知識點-立體幾何知識點常見結論總結材料

1、立體幾何高考知識點和解題思想?yún)R總補充：三角形內(nèi)心、外心、重心、垂心知識四心的概念介紹:（1）（2）（3）（4）重心中線的交點：重心將中線長度分成 垂心一一高線的交點：高線與對應邊垂直； 內(nèi)心一一角平分線的交點（內(nèi)切圓的圓心） 外心中垂線的交點（外接圓的圓心）2： 1；:角平分線上的任意點到角兩邊的距離相等; 外心到三角形各頂點的距離相等。垂心C若P為ABC所在平面外一點,0是點P在 ABC內(nèi)的射影，貝 若PA=PB=PC或PA、PB、PC與所成角均相等,則0為 ABC的外心； 若P到. ABC的三邊的距離相等,則0ABC勺內(nèi)心； 若PA、PB、PC兩兩互相垂直,或PA _ BC,PB _ AC

2、則0為. ABC的垂心.常見空間幾何體定義：1 .棱柱：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由 這些面所圍成的幾何體叫做棱柱，這兩個面為底面，其他面為側面。棱柱具有下列性質(zhì)：1）棱柱的各個側面都是平行四邊形，所有的側棱都平行且相等；2）棱柱的兩個底面與平行于底面的截面是對應邊互相平行的全等多邊形。3）直棱柱的側棱長與高相等；直棱柱的側面及經(jīng)過不相鄰的兩條側棱的截面都是矩形。 棱柱的分類：斜棱柱：側棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱。直棱柱：側棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱。直棱柱的各個側面都是矩形；正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱。正棱柱的各個側面都

3、是全等的矩形。平行六面體：底面是平行四邊形的棱柱。直平行六面體：側棱垂直于底面的平行六面體叫直平行六面體。長方體：底面是矩形的直棱柱叫做長方體2 .棱錐：有一個面是多邊形 ，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫 做棱錐.（1）如果一個棱錐的底面是正多邊形，且頂點與底面中心的連線垂直于底面，這樣的棱錐稱為 正棱錐.正棱錐具有性質(zhì)：正棱錐的頂點和底面中心的連線即為高線；正棱錐的側面是全等的等腰 三角形，這些等腰三角形底邊上的高都相等，叫做這個正棱錐的斜高.（2）底邊長和側棱長都相等的三棱錐叫做正四面體.（3）依次連結不共面的四點構成的四邊形叫做空間四邊形. 常見幾何題表面積

4、、體積公式1旋轉體的表面積（1）圓柱的表面積S = 2 r2 + 2二rl （其中r為底面半徑，I為母線長）（2）圓錐的表面積S二二r2 +二rl （其中r為底面半徑，I為母線長）（4）球的表面積公式S = 4二R2 （其中R為球半徑）.2 幾何體的體積公式（1）柱體的體積公式V= Sh（其中S為底面面積，h為高）.1（2）錐體的體積公式V= §Sh（其中S為底面面積，h為高）.43 球的體積公式v=勺冗R （其中R為球半徑）.三棱錐外接球問題:、正四面體：如圖1,正四面體ABCD勺邊長為a,高為h，、6系：R=h 6a，有外接圓球半徑為:34其外接球與內(nèi)切球球心重合，且有關V612

5、 a，比例為3:1。a，內(nèi)切圓的球半徑為：. 例I （2006年高考山 東蔣*理12）在竽腰梯形ABCD 中M 二 2CD = 2,DAR吐60。衛(wèi)為的中!)沿ED、EC向上祈起,tit4.fi筆合于點P（圖2）, 劉三綾錐P - ME的外接垠的體枳為（字（D）弊(A)嚕心T答案：C、出現(xiàn)“墻角”結構利用補形知識,聯(lián)系長方體?！驹怼浚洪L方體中從一個頂點出發(fā)的三條棱長分別為a,b,c，則體對角線長為I -一 a2 b2 c2，幾何體'2 卄2 +2的外接球直徑2R為體對角線長I即R = b-2【例題】：在四面體ABCD中，共頂點的三條棱兩兩垂直，其長度分別為 1，6,3，若該四面體的四

6、個頂點在一個球面上，求這個球的表面積。AE的長解：因為：長方體外接球的直徑為長方體的體對角線長，所以：四面體外接球的直徑為1_2即：4R2 =AB2 AC2 AD2, 4R12 3 . 6 =16 所以 R = 2，球的表面積為 S=4:R2=16:二、出現(xiàn)兩個垂直關系，利用直角二角形結論?！驹怼浚褐苯侨切涡边呏芯€等于斜邊一半。球心為直角三角形斜邊中點。【例題】：已知三棱錐的四個頂點都在球 O的球面上，AB_BC且PA=7，PB = 5，PC =$51，AC=10, 求球O的體積。解：AB_BC且 PA =7, PB=5，PC 二 51，AC =10,., 2因為 72. 51 =102

7、所以知 ACPA2 PC所以PA_PC所以可得圖形為：在Rt ABC中斜邊為AC在Rt PAC中斜邊為AC取斜邊的中點O,在 Rt ABC 中 OA = OB =OC在 Rt PAC 中 OP =OB =OC所以在幾何體中OP=OB=OC=OA，即O為該四面體的外接球的球心1R AC =52所以該外接球的體積為V -R500-3 3三、雙垂四面體的外接球半徑問題四面休A-BCD中，若朋 丄平面BCD,CO 丄平面AC玖則禰該四面休為雙垂四面休（圖 4） 設M = a,ffC = b9C =叫其外接球的半徑為匚如果把該雙垂四面體補成一個長方體 （圖5），那么該雙垂四面體的外接球電是長方 休的外接

8、球于&2r - AD = /+ c2，故ya1 + fr1 +f 二s例？ （2008年高考安皺算理15）巳知 仏比?、0準同一個球面上忍R丄 面BCD,BC丄 CD,若AB = 6tAC - 2 /13,AD =趴則/?、£兩點間的球面距寫是4* 因為 £G 口 v<4C2 -簡解:將其補成長方體 （圖6）,依題意得球心O是 AD的中點,2f = 4D = 8,于 jgr = 4.所以丑O - OC =A=4,所以BOC =界故&C兩點間的球面距4ttT【總結】斜邊一般為四面體中除了直角頂點以外的兩個點連線。立體幾何總結:1多邊形內(nèi)角和：（n-2）*

9、1802、30°直角三角形，邊比例1:2 :根33、30° 30° 120°三角形邊比例1:1 :根34、45°直角三角形邊比例1:1 :根25、多面體的體積為V,表面積為S,則有內(nèi)切球的半徑為=劄S第一節(jié)平面、空間直線（3）、求異面直線所成角的方法：遵循“先作角，再求角”的原則，用平移轉化法放到三角形中去求， 用好正、余弦定理常用的平移方法有：直接平移法；中位線平移法（涉及中點時常用）；補形圖 9_2_1第二節(jié)空間直線與平面法.核心知識點2、線面平行的判定和性質(zhì)（2）線面平行的判定（用來證明直線與平面平行的方法） （判定定理）如果平面:外一直

10、線a與平面內(nèi)一直線b平行，則直線a與平面平行下面的這些定理或推論也是證明線面平行的常用方法：一 如果平面外的兩條平行直線a,b中有一條和平面平行，則另一條也和平面平行 圖 如果兩個平面平行，則其中一個平面內(nèi)的任何一條直線都平行于另外一個平面 如果直線a垂直于平面，平面外的直線b與直線a垂直，則直線b平行于平面- 若平面和外的一直線a都垂直于同一個平面1，則直線a平行于平面：（3）線面平行的性質(zhì)定理：（如圖9-2-2）如果直線I與平面平行，過直線I的平面：與面相交，則交 線與直線I平行3、線面垂直的判定和性質(zhì)：（1）定義：如果一條直線與平面內(nèi)的任何一條直線都垂直，則這條直線和這個平面垂直。（2）

11、線面垂直的判定（證明直線與平面垂直的方法） （判定定理1）如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則這條直線與這個平面垂直。 （判定定理2）如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面。 （面面平行的性質(zhì)定理）如果一條直線垂直于兩個平行平面中的一個， 則這條直線垂直于另一個平面。 （面面垂直的性質(zhì)定理）如果兩個平面垂直，則在其中一個平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個平 面。 如果兩個相交平面都垂直于第三個平面，則交線也垂直于第三個平面（3）線面垂直的性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個平面，則這兩條直線平行4、線面角（1）如果平面:外的直線I與平面不平行也不垂直，則稱

12、直線I為平面的斜線，設I二=0，在I上 任取一點P （ P不與斜足0重合），過P作面的垂線，垂足為P'，則垂足P'與斜足0的連線0P'叫做 斜線I在平面上的射影，I與其射影0P'的夾角二叫做I與面所成的角。規(guī)定：當I/八或I二時， V - 0，I _ ：時V -90，于是線面角的范圍是0 ,90 .5、三垂線定理：一條 直線，如果和穿過這個平面的一條斜線在這個平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直6、三垂線逆定理：一直線，如果和穿過這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在這個平面內(nèi)的射影垂直A7、方法總結：下面的幾個結論是找垂足的有力工具：（1）若P為AB

13、C所在平面外一點，0是點P在 ABC內(nèi)的射影，貝 若PA=PB=PC或PA、PB、PC與所成角均相等,則0為 ABC的外心； 若P到 ABC的三邊的距離相等,則0ABC的內(nèi)心； 若PA、PB、PC兩兩互相垂直，或PA BC,PB AC則0為 ABC的垂心.（2）面面垂直的性質(zhì)定理：如果兩個平面垂直，則在一個平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個平面第三節(jié)空間平面與平面核心知識點：1面面平行的判定和性質(zhì)（1）面面平行的判定： （判定定理）如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行；（線面平行=面面平行） 垂直于同一直線的兩平面平行；（線面垂直=面面平行） （面面平行的傳遞性）

14、如果兩個平面同時平行于第三個平面，那么這兩個平面平行；（2）面面平行的性質(zhì) 若兩個平面平行，則其中一個平面內(nèi)的任意一條直線都平行于另一個平面；（面面平行=線面平行） 若兩個平行平面同時與第三個平面相交，則兩交線平行；（面面平行=線線平行） 若一條直線垂直于兩平行平面中的一個，則該直線也和另一個平面垂直； 夾在兩平行平面間的平行線段相等； 經(jīng)過平面外一點有且僅有一個平面與已知平面平行.2、兩個平行平面間的距離：如果直線I與兩平行平面都垂直，垂足分別為 A,B，則稱線段AB的長為兩 平行平面間的距離.3、二面角的定義及表示方法：（1）定義：平面內(nèi)的一條直線把這個平面分成兩部分，其中的每一部分都叫做

15、半平面，從一條直線發(fā) 出的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面；（2）表示方法：棱為AB （或I ），面為a丿的二面角記為a -AB-P （或a - I-B ）.4、二面角的平面角在二面角的棱上任取一點，過該點分別在兩個半平面內(nèi)作垂直于棱的兩條射線，兩射線所成的角叫做二面角的平面角.（范圍：0,180）.5、面垂直的判定和性質(zhì)（1）面面垂直的判定： （定義法）兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，則稱這兩個平面垂直（即求證二面角 的平面角是直角） （判定定理）如果平面:-經(jīng)過了平面一：的一條垂線，則二】；（線面垂直=面面垂直）（2）面面垂

16、直的性質(zhì)： 如果兩個平面垂直，則在一個平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個平面；（面面垂直-線面垂直） 若兩平面垂直，則經(jīng)過第一個平面內(nèi)一點且垂直于第二個平面的直線在第一個平面內(nèi).方法總結（1）熟記面面平行和垂直的判定和性質(zhì)的相關定理，能快速明確題目解體思路，比如，要證面面平行， 則只需去其中一個平面內(nèi)找到兩相交的直線與另一平面都平行即可；又如，證面面垂直，則只需在其中 一個平面內(nèi)去找到一條直線與另一平面垂直即可，解題過程中應注意轉化的思想；（2）有關面面平行和垂直的相關的定理之間的轉化關系，要結合上節(jié)的知識；（3）與面面距離相關的問題：二面角的平面角的作法及求法將在第四、五節(jié)中系統(tǒng)地講解.第四

17、節(jié) 空間角核心知識點：高考中立體幾何題的計算常涉及“求角”、“求距離”、“求面積或體積”三類問題，其中“求角”問題幾 乎年年涉及，求角問題包括異面直線所成的角，線面角及二面角的平面角.三種空間角的概念及范圍（1）異面直線所成的角：過空間任一點分別引兩異面直線的平行線，則此兩相交直線所成的銳角（或直角）叫做兩異面直線所成的角異面直線所成角的范圍 （2） 直線與平面所成的角：當1/八或I :時，I與所成的角為0 ;當1_時，I與:所成的 角為90 ;當I與:斜交時，I與所成的角是指I與I在面:上的射影I'所成的銳角線面角的范圍：（3）二面角的平面角須具有以下三個特點：頂點在棱上；角的兩邊分

18、別在兩個半平面內(nèi)；角的 兩邊與棱都垂直二面角的范圍： 方法總結：1、求異面直線所成角的方法：主要通過平移轉化法來作出異面直線所成的角，然后利用三角形的邊角 關系（正、余弦定理）求角的大小，要注意角的范圍.2、 求線面角的一般過程是：（1）在斜線上找到一個合適的點 P，過P作面的垂線（注意垂足P'的確 定），垂足P'和斜足A的連線即為斜線PA在平面。上的射影，貝U N PAP'即為所求；（2）將N PAP'放到PAP'或其它包含此角的三角形中去求.說明：在解題過程中，我們會發(fā)現(xiàn)求角問題難在作角，其中又難在過平面外一點，作平面的垂線后，垂 足位置的確定復習過

19、程中應注意對常用的找垂足的方法進行歸納總結.上面的（2）及下面的幾個結論是找垂足的有力工具：（1）若P為ABC所在平面 外一點,O是點P在內(nèi)的射影，貝 若PA=PB=PC或PA、PB、PC與所成角均相等,則O為 ABC的外心； 若P到ABC的三邊的距離相等，則O為"BC ABC的內(nèi)心； 若PA、PB、PC兩兩互相垂直,或PA _ BC,PB _ AC則O為 ABC的垂心.（2）面面垂直的性質(zhì)定理：如果兩個平面垂直，則在一個平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個平面；第五節(jié)空間距離核心知識點點線距、點面距、線面距、面面距、兩異面直線之間的距離是高考中常見求距離的問題.常見的空間距離的求法：（1）求點到直線的距離利用三垂線定理找到垂線段，垂線段就是所求；（2）點到平面的距離的求解方法一般有兩種：直接求解法：從該點向平面引垂線，確定垂足位置，這里要用到兩個平面垂直的性質(zhì)定 理，求出點和垂足之間的距離即可.“體積代換法”：把點到平面的距離轉化為以該點為頂點，平面內(nèi)的一個三角形為底面的三棱錐的高， 再通過變換