偏微分方程課程大綱

1、偏微分方程課程大綱一、課程簡介 教學(xué)目標(biāo) ：“偏微分方程” 是重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程， 它在數(shù)學(xué)的其它分支和自然科學(xué)與工程技術(shù)中的廣 泛應(yīng)用是眾所周知的。本課程將盡可能地結(jié)合物理背景，系統(tǒng)地對幾類典型方程數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)、 求解方法、解的性質(zhì)以及物理意義進(jìn)行詳細(xì)闡述， 為學(xué)生日后的學(xué)習(xí)和工作打下堅實的基礎(chǔ)， 提供強(qiáng)有力的工具，并為進(jìn)一步了解和應(yīng)用現(xiàn)代偏微分方程的有關(guān)內(nèi)容提供重要幫助。1. 23.主要內(nèi)容：,Fourier 變換法和了解幾類典型方程及其定解條件的物理背景 掌握方程的分類及其化簡方法 熟練掌握各類方程的求解方法（包括具有普適性的方法，如分離變量法Green函數(shù)法等，以及針對某類方程的特定方法，

2、如特征線法）4.會用一些基本方法（如能量積分法、極值原理等）討論解的性質(zhì)并掌握解的重要性質(zhì) 二、教學(xué)內(nèi)容 （其中帶 * 的部分可能隨堂調(diào)整 ） 第一章 引論主要內(nèi)容：1、2、偏微分方程簡介a）偏微分方程的歷史、現(xiàn)狀和用途b）什么是偏微分方程？介紹有關(guān)偏微分方程基本概念和研究內(nèi)容c）例子：簡單而多樣的例子幫助學(xué)生初步了解偏微分方程 二階線性偏微分方程的分類和特征理論a）兩個自變量的二階線性偏微分方程的分類與化簡， 標(biāo)準(zhǔn)形式與典型例子，混合型方程 多個自變量的二階線性偏微分方程方程的分類及其例子 二階線性方程的特征理論 *橢圓型、 雙曲型和拋物型的b）c） 四類典型方程的數(shù)學(xué)模型：包括波動方程、

3、其他預(yù)備知識：線性方程的疊加原理、 重點與難點： 通過化標(biāo)準(zhǔn)型將二階方程進(jìn)行分類、是最重要的概念） 、各類方程及其定解條件的物理意義3、4、熱傳導(dǎo)方程、調(diào)和方程、和一階方程Sturm-Liouville 原理 *特征的概念 （這是偏微分方程中最基本也3、第二章 波動方程 主要內(nèi)容：1、弦振動方程 Cauchy 問題的存在性： D'Alembert 求解公式，傳播波，依賴區(qū)域、決 定區(qū)域和影響區(qū)域，特征線法（行波法）的其他應(yīng)用和例子，Duhamel 齊次化原理2、及其物理解釋 弦振動方程初邊值問題的存在性：分離變量法求解齊次問題及解的存在性討論，分 離變量法求解的物理意義，多種邊界條件的

4、例子，非齊次方程的情形，非齊次邊界 條件的情形，高維波動方程分離變量法的例子高維波動方程 Cauchy 問題的求解：三維波動方程的球平均法，二維波動方程的降 維法Huygens 原理與波的彌散，波4、 波的傳播與衰減：依賴區(qū)域、決定區(qū)域和影響區(qū)域， 動方程解的長時間性態(tài)5、 能量不等式與唯一性和穩(wěn)定性： 初邊值問題解的唯一性和穩(wěn)定性， Cauchy 問題解的 唯一性和穩(wěn)定性重點與難點：針對于波動方程：特征線與特征錐、特征線方法、波的有限傳播速度； 適用于各種方程的普遍方法：能量積分方法、分離變量法第三章 熱傳導(dǎo)方程 主要內(nèi)容：1、2、3、4、求解初邊值問題的分離變量法：一維情形，高維的例子Ca

5、uchy 問題解的存在性： Fourier 變換及其基本性質(zhì)， 用 Fourier 變換法求解 問題及解的存在性討論， Fourier 變換法的其他應(yīng)用 極值原理與唯一性和穩(wěn)定性： 有界區(qū)域的極值原理， 無界區(qū)域的極值原理， 問題解的唯一性和穩(wěn)定性， Cauchy 問題解的唯一性和穩(wěn)定性 解的漸近性態(tài)：初邊值問題解的漸近性態(tài)， Cauchy 問題解的漸近性態(tài)Cauchy初邊值重點與難點 ： Fourier 變換方法、極值原理、關(guān)注與波動方程的區(qū)別第四章 調(diào)和方程 主要內(nèi)容：1、調(diào)和函數(shù)的基本性質(zhì)： Green 公式， Neumann 問題解的自由度與可解性條件， 方程的基本解，變分原理、基本積

6、分公式，平均值定理，極值原理、邊值問題解的 唯一性和穩(wěn)定性Green函數(shù)：定義和性質(zhì)，用靜電源像法求一些特殊區(qū)域的Green函數(shù)，一般單連通區(qū)域的Green函數(shù)，用Green函數(shù)法求解調(diào)和方程與Poisson方程調(diào)和函數(shù)的進(jìn)一步性質(zhì) Harnack 定理，可去奇點定律，解析性定理、強(qiáng)極值 原理、 Neumann 邊值問題解的唯一性。重點與難點 ： Green 函數(shù)、調(diào)和方程解的性質(zhì)，關(guān)注與波動方程、熱傳導(dǎo)方程的區(qū)別調(diào)和2、3、第五章 三類方程的總結(jié)與比較 主要內(nèi)容：1、2、1、2、定解問題提法的比較解的性質(zhì)的比較：解的光滑性， 解的極值性質(zhì)，影響區(qū)域與依賴區(qū)域， 關(guān)于時間的 反演，解的漸近性態(tài)

7、等3、解的先驗估計： 熱傳導(dǎo)方程與 Poisson 方程解的最大模估計， 一般的二階線性雙曲、 拋物和橢圓型方程解的能量估計重點與難點： 通過三類方程的比較進(jìn)一步加深對三類方程定解問題的理解 第六章 一階偏微分方程（組）理論簡介主要內(nèi)容：一階偏微分方程組的例子 兩個自變量的一階線性偏微分方程組的特征理論：特征方程與特征線，分類，嚴(yán) 格雙曲組的對角化3、兩個自變量的線性雙曲型方程組的 Cauchy 問題：化為積分方程組，存在性與唯一4、5、6、性，對初值的連續(xù)依賴性，依賴區(qū)域、影響區(qū)域和決定區(qū)域 兩個自變量的線性雙曲型方程組的其他定解問題：廣義Cauchy問題，Goursat問題,一般角狀域上的

8、邊值問題等 幕級數(shù)解法與柯西-柯瓦列夫斯卡婭定理*非線性偏微分方程和激波理論初步*重點與難點：兩個自變量的一階線性雙曲型方程組的特征理論與Cauchy問題三、教學(xué)進(jìn)度安排教學(xué)內(nèi)容第1-3周引論（歷史、現(xiàn) 狀、應(yīng)用、基本 概念和研究內(nèi)容 簡介，分類與化 簡，特征理論， 建模，其他預(yù)備 知識）第4 7周波動方程（定解 問題的存在性， 高維問題，能量 積分）第8-9周熱傳導(dǎo)方程（定 解問題的建立和 存在性，F(xiàn)ourier 變換，極值原理）第10 - 13周調(diào)和方程（定解 問題的建立和存 在性，調(diào)和函數(shù)的性質(zhì)，Green函數(shù)）第14 - 15周三類方程的比較第16 - 17周一階偏微分方程（組）理論簡

9、介教學(xué)形式作業(yè)以課堂教學(xué)為 主，結(jié)合自學(xué)。課堂教學(xué)：核心 內(nèi)容在課堂教學(xué) 中完成，其中可 以融入討論，加 深對知識的理解自學(xué)：對一些非 ?；镜耐茖?dǎo)過 程要求同學(xué)課后 自己補上；對一 些前期知識的遺 忘點，要求同學(xué) 課前預(yù)習(xí)或課后 補充；對某些比 較深入的知識， 作為思考題，要 求同學(xué)課后研 討。每次課堂教學(xué)后 有課外作業(yè)，要 求獨立完成；有 時布置綜合性思 考題，學(xué)生要經(jīng) 過認(rèn)真思考、相 互討論或查閱資 料等方式才能解 答；對作業(yè)中的 問題在習(xí)題課上 集中進(jìn)行講解四、課程考核及說明最終成績由平時成績、考試成績 （含期中和期末考試）組合而成。各部分所占比例如下： 平時成績：30% （作業(yè)、思考題和上課參與程度）。主要考核對知識點的掌握程度、口頭及 文字表達(dá)能力、分析解決問題、創(chuàng)造性工作、處理信息等方面的能力?？荚嚦煽儯?0% （期中占2030%，期末占4050% ）。主要考核對偏微分的基本原理和方 法的掌握以及用分析的方法處理問題的能力 五、教材與參考書教材：數(shù)學(xué)物理方程（第二版），谷超豪、李大潛、陳恕行、鄭宋穆、譚永基，高等教育 出版社，2002年參考書目：1234Partial Differential Equations: An Introduction ， Walter Strauss, John Wiley &