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文檔簡介
1、四川省成都市武侯區(qū)2014-2015學年高一(下)期末數(shù)學試卷一、單項選擇題(每題 5分)1 .已知 xC (一工,0), cosx=a,貝U tan2x=()2 5A.-B- B.-衛(wèi)C. & D .2427_24考點:二倍角的正切.專題:計算題.分析:由cosx的值及x的范圍,利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinx的值,進而求出tanx的值,然后把所求的式子利用二倍角的正切函數(shù)公式變形后,將tanx的值代入即可求出值.解答: 解:由 cosx=, xC (三,0),52得至U sinx=-,所以 tanx=,542X (-金)貝U tan2x=盤三一=5=-.1- tan2x(_
2、£)274故選D點評:此題考查了同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系,以及二倍角的正切函數(shù)公式.學生求sinx和tanx時注意利用x的范圍判定其符合.都不對C.棱柱 D.考點:由三視圖還原實物圖.分析:根據(jù)主視圖、左視圖、俯視圖的形狀,將它們相交得到幾何體的形狀.解答: 解:由三視圖知,從正面和側(cè)面看都是梯形,從上面看為正方形,下面看是正方形,并且可以想象到連接相應頂點的四條線段就是幾何體的四條側(cè)棱,故這個三視圖是四棱臺.故選A.點評:本題考查幾何體的三視圖與直觀圖之間的相互轉(zhuǎn)化.3 . sin163° sin223 ° +sin253 ° sin313 °
3、; 等于()A.B.C.222勢2考點:兩角和與差的正弦函數(shù);運用誘導公式化簡求值.分析:通過兩角和公式化簡,轉(zhuǎn)化成特殊角得出結(jié)果.解答: 解:原式=sinl63° ?sin223 ° +cos163° cos223°=cos (163° - 223 )=cos ( - 60° )=一.2故答案選B點評:本題主要考查了正弦函數(shù)的兩角和與差.要熟練掌握三角函數(shù)中的兩角和公式.4 .設a> 1 >b> - 1,則下列不等式中恒成立的是()A.1<工B. ->-iC. a>b2a ba ba2>2b
4、D.D.考點:不等關(guān)系與不等式.專題:計算題.分析:通過舉反例說明選項 A, B, D錯誤,通過不等式的性質(zhì)判斷出C正確.解答: 解:對于 A,例如a=2, b=此時滿足a>1>b>- 1但山>工故A錯 2a b|對于B,例如a=2, b此時滿足a>1>b>- 1但工故B錯 2a b|對于 C, - - 1<b<1 .,.Ob 2<1. a>1 a>b2故 C正確對于D,例如a上!bJ此時滿足a> 1>b>- 1, a22b故D錯故選C5. 一個正方體的頂點都在球面上,它的棱長為A.28兀cm2cm,則球
5、的表面積是()B. 12 % cm2C. 16 兀 cm2點評:想說明一個命題是假命題,常用舉反例的方法加以論證.220 兀 cm考點:球內(nèi)接多面體;球的體積和表面積.專題:計算題.分析:由題意正方體的外接球的直徑就是正方體的對角線長,求出正方體的對角線長,即可 求出球的表面積.解答: 解:正方體的頂點都在球面上,則球為正方體的外接球,則2禽=2RR=/1;, S=4tt R 2=12 兀故選B點評:本題是基礎(chǔ)題,考查正方體的外接球的不面積的求法,解題的根據(jù)是正方體的對角線 就是外接球的直徑,考查計算能力,空間想象能力.6 .在 ABC 中,若 C=90 , a=6, B=30° ,
6、貝U c b 等于()A.1 B.T C.2/3D.-2 ;考點:正弦定理.專題:計算題.分析:利用c=)a , b=atan30°分別求得 c和b,則答案可得.|cos30*解答: 解:c= . =4.,cog300 ,b=atan30 ° =2c - b=4f3 - 2/3=23 故選C點評:本題主要考查了解三角的實際應用.屬基礎(chǔ)題.7 .設數(shù)列an滿足ai=1, an+i=3an+2,則an的通項公式為()A.an=2?3n- 1B. an=2?3n 1 -1C. an=2?3n 1+1D. an=2?3n+1 - 1考點:數(shù)列遞推式.專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列.分析:
7、通過對an+1=3an+2變形可得an+1+1=3 (an+1),進而計算即得結(jié)論.解答: 解:1.-a n+1=3an+2, .,.an+1+1=3 (an+1),又,& 1=1, .,.a i+1=2, n - 1 . n n + 1=2?3,.an=2?3n1- 1 ,故選:B.點評:本題考查求數(shù)列的通項,注意解題方法的積累,屬于中檔題.8.已知函數(shù)f (x) =ax2+bx+c的圖象過點(-1, 3)和(1, 1),若0vcv 1,則實數(shù)a的取 值范圍是()A.B.C.(1, 2)D.(1, 3)考點:函數(shù)解析式的求解及常用方法;不等關(guān)系與不等式.專題:計算題.分析:由圖象過兩
8、點建立a、b、c的關(guān)系式,得到關(guān)于 a的不等式,解此不等式即可.解答:解:由題意:一年邙得b=_1, a+b+c=la+c=2.又 0v cv 1 ,.1.0< 2- a< 1,1< a< 2.故選C點評:本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,以及不等關(guān)系的應用,屬于基礎(chǔ)題9.已知等比數(shù)列an的公比為正數(shù),且 a3?a9=2a52, 32=1,則ai=()A.B._-C.考點:等比數(shù)列的性質(zhì).專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列.分析:設等比數(shù)列的公比為 q,根據(jù)等比數(shù)列的通項公式把 a3?a9=2a25化簡得到關(guān)于q的方程, 由此數(shù)列的公比為正數(shù)求出 q的值,然后根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì),
9、由等比 q的值和32=1即可求 出31的值.解答: 解:設公比為q,由已知得302?308=2(304) 2,即q2=2,又因為等比數(shù)列an的公比為正數(shù), 所以q= :故31 =故選B.點評:此題考查學生靈活運用等比數(shù)列的性質(zhì)及等比數(shù)列的通項公式化簡求值,是一道中檔 題.10.在4ABC中,AB=2, BC=2.5, Z ABC=120 ,若使 ABC繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周,則所形成的幾何體的體積是(A.c券考點:旋轉(zhuǎn)體(圓柱、圓錐、圓臺).專題:空間位置關(guān)系與距離.分析:如圖,大圓錐的體積減去小圓錐的體積就是旋轉(zhuǎn)體的體積,結(jié)合題意計算可得答案.解答: 解:依題意可知旋轉(zhuǎn)體是一個大圓錐去掉一個小圓
10、錐,所以 OA=AB?sin60 = VS, OB=1,所以旋轉(zhuǎn)體的體積: 土X冗(右)2 (OC- OB)*兀(右)2?BC*, 02故選:C.1公二。點評:本題考查圓錐的體積,考查空間想象能力,是基礎(chǔ)題.11.在 ABC中,若 sin (A- B) =1+2cos ( B+。sin (A+Q,則 ABC的形狀一定是()A.等邊三角形B.不含60。的等腰三角形考點專題分析解答C.鈍角三角形D. 直角三角形兩角和與差的正弦函數(shù).三角函數(shù)的求值.利用三角形內(nèi)角和定理、誘導公式、和差公式即可得出.解:sin (A B) =1+2cos (B+Q sin (A+。,. sinAcosB- cosAs
11、inB=1 - 2cosAsinB , sinAcosB+cosAsinB=1 ,. sin (A+B) =1,1. sinC=1.CW (0,兀),JT.c丁ABC的形狀一定是直角三角形.故選:D.點評:本題考查了三角形內(nèi)角和定理、誘導公式、和差公式,考查了推理能力與計算能力, 屬于中檔題.12.(理)若不等式 X2-logaxv。在(0, -i)內(nèi)恒成立,則 a的取值范圍是()A.<a< 1B. <a< 1C. 0<a<16M16D. 0V a< 16考點:函數(shù)恒成立問題.專題:計算題;數(shù)形結(jié)合.分析:作出函數(shù)y=J,工 (0, 3)的圖象,結(jié)合題
12、意可得0vav1,作出函數(shù)y=log ax(0va<1)的圖象,結(jié)合圖象確定a的取值范圍解答: 解:由題意可得,a>1不符合題意,故0vav1,分別作出函數(shù)f (x)(0, -i),函數(shù)g (x) =log ax (0vav1)的圖象而函數(shù)f (x)在(0,-)單調(diào)遞增,函數(shù) g(X)=log aX在(0, -L)單調(diào)遞減若不等式x2-lOgaXVO在(0,)內(nèi)恒成立,只需f (_) Wg (_1)即工之1口£工22 廣方2從而可得點評:函數(shù)的圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì),為研究數(shù)量關(guān)系問題提供“形”的直觀性,是 探求解題途徑、獲得解題結(jié)果的重要工具,應重視數(shù)形結(jié)合解題單調(diào)
13、思想方法二、填空題:(本大題共4小題,每小題5分,共20分)13.函數(shù)f (x) =cos2x - 2/3sinxcosx的最小正周期是 u考點專題分析解答:三角函數(shù)的周期性及其求法.三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).利用三角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù)的解析式,再利用余弦函數(shù)的周期性得出結(jié)論.解:函數(shù) f (x) =cos2x 2/sinxcosx=cos2x /sin2x=2cos (2x+5-3)的最小正周期為2萬一2故答案為:點評:本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值,余弦函數(shù)的周期性和求法,屬于基礎(chǔ) 題.14.等差數(shù)列an中,a2=9, a5=33, a n的公差為 8考點:等差數(shù)列.專題:計算題
14、.分析:由題設知aj+d=9=33,由此能求出公差 d的值.解答: 解:.等差數(shù)列an中,a2=9, a5=33,,/Md= 33解得 ai=1, d=8.故答案為:8.點評:本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)和應用,解題時要注意等差數(shù)列通項公式的合理運用.15.如圖:在山腳下 A測得山頂P的仰角為a,沿傾斜角為 3的斜坡向上走a米到達點B, 在B處測得山頂P的仰角為丫,則山高PQ為,門口空n C -; 米.一sin (丫 -一考點: 解三角形.專題:計算題.分析: 過B作BC垂直于PQ過B作BD垂直于AQ 可得BD=CQ由已知條彳表示出/ PAB 及/BPA在三角形 ABP中,由a, sin / PAB
15、及sin / BPA利用正弦定理表示出 PB,在直角三 角形PBC中,由PBsin T表示出PC在直角三角形 ABD中,由asin 3表示出BD,即為CQ的 長,然后由PC+CQ!示出PQ即可.解:過B作BCL PQ交PQ點C,過B作BDL AQ交AQ于點D,可得BD=CQ 在 4PAB 中,/ PAB奇-3,/ BPA=( - “)一(一 丫)二丫一 ”,貝U PQ=PC+CQ=PB?sin+asin 3asin ( Q - 3 ),、 ?sin 丫 +asin Bin (Y - a )asin ( Q - b ) sin7 +asinP sin (Y - Q )asina cosP sin
16、T - acossin sin7' +asin P sinY <os a - asin P cosT sin- sin ( Y -)=a占in。 (白白臺 B sinY - sin P 白口s丫 )sin ( Y -。)sin (Y - 口)公生不asinCL sln ( T P )點評:此題屬于解三角形的題型,涉及的知識有:正弦定理,銳角三角函數(shù)定義,以及直角三角形的邊角關(guān)系,利用正弦定理表示出PB是解本題的關(guān)鍵.16 .已知 x>0, y>0, x+2y+2xy=8,貝U x+2y 的最小值是 4 .考點:基本不等式;簡單線性規(guī)劃的應用.專題:計算題.分析:首先分
17、析題目由已知 x>0, y >0, x+2y+2xy=8 ,求x+2y的最小值,猜想到基本不等式 的用法,利用a+b>2 /江代入已知條件,化簡為函數(shù)求最值.解答: 解:考察基本不等式 x+2y=8 - x? (2y) >8-(空罵) 2 (當且僅當x=2y時取等號) 2整理得(x+2y) 2+4 (x+2y) - 32>0即(x+2y-4) (x+2y+8) >0,又 x+2y>0,所以x+2y>4 (當且僅當x=2y時取等號)則x+2y的最小值是4故答案為:4.點評:此題主要考查基本不等式的用法,對于不等式a+b>2寸兀在求最大值最小值
18、的問題中應用非常廣泛,需要同學們多加注意.三、解答題:(本大題共6小題,共70分.解答寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17 .(1)解不等式-2;(2)已知集合 A=x|x 2-x-6<0, B=x|x 2+2x-8>0,求 AA B.考點:交集及其運算;一元二次不等式的解法.專題:集合.分析: (1)不等式整理后,求出解集即可;(2)分別求出A與B中不等式的解集確定出 A與B,找出兩集合的交集即可.解答: 解:(1)不等式整理得:x2+2x- 1>0,解得:x< - 1 -或 x> - 1+/2;(2)由A中不等式變形得:(x-3) (x+2) < 0,
19、解得:-2vxv3,即 A=x| - 2<x< 3,由B中不等式變形得:(x-2) (x+4) >0,解得:xv 4 或 x>2,即 B=x|x V 4 或 x > 2,則 AA B=x|2 v xv 3.點評:此題考查了交集及其運算,熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵.218 .已知數(shù)列an的前n項和為S,且S=2n+1- (n C Nk)2(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)設 bn= ( an n) (3n 1),求b n的前 n 項和 Tn.考點:數(shù)列的求和;數(shù)列遞推式.專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列.2 I分析: (1)由S=2n+:+口 一工(nC M),可得當
20、n=1時,ai=S ;當n>2時,an=$ 一1.即2可得出.(2) bn= (an- n) (3nT) = (3n- 1) ?2n 利用“錯位相減法”、等比數(shù)列的前n項和公式即可得出.2解答: 解:(1) ,-s n=2n+H+n 2 (n N+), 2當 n=1 時,a1=S=2;當 n>2 時,an=$一1=2n+ILt!lZ£ -" 1_=2n1+n.2L十2當n=1時,上式成立.數(shù)列a n的通項公式an=2n+n.(2) bn= (an n) ( 3n 1) = (3n 1) ?2n -=R 22,,bn的前 n 項和 Tn=2X1+5X2+8X2 2
21、+-+ (3n 1) X2 n1,2Tn=2X2+5X2 2+(3n-4) X2n-1+ (3nT) X2n,2n 1nn- Tn=2+3X 2+3X2 + +3X2 - ( 3n T ) X2 =3" 1 - ( 3n T ) X2 = (4-3n)2 1X2n-4,.Tn= ( 3n- 4) X2 n+4.點評:本題考查了等比數(shù)列與等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、“錯位相減法”、遞推式的應用,考查了變形能力、推理能力與計算能力,屬于中檔題.19.在4ABC中,角 A, B, C所對的邊分別為 a, b, c,且(b-cosA+acosB=0.(1)求角A,(2)若a=J10,
22、 cosB=Xi, D為AC的中點,求BD的長度.5考點:正弦定理;余弦定理.專題:計算題;解三角形.分析: (1) 4ABC中,由acosB= (Jc-b) cosA,利用正弦定理求得 cosA=L?,可得A12的值.(2) 4ABC中,先由正弦定理求得 AC的值,再由余弦定理求得 AB的值,4ABD中,由余弦定理求得BD的值.解答:解:(1)4ABC中,由 acosB=(,c- b)cosA,利用正弦定理可得 sinAcosB=。與sinCcosA一sinBcosA ,化簡可得 sin (A+B) =/jsinCcosA ,即 sinC= jsinCcosA ,求得 cosA=l,2.A=
23、-4(2)由 cosB=Jb任,可得 sinB=515,再由正弦定理可得 用b=AC=2 ABC中,由余弦定理可得BC2=AB'+AC* 2 2AB?AC?cos A,即 10=AB2+4 2AB?2送,求得2AB=372 ABD中,由余弦定理可得BD2=Ad+AE2 2AB?AD?co s A=18+16;?:=13,-bd=/13 .點評:本題主要考查正弦定理和余弦定理的應用,屬于基本知識的考查.20.已知等差數(shù)列an的公差為-1,且a2+a7+ai2=-6,(1)求數(shù)列an的通項公式an與前n項和Sn;(2)若bn是首項為4,公比為,的等比數(shù)列,前 n項和為Tn,求證:當t>
24、;6時,對任意n, *mC N, SvTm+t 恒成立.考點:數(shù)列的求和.專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列.分析: (1)根據(jù)題設條件,利用等差數(shù)列通項公式求出公差,由此能求出數(shù)列an的通項公式an與前n項和Sn.(2)由已知條件,利用等比數(shù)列前n項和公式求出Tn,分別求出Tn的最小值和 $的最大值,由此能夠證明當t >6時,對任意n, mC N, SnVTm+t恒成立.解答:(本題滿分14分)解:(1) ,等差數(shù)列an的公差為-1,且a2+a7+a12= - 6,3a7= - 6,解得 a7= - 2,a 7=a1+6 (1) = - 2,解得 a1=4, (3 分)an=a1+ (nT) d
25、=5n, ( 5 分)(7分)口(曰+ &)n (9 - ni又._Z"L=-(n2-9n) =-!,口一 222( Sn) maF$=S5=10, ( 11 分)當 t >6 時,對任意 n nCN*, T+t >+6> 10>S n,當t>6時,對任意 n, mC N , SnVTm+t恒成立.(14分)點評:本題考查數(shù)列的通項公式的求法,考查數(shù)列前n和的應用,是中檔題,解題時要注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用.21.在銳角 ABC中,a, b, c分別為角 A, B, C的對邊,且 4sin 型g - cos2A=Z .22(1)求角A的大小;(
26、2)若BC邊上高為1,求 ABC面積的最小值?考點:三角函數(shù)中的恒等變換應用;三角函數(shù)的最值.專題:解三角形.分析: (1)利用三角形內(nèi)角和,轉(zhuǎn)化 B+C用誘導公式、降哥公式、倍角公式化簡,得到關(guān)于cosA的方程,求得 cosA,進而求得 A.(2)在RtAABtD RtACD中,sinB=l, sinC二2,代入三角形面積公式,求得面積的最值, 只需化簡求表達式中分母的最值,將C用B表示,利用兩角和公式化簡,利用B的范圍求得分母的最值,進而求得面積的最值.解答: 解:(1) .a+b+c=,.B+C x - A a sin u -sin=cos,2224sin && - co
27、s2A=.22 .4cos2 - cos2A=.221-2 ( 1+cosA) - ( 2cos2A- 1) =,整理得(2cosA - 1) 2=0,cosA=, -0< A< 兀,(2)過點 A作 ADLBC 在 RtAABD RtACD 中,sinB=,Sa ABobcsinA-2 1 J L vV3,/人人人 -2 sinB ginC 2 4ginBginC設 y=4sinBsinC ,貝U y=4sinBsinB) =2>/3sinBcosB+2sin 2B=/3sin2B+1 cos2B=2sin (2B£) +1, .-0< bk, 0v&£ b
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