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1、中職數(shù)學(xué)高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)學(xué)案向量的坐標(biāo)及其運(yùn)算考點(diǎn)解析及例題講解1 .向量的直角坐標(biāo)在直角坐標(biāo)系內(nèi),我們分別:(1)取基向量:取與x軸和y軸的正方向相同的兩個(gè)單位向量 e1, e2作為基向量.(2)得到實(shí)數(shù)對(duì):任作一個(gè)向量使得 a= a1 e1 + a2e2,我們把(aj,a,由平面向量基本定理,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)a1, a2,a2)叫做向量a的坐標(biāo),記作a = (a1, a2),其中a1叫做a在X軸上的坐標(biāo), 的基向量.a2叫做a在y軸上的坐標(biāo).e1, e2叫做直角坐標(biāo)平面上式叫做向量的坐標(biāo)表示探究:(1)如圖,e 1, e2是直角坐標(biāo)平面上的基向量,你能寫出0, ei, e2的坐標(biāo)嗎?eie 1
2、= (1,0), e2= (0, 1), 0 = (0, 0).向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)之間有何關(guān)系?y).反之,點(diǎn) A的坐標(biāo)也是點(diǎn)A即點(diǎn)A的位置向量6A的坐標(biāo)(X, y),也就是點(diǎn)A的坐標(biāo);相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)的位置向量 6A的坐標(biāo).例1如圖,用基向量e1, e2分別表示向量a, b, c, d,并求出它們的坐標(biāo).-r-i * 41 UiJ I I jl II hrlLFb-L_ hr bp-rbr-.i e23eixd2解由圖可知a= 3ei + 202= (3, 2 ),b= 2e 1+ 302= ( 2, 3),c= 2ei 3e2= ( 2,一 3),d= 2ei 3 02= (2, 3).2
3、.向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算(1)如果 a = (ai, a2), b= (bi, b?),則a+ b= (ai, 32) + (bi, b2)=(a1 + b1 , a2 + b2);a b= (ai, a2) (bi, b2)=(ai bi, a2 b2);?a = ?(ai, a2)=(掃1,掃2),其中入是實(shí)數(shù).證明a+ b = (ai, a2)+ (bi, b2)=(aiei + a2e2) + (biei + b2e2)=aiei + bie 1+ a2e2 + b2e2 =(ai + bi) ei + (a2 + b?) e2 =(a1 + b1 , a2 + b2).請(qǐng)同學(xué)仿照上面的證
4、明,自己證明其他兩個(gè)結(jié)論.上述向量的坐標(biāo)運(yùn)算公式,也可用語言分別表述為:兩個(gè)向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差;數(shù)乘向量積的坐標(biāo)等于數(shù)乘上向量相應(yīng)坐標(biāo)的積.例 2 已知 a= (2, 1), b= ( 3, 4),求 a+ b, a b, 3a+ 4b.解 a+ b= (2, 1) + ( 3, 4)=(1 , 5);a b= (2, 1) ( 3, 4) = (5, 3);3a + 4b= 3(2 , 1)+ 4( 3, 4)=(6, 3)+ ( 12, 16) =(6, 19).例3 已知A (X1, y1),點(diǎn)B (x2, y2),求XB的坐標(biāo).解 Xb = OBSA=(
5、X2,沁一(X1, %)=(X2 X1, y2 y”.此結(jié)論可用語言表述為:一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)的相應(yīng)坐標(biāo).練習(xí)一 1.已知a , b的坐標(biāo),求a + b , a b:b= ( 4, 8);b= (0, 4).(1) a = (4 , 3),(2) a = (3 , 0),2.已知A, B兩點(diǎn)的坐標(biāo),求 Xb , "ba的坐標(biāo):(1) A( 3, 4),(2) A( 3, 6),B(6 , 3);B( 8, 7).例4 已知A ( 2, 1),點(diǎn)B (1, 3),求線段AB中點(diǎn)M的坐標(biāo).中職數(shù)學(xué)高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)學(xué)案解因?yàn)镽b =ob-oA=(1 , 3
6、)- (-2, 1) = (3, 2);所以O(shè)M = OA+ AM=Sa* ab=(2, i) + 2(3, 2) =(-i, 2).i 因此 M( 2 2).3.用向量的坐標(biāo)表示向量平行的條件復(fù)習(xí):(i)平行向量基本定理:如果向量bM0,貝y all b的充分必要條件是,存在唯一實(shí)數(shù)D 使 a = Ab;(2)數(shù)乘向量:已知 b= (bi, b2),則?b= ( Di, Ab2).問題:在直角坐標(biāo)系中,向量可以用坐標(biāo)表示,那么,能否用向量的坐標(biāo)表示兩個(gè)向量探究:設(shè) a= (ai, a2).的平行呢?b= (bi, b2),如果b M 0,則條件a= ?b可用坐標(biāo)表示為(ai, a2)= Xb
7、i, b2),I ai yb (a 扎 b2消去人得般地,對(duì)于任意向量aib2- a2bi= 0.a = (ai, a2), b= (bi, b2),都有a/ b = aib2- a2bi= 0.例5判斷下列兩個(gè)向量是否平行:(i) a = (- i, 3), b= (5,- i5); e = (2, 0), f= (0, 3).解 (1)因?yàn)?-1)X (- 15) 3X 5 = 0,所以向量 a和向量 b平行;(2)因?yàn)?X 3 0 X 0= 6工0,所以向量 e和f不平行.例6已知點(diǎn)A(- 2,- 1)- B(0, 4),向量a= (1 - y),并且壷/ a,求a的縱坐標(biāo)y.解由已知條
8、件得AB= (0 , 4) - ( 2, 1) = (2 , 5), 因?yàn)锳B/ a ,所以1X 5-2 X y= 0.解得已知點(diǎn) A(- 2,- 3) - B(0, 1) - C(2- 5),求證:A, B, C三點(diǎn)共線.證明由已知條件得AB= (0 , 1) - ( 2, 3) = (2 , 4),aC= (2, 5) - ( 2, - 3) = (4 , 8).A,所以A, B,C三因?yàn)? X 8- 4X 4 = 0,所以 Xb/云C,又線段AB和AC有公共點(diǎn)點(diǎn)共線.綜合訓(xùn)練1.已知 a =(10,5) , b=(4 , y),且 a/b -則y等于()(A) 8(B) 2(C) -8(
9、D) -22.已知 A (4,-3) , B (x,9),|AB|=13,則 x 等于(A) -1(B) 9(C) -1 或 91或-93.已知 a=(3,-1), b=(-1,2),則-3a-2b的坐標(biāo)是()(B) (-7,-1)4.已知向量a=(T,2), b=(1,-2),貝U a+b和a -b的坐標(biāo)分別為(C) (-2,4), (2,-4)(D) (1,-1), (-3,3)5.向量a =(3,4)的終點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2),它的起點(diǎn)坐標(biāo)是6. 已知 a =(5 , y),且|a|=13,則 y =.7. 已知向量 a=(Y 3) , b=(3 , 6),則 2a-% =38. 若 A (1,2) , B (3,2),向量 AB= (x+3,0),貝J x=9. 已知點(diǎn)(1,0)是向量a的終點(diǎn),向量b = (
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