, 它們的速度均為1cm/s，連接PQ，設運動時間為t (單位：s) (0<t <4).(1)當t何值時，PQ/ BC?(2) 設AQP面積為S(單位cm2)，當t為何值時，S取最大值，并求出最大值.(3) 是否存在某個時刻t，使線段PQ把 ABC面積平分？若存在，求出此時t 28. (2016?鎮(zhèn)江二模)如圖，在平面直角坐標系中，已知點A(0, 6), B(8, 0).點 P從A點出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿AO運動；同時，點Q從0出發(fā)，以每 秒2個單位的速度沿OB運動，當Q點到達B點時，P

23、、Q兩點同時停止運動.(1) 求運動時間t的取值范圍;(2) 整個運動過程中，以點P、0、Q為頂點的三角形與RtAA0B有幾次相似?請直接寫出相應的t值.(3) t為何值時， P0Q的面積最大？最大值是多少?29. (2016?邵陽縣一模)在 RtAABC 中，/ ACB=90, AC=6 BC=8 點 D 為邊CB上的一個動點(點 D不與點B重合)，過D作DE丄AB,垂足為E,連接AD， 將DEB沿直線DE翻折得到 DEF點B落在射線BA上的F處.(1)求證： DEBA ACB(2) 當點F與點A重合時(如圖)，求線段BD的長；(3) 設BD=x, AF=y,求y關于x的函數解析式，并判斷是

24、否存在這樣的點 D,30. (2016?鞍山一模)如圖，射線BD是/ MBN的平分線，點A、C分別是角的 兩邊BM、BN上兩點，且AB=BC E是線段BC上一點，線段EC的垂直平分線交射線BD于點F,連結AE交BD于點G,連結AF、EF FC(1)求證：AF=EF(2)求證： AGF BAF;(3) 若點P是線段AG上一點，連結BP, 若/PBG寺/ BAF, Ag心,求|BC EF的中點，直線C.邁 D.1【考點】旋轉的性質;的性質;勾股定理；相似三角形的判定與性質.【專題】壓軸題.2017.1.25相似三角形綜合題（一）參考答案與試題解析選擇題（共1小題）1.（2015?武漢）如圖， AB

25、C,AEFG均是邊長為2的等邊三角形，點 D是邊AG、FC相交于點M 當 EFG繞點D旋轉時，線段BM長四點共圓；線段的性質：兩點之間線段最短；等邊三角形【分析】取AC的中點0,連接AD、DG、BO、OM,如圖，易證 DAGA DCF，則有/ DAG= DCF從而可得A、D、C、M四點共圓，根據兩點之間線段最短可得BOW BM+OM，即卩BM> BO- OM,當M在線段BO與該圓的交點處時，線段BM最小，只需求出BO、OM的值，就可解決問題.【解答】解：AC的中點O,連接AD、DG、BO、OM,如圖. ABC, EFG均是邊長為2的等邊三角形，點 D是邊BC EF的中點,DC=DFDA=

26、DG DC DF AD丄 BC, GD丄 EF, DA=DQ/ ADG=90 -/ CDG=/ FDC,/ DAG= DCF A、D、C M四點共圓.根據兩點之間線段最短可得：BOW BM+OM，即BM> BO- OM,當M在線段BO與該圓的交點處時，線段BM最小,此時，BO勺5嚴乜嚴=極,OM電AC=1,貝U BM=BO- OM - 1.【點評】本題主要考查了等邊三角形的性質、 等腰三角形的性質、相似三角形的 判定與性質、四點共圓的判定、勾股定理、兩點之間線段最短等知識，求出動點M的運動軌跡是解決本題的關鍵.二.選擇題(共6小題)2. (2016?閔行區(qū)二模)如圖，已知在 ABC中，A

27、B=AC=6 AH丄BC,垂足為點H.點D在邊AB上，且AD=2,聯(lián)結CD交AH于點E.(1) 如圖1,如果AE=AD,求AH的長;(2)如圖2,OA是以點A為圓心，AD為半徑的圓，交AH于點F.設點P為邊BC上一點，如果以點P為圓心，BP為半徑的圓與O A外切，以點P為圓心，CP為半徑的圓與O A內切，求邊BC的長;(3)如圖3,聯(lián)結DF.設DF=x ABC的面積為y,求y關于x的函數解析式,并寫出自變量x的取值范圍.【考點】圓的綜合題.【分析】(1 )如圖1中，過點D作DG丄AH于G,由DG / BC得 越=DG=ED=EG丄，設EG=a則EH=3a列出方程即可解決.AB BH HC EC

28、 EH 3(2)關鍵兩個圓內切、外切半徑之間的關系，先求出PH,設BP=x根據AH2=aB -bH'=ap2- ph2列出方程即可解決問題.(3)如圖3中過點D作DG丄AF于G,設AG=t,根據AD2 - AGDF2- FG2程即求出t與x的關系，再利用三角形面積公式計算即可.【解答】解：(1)如圖1中，過點D作DG丄AH于G, AH丄 BC, AB=AC / DGE=/ CHG=9°, BH=CH DG/ BC,.£1=DG =DG =ED=EG，設 EG=a 貝U EH=3aAB BH HC EC 邁3.AD_AG_1 AG=2a AE=3a=2AH=6a=4(

29、2) 如圖2中，點P為圓心，BP為半徑的圓與O A外切，CP為半徑的圓與OA內切, AP=ADhBP, AP=PC-AD, AD+BP=PG AD, PC BP=2AD=4 Ph+HC( BH- PH) =4, PH=2V AhP=AW- Bh2=AP2- PH2,設 BP=x 62-( x+2) 2= (x+2 ) 2 - 22, x=- 2, BC=2BH=2( PB+PH)=礪.(3)如圖3中，過點D作DG丄AF于G,設AG=t,V AD2- AG2=D產-FG2, 22 - t2=x2-( 2 -t) 2,- t，/. y=Sabc=18?Sadg=18X2 J2寺?AG?DG-9斗護

30、-(與一)2【點評】本題考查圓的有關知識、兩圓的位置關系、勾股定理、平行線分線段成 比例定理等知識，解題的關鍵是用轉化的思想，把問題掌握方程解決，屬于中考 參考題型.3. （2016?江都區(qū)二模）如圖， ABC和 DEF均是邊長為4的等邊三角形，DEF的頂點D為 ABC的一邊BC的中點， DEF繞點D旋轉，且邊DF、DE始終 分別交 ABC的邊AB、AC于點H、G,圖中直線BC兩側的圖形關于直線BC成軸對稱.連結HH、HG、GG、H G其中HH、GG分別交BC于點I、J.(1)求證： DHBA GDC(2) 設CG=x四邊形HH G的面積為y,求y關于x的函數解析式和自變量x的取值范圍.y的值

31、最大，最大值為多少？【考點】幾何變換綜合題.【分析】(1)由等邊三角形的特點得到相等關系，即可；(2)由相似三角形得到啟署，再結合對稱，表示出相關的線段，四邊形HH G G BD Bn的面積為y求出即可.【解答】 證明：(1)在正 ABC中，/ ABC=/ ACB=60, / BHC+/BDH=120,在正 DEF中，/ EDF=60, / GDO/BDH=120, / BHD=/ GDC, DHBA GDC,(2) D為BC的中點, BD=CD=2由 DHPA GDC,.兀.CD BD "BH，即: X 2 BH縣，H， H'和G， G關于BC對稱, HH 丄 BC, GG

32、 丄 BC, 在 RtABHI 中, BBH縣,HI近BHVj,2 X2在 RtA CGJ中, CJ寺CG專,GJCG, HH =2H/5, GG =2GJx, IJ=4-艮 _¥ y=£ (詁皿)(4_手島邊DF、DE始終分別交 ABC的邊AB、AC于點H、G,當DEF繞點D旋轉時，點H和A重合時，AG=3,x=CG=1當點G和A重合時,CG=4 x=4,x<4由得,y=_V3y=(2+X)2+巫(J_ +x)，XX設土+ K=a,K當a=4時,也a2+2屆,4y最大=W3,得y=-【點評】此題是幾何變換綜合題，主要考查相似三角形的性質和判定以及對稱的 性質，用x表

33、示線段是解決本題的關鍵，也是難點.4. （2012?徐匯區(qū)校級模擬）在 OAC 中，/ AOC=90, OB=6, BC=12 / ABOH- / C=90 , M、N分別在線段 AB AC上.（1）填空：cosC=逅.2 （2）如圖1,當AM=4，且 AMN與 ABC相似時， AMN與 ABC的面積比為 1: 9 或 1: 27;（3）如圖2,當MN / BC時，將 AMN沿MN翻折，點A落在四邊形BCNM所在平面的點為點E，EN與射線AB交于點F,設MN=x, EMN與 ABC重疊部分的面積為y,求y關于x的函數解析式，并寫出自變量的取值范圍.【考點】相似形綜合題.【分析】即可求出cosC

34、的值;（1）根據相似三角形的判定得出COA進而得出AO的長,（2）利用（1）中所求得出AB=BC=12再利用/ AMN=/ B時，（如圖1 ）AMNsAABC 當/AMN=/C時，（如圖2）AMNACB分別求出即可；（3）首先得出 AMNsAABC,當EN與線段AB相交時，設EN與AB交于點F （如圖3）,當EN與線段AB不相交時，設EN于BC交于點G （如圖4）,分 別求出即可.【解答】解：（1）v AO丄OC, / ABC+/BAO=90.V/ ABO+Z C=90,/ BAO=Z C.又 V/ ABO=/ COAV OB=6 BC=12 6: OA=OA 18, OA=,.AC彳外貞*彳

35、1護+（昭）ar1師, cose空 7 邁；故答案為:AC 12 Vs 22，(2)v cosC亞,2/ C=30, tan/ ABOIVs,OE 6/ ABO=60 , / BAC=30, AB=BC=12/ AMN=/ B 時，如圖， AMNsA ABCAM=4,SAAMN: SAabc=AM2 : AB2=42 : 122=1: 9.當/AMN=/C時，如圖 2,AAMNsAACB AM=4, SAamn: SAabc=AM2: Atf=42: (1勵)2=1: 27.故答案為：1: 9或1: 27;(3)可以求得：SaabAO?BC丄 X 6岳 X 12=3.3 2 MN / BC,S

36、AMN : SxABC=MN2 : BC2 . 二 SAMN : 33=x2: 122.SAAMNV2.4當EN與線段AB相交時，設EN與AB交于點F （如圖3）, MN / BC, / ANM=/ C=30./ ANM=/ BAC AM=MN=x.將 AMN沿MN折疊,/ ENM=/ ANM=3° ./ AFN=90. MF即N號AM寺.二 SFMN： SAMN = MF： am .-y：護x2寺:x=1: 2 y/sx2 (0<x< 8)；當EN與線段AB不相交時，設EN于BC交于點G （如圖4）, MN / BC, CN: AC=BM: AB. CN : 12認直(

37、12 - x) : 12, CN=1旳-VSx.-SCNG： Sabc=CN: BC2. SxCNG： 36岳(1x) 2 : 122.SX CN ga/s (12亦-觀X)2.二 S陰=SXABC SXAMN - Sxcng=33 -/sx2 -/ (13 - Vsx) 2 即 y=-(x2+18屆-72f3E(8<x< 12).OG C F【點評】此題主要考查了相似三角形的判定與性質，根據直線EN與線段AB位置關系進行分類討論得出是解題關鍵.5. (2006?韶關)如圖,在 ABC中,AB=AC E是高AD上的動點,F是點D關 于點E的對稱點(點F在高AD上，且不與A, D重合

38、).過點F作BC的平行線與AB交于G,與AC交于H,連接GE并延長交BC于點I，連接HE并延長交BC 于點J,連接GJ, HI.(1)求證：四邊形GHIJ是矩形;(2)若 BC=10, AD=6,設 DE=x S矩形 GHij=y.求y與x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍;C【考點】點E在何處時，矩形GHIJ的面積與 AGH的面積相等?二次函數綜合題；三角形的面積；矩形的判定；相似三角形的判定與性質.【專題】壓軸題.【分析】(1) 易得 GEFA IED,A FHEA DJE 則有 GE=EJ EH=JE 所以四邊形GHIJ是平行四邊形，由等腰三角形的性質：底邊上的高與底邊上的中線重合

39、知，AF垂直平分GH? EF/ HI (三角形中位線定理)？ HI丄GH?四邊形GHIJ是矩形.(2)由于矩形GHIJ的面積=GH?FD AGH的面積 寺HG?AF所以要使矩形GHIJ 的面積等于 AGH的面積，則需AF=2DF建立關于ED的方程，求得ED即可.【解答】（1）證明： F, E關于點D對稱, FE=ED( 1 分) 又 GH/ BC, / FGEW EID,V/ GEFW DEI, :. GEFA IED, GE=EJ (2 分) 同理可證EH=JE （3分） 四邊形GHIJ是平行四邊形，（4分）V AB=AC GH/ BC, AD丄 BC, AF垂直平分GH, EF/ HI （

40、三角形中位線定理）, HI丄GH,四邊形GHIJ是矩形.（5分）（2）解：由（1）得，DF=2ED=2xV GH/ BC, AGHA ABC.屮 _GH憶"BC， f GH.6 -IO.込.3二 S矩形ghij=HI?GH=2x?( lO-x)=-即 GH巨(6- 2x) =1O-? (1O->x),S 矩形 GHlJ=2x? ( 1O-103T¥x2+20x, (6 分)3V AF=6- 2x> 0,二 xv3,.Ov xv 3. (7 分) 解法（一）：V &aghAF?GH丄？ （6 -2x） 依題意，得：寺？ (6-2x) ? (lO-x) =2

41、x? (lO-x), (8 分) 解得：xi=1, X2=3 （XV 3，舍去）,x),即：當點E與點D的距離為1時，四邊形GHIJ的面積與 AGH的面積相等.（9 分）解法（二）：要使矩形GHIJ的面積等于 AGH的面積，則需AF=2DF （8分） 即 6 -2x=4x,. x=1,當點E與點D的距離為1時，四邊形GHIJ的面積與 AGH的面積相等.（9分）平行四邊形和矩形AD=2, M 是 CD邊F,連接 BE, ME.【點評】本題利用了對稱的概念，全等三角形的判定和性質, 的判定，三角形和矩形的面積公式求解.6. （2002?湖州）已知，如圖，四邊形 ABCD是矩形，AB=1, 上一點（

42、不與C、D重合）,以BM為直徑畫半圓交AD于E、(1)求證：AE=DF(2)求證： AEBA DME;（3）設AE=x四邊形ABMD的面積為y,求y關于x的函數關系式和自變量的【考點】垂徑定理；根據實際問題列二次函數關系式；平行線的性質；相似三角 形的判定與性質.【專題】代數幾何綜合題；壓軸題；數形結合.【分析】（1）設BM的中點為O,過O作OH丄EF,垂足為H.利用平行線的性 質和垂徑定理可求出；（2）要求證 AEBA DME，就要利用三角形相似的判定證明， 從題中互余的關 系可知三角相等，利用AAA定理可證明；（3）要求四邊形ABMD的面積為y與邊的關系，就要利用面積公式列出式子, 再分析

43、看成變量x的最值范圍.【解答】（1）證明：設BM的中點為0,過0作0H丄EF,垂足為H， OB=OM, AH=DH.根據垂徑定理可知 EH=FH 二 AE=DF(2)證明： BM是圓O的直徑, / BEM=90 , / AEBf/DEM=9° ,/ AEB=/ DME, AEBA DME;(3) 解： AEBA DME,.磐DE DM/ AB=1, AE=x 二 DE=2- x ,(AB+DM) ?AD= x2+2x+1. DM=x (2 -x) , y=|-H自變量的取值范圍是0VXV1.衛(wèi)F.【點評】本題綜合考查了平行線，垂徑定理和相似三角形的判定及矩形的面積公 式等計算能力.7

44、. (2008?濱州)如圖(1),已知在 ABC中，AB=AC=10 AD為底邊BC上的高， 且AD=6.將 ACD沿箭頭所示的方向平移，得到 A CD如圖(2), A D< AB于E, A分別交AB、AD于G、F.以D D為直徑作O O,設BD的長為x,O O的面積為y.(1) 求y與x之間的函數關系式及自變量x的取值范圍;(2) 連接EF,求EF與O O相切時x的值；(3) 設四邊形ED D的面積為S,試求S關于x的函數表達式，并求x為何值時,S的值最大，最大值是多少?【考點】二次函數綜合題.【專題】壓軸題.【分析】（1）本題的關鍵是求出DD的長，已知了 AB、AD的長，可在直角三角

45、形BDA中，用勾股定理求出BD的長，根據DD =BD BD即可得出DD的表達式,有了 DD的長即圓的直徑可根據圓的面積公式得出 y，x的函數關系式.（2） EF與圓O'相切，那么 D E=D D根據（1）得出的DD的表達式可表示出D' E勺長，然后根據 BD 與BDA相似，可得出關于 D'、DA、BD、BD的比 例關系式，以此來確定x的值.（3）在（1）、（2）中已經得出了 D D和D E勺表達式，即可根據矩形的面積公式求出S, x的函數關系式.【解答】解：(1)v AB=10, AD=6,/ ADB=90 BD=CD=8二 DD'=BD BD'=8-

46、x-y_np)尸衛(wèi)(8 - X)2 ( 0< x< 8).4(2) v BD'EA CDF ED'=DF ED'/ DF，/ FDD'=90°四邊形ED'DF是矩形 EF/ DD'若DF 與O O相切，貝U ED'寺DD'/ ED'B=/ AOB=90，/ B=/ BBD_AD 一 BD '6 飛 ed'2k4工-18-3C4 A 2解得x=i5因此，當時，EF與O O相切.5(3) S=ED'?D'唇S) =-3x2+6x4=-色(X- 4) 2+124| x=4時，

47、滿足0<XV8, S的值最大，最大值是12.【點評】本題結合矩形的性質以及三角形的相似考查了二次函數的應用，禾用數 形結合的思想來求解是本題的基本思路.三.解答題（共23小題）8 （2016?煙臺）【探究證明】（1）某班數學課題學習小組對矩形內兩條互相垂直的線段與矩形兩鄰邊的數量關系進行探究，提出下列問題，請你給出證明.如圖1,矩形ABCD中，EF丄GH, EF分別交AB, CD于點E, F, GH分別交AD, BC于點G, H.求證：盟bn【結論應用】上，若語噲，則帶（2）如圖2,在滿足（1）的條件下，又 AM丄BN，點M，N分別在邊BC, CD 的值為琴；【聯(lián)系拓展】(3)如圖 3,

48、四邊形 ABCD中，/ ABC=90, AB=AD=10 BC=CD=5 AM 丄 DN,BC, AB上，求理的值.點M , N分別在邊【考點】相似形綜合題.DCA.V丹【專題】探究型.【分析】如圖1,(1) 過點A作AP/ EF,交CD于P,過點B作BQ/ GH,交AD于Q,易證AP=EF GH=BQ PDZA QAB,然后運用相似三角形的性質就可解決問題;（2）只需運用（1）中的結論，就可得到黑孕欝，就可解決問題；GH AB AJfl（3）過點D作平行于AB的直線，交過點A平行于BC的直線于R,交BC的延 長線于S,如圖3，易證四邊形ABSF是矩形，由（1）中的結論可得理莖.設M ABSC

49、=x DS=y 則 AR=BS=+x , RD=10- y ,在 RtCSD中根據勾股定理可得 x2+y2=25，在RtAARD中根據勾股定理可得（5+X） 2+ （10-y） 2=100，解就可求出X,即可得到AR,問題得以解決.【解答】解：（1）過點A作AP/ EF,交CD于P,過點B作BQ/ GH,交AD于Q,如圖1, 四邊形 ABCD是矩形， AB/ DC, AD/ BC.四邊形AEFP四邊形BHGQ都是平行四邊形, AP=EF GH=BQ又 GH丄 EF, AP丄 BQ, / QAT+/ AQT=90.四邊形 ABCD是矩形，/ DAB=/ D=90, / DAF+Z DPA=90,

50、 / AQT=/ DPA AP_AD瓦肓,.EF_AD .GH AB（2）如圖2, EF丄GH, AM 丄 BN, ”1)中的結論可得語誥罟耆 BN=EF=1LAW GH 15 故答案為H；15(3) 過點D作平行于AB的直線，交過點A平行于BC的直線于R,交BC的延長線于S,如圖3, 則四邊形ABSR是平行四邊形.V/ ABC=90，二?ABSR是矩形, ./ R=/ S=90, RS=AB=10 AR=BSV AM丄 DN,由（1）中的結論可得卑書.AN AB 設 SC=x DS=y 貝U AR=BS=5x, RD=10- y, 在 RtA CSD中, x2+y2=25， 在 RtAARD

51、 中，（5+x） 2+ （10- y） 2=100,由-得x=2y- 5,解方程組護1 （舍去），或,v=C AR=5x=8, DW 二AR= 8 =4 AW 一AB=10"5 【點評】本題主要考查了矩形的判定與性質、 相似三角形的判定與性質、勾股定 理、解二元二次方程組等知識，運用（1）中的結論是解決第（2）、（ 3）小題的關鍵./ A=/ D.（2）由（1）中的結論可知，等腰三角形 ABC中，當頂角/ A的大小確定時，它 的對邊（即底邊BC）與鄰邊（即腰AB或AC）的比值也就確定，我們把這個比 /古T / A Brt T / A的對邊）BC 亦-I- /cc。、A值記作T （ A），即T （ A） = a的鄰邊（腰）帝，如T （ 60 ° =1.理解鞏固：T (90°) =_£_, T( 120)=5_,若a是等腰三角形的頂角,則T ( a)的取值范圍是0< T ( a) < 2學以致用：如圖2，圓錐的母線長為9，底面直徑PQ=8, 只螞蟻從點P沿著 圓錐的側面爬行到點Q,求螞蟻爬行的最短路徑長(精確到 0.1).(參考數據：T (160°) 1.97, T (80, 1.29, T (40°) 0.68)【考點】相似形綜合題.【分析】(1)證明 ABBA DEF,根據相似三角形的