中值定理、羅必塔法則

1、第三章中值定理、羅必塔法則、導數(shù)的應用-、學習目的與要求1、加深理解羅爾定理和拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒公式。2、會應用中值定理做一些證明題。3、熟練掌握用羅必塔法則求未定式的極限。4、理解函數(shù)的極值概念。5、掌握求函數(shù)的極值，判斷函數(shù)的增減性與函數(shù)圖形的凹凸性，求函數(shù)圖形的拐點。6、 能描繪函數(shù)的圖形(包括水平與鉛直漸近線)。7、會解較簡單的最大值和最小值的應用問題。&知道曲率及曲率半徑的概念，并會計算曲率和曲率半徑。二、學習重點中值定理的應用函數(shù)最值的求法及函數(shù)圖形的描繪三、內容提要1、微分中值定理名稱定理簡圖幾何意義羅爾(Rolle )定 理若函數(shù)f (x)滿足(i) 在閉

2、區(qū)間a,b上連續(xù)，(ii) 在開區(qū)間(a,b)內可導，(iii)f(a) f(b)，則(a,b)，使得f ( )0)J若聯(lián)結曲線端點的弦是 水平的，則曲線上必有一 點，該點的切線是水平 的。拉格朗日(Lagrange) 中值定理若函數(shù)f (x)滿足;(i) 在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，(ii) 在開區(qū)間(a,b)內可導，貝V(a,b)，使得f(b) f(a) f ( )(b a);或者 f (a h) f (a) f (a h)h(01,h b a)d L曲線上總存在一點，該點 的切線與連結曲線端點 的直線平行。推論1在定理條件下，若 f (x)0,則f (x)常數(shù)推論2若f(x)、g(x)都滿足定

3、理條件，且 f (x) g (x),則f (x) g(x) c(c為常數(shù))柯西(Cauchy)定理若函數(shù)f(x),g(x)滿足；(i) 在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，(ii) 在開區(qū)間(a,b)內可導，(iii)g (x)0,則(a,b),使得f(b) f(a) f () g(b) g(a) g ()同上，只是曲線由參數(shù)方x g(t)程y a t y f(t)b)2、羅必達法則(LHospital)類型條件結論0型0與_型設當x a時f(x)與g(x)均為無窮小(或均為無 窮大)，且存在b a，使f (x)、g(x)在(a,b)內可 微且g (x)0, lim f (x) L(L為有限或)x a g

4、(x)rf(x) f (x)lim lim Lx a g(x)X a g (x)注1將結論中的x a換成x a或x a,x , x，且其它條件亦作相應變動，結論仍成立。注2 其它未定型轉化為 -型型的形式。 03、泰勒(Taylor)定理設函數(shù)f(x)在含xo的某開區(qū)間(a,b)內具有直至n 1階導數(shù)，則有f (x0)2f(x)f(x0) f(x0)(x X。)一2-(x X。)f(n)(X)n!(xx)nRn(x)f(n 1()其中Rn(x)(x x)n1,在X與X0之間,Rn(x)稱為f (X)在X0處的拉格朗日余(n1)!項。特別，在上式中令X0，得f(x)f(0) f (0)f (0)

5、 2Xf(n)(0) nXf (n 1)(x) n 1x ,01.21n!(n1)!此公式稱為麥克勞林公式f (x)f(x)f(x)(x x)(X0)(x 2!X0)2()(x X0)o(x X0)n!稱為帶有皮亞諾(Pea no)余項的泰勒公式f (0)f(n)(0)f (x) f (0) f (0)x2xn o(xn),稱為帶皮亞諾余項的麥克勞林2!n!公式注 在學習過程中應注意上述四個定理之間的關系4、函數(shù)的性質(I)單調性定理 設f (x)在a,b 上連續(xù)，在(a,b )內可微。(i) f(x)在a,b上單調增(單調減)的充要條件是在(a,b )內f (x) 0( f (x) 0)。(

6、 ii) f(x) 在 a,b 上嚴格單調增(嚴格單調減)的充要條件是在(a,b )內f (x)0( f (x) 0)，且使f (x) =0的點x不充滿(a,b )的任何子區(qū)間。II )極值(1)極值的概念設f(x)在點xo及其鄰域有定義，對于充分接近xo的所有x,若f(x)f(Xo)，則稱函數(shù)f (x)在x = xo處取得極小值。函數(shù)f (x)的極大值和極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值使f (x)取得極值的點xo稱為函數(shù)的極值點。若函數(shù) f (x)在點xo處可微，且 f (x) o,則稱點xo為函數(shù)f (x)的穩(wěn)定點(駐點)。( 2)基本定理定理 1(必要條件) 一個函數(shù)只能在它的穩(wěn)定點及不可微點處取

7、得極值。定理2 (第一判定定理)設函數(shù)f(x)在點xo處連續(xù)，在xo的附近可微(點xo可除夕卜)，當點x漸增經過點Xo時，f (x)的符號由正(負)變負(正)，貝y f (x)在 點 xo 處取得極大(小)值。定理3 (第二判定定理)設函數(shù)f (x)在點xo處具有二階導數(shù)，且f (x) o ,f (x) o,則當f (x) o ( f (x) o)時函數(shù)f (x)在點xo處取得極大值(極 小值)。III )函數(shù)最大值、最小值的求法因為由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質知：在閉區(qū)間a,b上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上必有最大值和最小值。所以若f (x)在a,b 上可微，則可用下面的方法求出它的最大值和最小值：先由極

8、值的判定定理，求出函數(shù)f(x)的極值點，然后比較函數(shù)在所有極值點處的值與函數(shù)的區(qū)間端點的值,其中最大者就是最大值,最小者就是最 小值。若所考慮的區(qū)間為開區(qū)間或無窮區(qū)間,只要有辦法斷定最大值(最小值)是 存在的,那么從所有極大值(極小值)中選取最大(最小)的就是最大值(最小 值)。特別地,若在開區(qū)間內只有一個駐點時,最大值(最小值)則就在這個駐點處取 得。(IV )函數(shù)的凸性及曲線的拐點定義1若連續(xù)曲線y f(x)上任意兩點A,B的弦AB恒在曲線段 AB的上側(下 側)，則稱f(x)為下凸(上凸)函數(shù)，簡稱凸(凹)函數(shù)，而稱曲線y f(x)為下凸(上凸)曲線。若對于任給 ，a,b()與t (0,

9、1),有f(1 t) t ) (1 t)f( ) tf()則稱f (x)為在a,b 上的凸函數(shù)，若將上式中的w”換成v”，則相應地改稱為“凸函數(shù)”為“嚴格凸函數(shù)”。若 f(x)為凸(嚴格凸)函數(shù)，則稱 f(x)為凹(嚴 格凹)函數(shù)。定義2連續(xù)曲線上凹與凸的分界點稱為曲線的拐點。定理 設f (x)在(a,b )內二次可微，f (x)在a,b 上連續(xù)(i) f (x)在a,b 上的凸(凹)函數(shù)的充要條件是在 (a,b )內f (x) 0 ( f (x) 0 )(ii) f(x)在a,b上嚴格凸(凹)的充要條件是在(a,b )內f (x) 0 ( f (x) 0)，且使f (x)0的點x不充滿(a,

10、b )的任何子區(qū)間。(V) 曲線的漸近線定義當曲線無限伸展時，若曲線上的點與某一直線的距離趨于0,則稱該直線為曲線的漸近線。漸近線的求法：鉛直漸近線 若對于x，有l(wèi)im f (x)，則x x0就是y f (x)的鉛直漸近線。X xq水平漸近線 若lim f (x) y0，則y y0為y f (x)的水平漸近線。x斜漸近線若a lim上兇 及b lim f (x) ax都存在，則y ax b為y f(x)x xx的斜漸近線。(VI) 曲線的曲率 設M為曲線y f (x)上一點，M1為曲線y f (x)上異于M的任一點，弧MM1的長記為 s，過M與M1的兩切線間的夾角為，當M g (x)，則對任意

11、x必有f (x) g(x)對嗎？為什么?8、若f (x)在X。至少二階可導，且lim竺學X 刈(x X0)1，則函數(shù)f (x)在X = Xo處取得極大值還是極小值，為什么?9、已知函數(shù)y f (x)對一切x滿足xf (x)3x f (x)2X1 e ，若f (x)在某一點X0豐0處有極值，問f(x。)是極大值還是極小值？為什么?10、若f(X。) 0,則點(X。，f(x。)必為函數(shù)曲線yf (x)的拐點，對嗎？為什么?分析典型例題分析試問下面的運算正確嗎？如有錯誤，請指出錯誤，并且給出正確解法。lim 11，因為xX(1) lim x x si nx上式等號是錯誤的cosx時1 cosx的極限

12、不存在(振蕩)不能使用羅必塔法則。limXxsin xlimX1sin x1x(2)limXXeXeXeXelimX2xe1e1lim 務 1x 2e分析第一個等號是正確的，第二個等號是錯誤的。 種不同的極限過程，分兩種情況考慮。因為本題應考慮分析X e lim e所以當x(3)設 g(0)1lim1 e2xe2X-X e limeXeXelimX2xe 12xe時極限不存在。(0)0,g (0)上式第一個等號是正確的。因為當0 時，g(x) 0, x2lim理辺10 2 20，所以警是-型2 0未定式。又因為g (0)2，在x=0的某鄰域內g (x)存在，可以用羅必塔法則。第二個等號是錯誤的

13、。雖然x 0時，2x o,g(x)0，貯是I未定式，但g (0)2，僅代表f(x)在點x=0處二階導數(shù)存在。而 g (x)在x=0的鄰域內是否存分析分析在沒有說明，不滿足羅必塔法則中的條件 算。lim翌x 0 x2limx 0 2xlim皿n (n)2,故不能用羅必塔法則，應該按導數(shù)定義計1lim9(x) 9(0)1g(0)12x 0 x 02nimn 0上述運算是錯誤的。因為列不存在導數(shù)，不能直接用羅必塔法則。計算時，應的函數(shù) 蟲。當x時，是一型未定式，可以使用羅必塔法則求函數(shù)的極xx限。顯然，如果函數(shù)的極限存在，數(shù)列的極限也存在且等于函數(shù)的極限。但也需注意， 如果函數(shù)的極限不存在，數(shù)列的極

14、限可能還存在。1因 limX x(5)求 lim (1x 0limx1x)xx1.(1 x)x e limx 0=|叫(11X）；1= elim -xx 0 2為自然數(shù)，數(shù)列的定義域是離散點集，對自變量n而言數(shù)可先將n擴充為連續(xù)變量x，寫出相0,所以，當x為正整數(shù)時(1 x)1/xJl n(1 limxx 01(1 x) ln(1 x) x2(1 x)=lim0(1x)lim 旦 0 n n1x(1 x)丄1x)xx (1 x)l n(1x)x2e2上述解法是正確的。這是0型未定式，可應用羅必塔法則0;而且為了簡化運算，在第二個等號的右端將函數(shù)進行了有理運算，在第三個等號右端將其中含有已知極限

15、的因式 提出來單獨求極限，避免使用羅必塔法則時的復雜求導運算，而僅對未定式部分使用 法則，這樣計算大大簡化。3 112求（1） lim x （sinsin ）;xx 2x（2） lim WcosVx。x 0（1 ）屬0型未定式。lim x3(sin1sin?)lim小xJlimxcos13 x = 2lim3x 8x.3sin -2xcos-)x.1sin -2x.11 . 2sin sinx2 x123 .x 2sin sin2x31(丈抵)(2)屬 1Ximo12x型未定式。1(cos、x)x，貝U ln yIn cos、x ln y limx 0 x所以-lim3x12xIn cos I

16、 xxlim -x 0 COSx11 coslim xx122 cosXx34x12x12、x-lim2 x 0tg xxlim x cos x lim y”x 0例3 如果a,a1, , an為滿足a。2na。ax a?xanx對于幕指函數(shù)的未定式1 ,00,分析依題意要證明的是 a0 a a2a1a2an0的實數(shù)，證明方程23n 10在(0, 1)內至少有個實根。nan0,01，把它改寫成0都可以按上式的方法計算。,a1 2 a2 3(axx x23an n x n 1這是羅爾定理結論的形式，因此可以構造輔助函數(shù)f(x) axa12x22a 3x3ann 1x n 1用羅爾定理證明。證 設

17、輔助函數(shù)f(x)2ai2 a 3a0x x x23ann 1x n 1f (x)在0,1上連續(xù)，在(0,1)內可導,f (0)f (1)0。由羅爾定理知在0,1)內至少有一點使得f ( )=0, (0 1)，即2a2an0,所以方程在(0，1)內至少有一個實根。例4 設函數(shù)f (x)在閉區(qū)間0, 1上的每個x都有0v f (x) v 1，且f (x)豐1,證明在(0, 1)內有且僅有一個x，使f (x) = x。分析將要證的結論寫成f (x) -x=0，利用介質定理可證方程在0,1內至少有一個實根,是否存在第二個實根可用反證法。證先證存在性設 F(x) f (x) x, F (x)在0,1上的

18、連續(xù)，由于 0 v f (x) v 1,則F(0)f(0)0, F(1) f (1) 10,由連續(xù)函數(shù)的介值定理可知，至少存在一點x1 (0,1)，使得F(xJ 0,即f (x1) x1。再證唯一性，用反證法：假設在(0, 1 )內除了點f區(qū))=捲之外，還有一點x2也使f(x2) = x2。不妨設x1V X2由于F(x)在X1 , X2上滿足拉格朗日中值定理的條件，因此在(捲,X2)內存在一點f(X2) f(X1) X2 X1x2 X1X2 X1這與題設f (x)1相矛盾，因此方程 f(x) =x有唯一的實根。小結證明方程只有一個實根或函數(shù)在某一區(qū)間上只有一個零點，一般需分別證存在性與唯一性。

19、存在性的證明往往利用連續(xù)函數(shù)的介值定理或羅爾定理，而唯一性經常用反證 法。例5 假設f(x)是a,b上的正值可微函數(shù)，則有點 (ab )，使Inf(b)f(a)a)分析 假設等式成立，把它改寫成In f(b) In f(a)b af ()f()顯然，上式左端是函數(shù)In f (x)在a,b上增量與區(qū)間長度之比，右端是 In f (x)在x點的導數(shù)。因此，可以構造輔助函數(shù)In f (x)，用拉格朗日中值定理證明。證 設F(x) = In f(x)，F(xiàn)(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b )內可導，滿足拉格朗日中值定理的條件，故有 Inf(b) Inf(a)丄n，( a b) b af()f (b) f

20、 ()心、即In(b a)f(a) f()例6 設f (x)在xj, x2上可導，且0 v x1 0 時， 0, e 1, xe x，從而 e 1+ x，當 x 1+ x，所以當 x 0 時，ex 1 x證法用柯西中值定理。設 f (x) = ex, F(x)=1+x ,在()內任取x，在0 , X或X , 0內f(X)、F(x)滿足柯西中值定理的條件。在0，x或x，0上連續(xù)；在(0,0)內可導；在(0，x )( x ,0 )內 F (x)=1F(x)F(0) x故有ex e0(1 x) 17，(在0與x之間)；當x 0時，e 1,xe 1+ x ；x V 0 時,xe 1.e v 1,1,x

21、xe 1+x ,所以0 時，ex 1 x。證法用泰勒公式。2 x 2!x這就證明了f(x) = ex，將ex在x=0點展開為一階麥克勞林公式與x之間)因為當 x豐0時 x2 0，所以 ex2!xe 1 x小結 禾U用拉格朗日中值定值、柯西中值定理和泰勒公式證明不等式的關鍵是構造適當?shù)妮o助函數(shù)和選擇適當?shù)膮^(qū)間，使它滿足定理的條件。其次是如何將等式轉化成不等式，主要是把f ()適當放大或縮小從而得到所要證明的不等式。例8設f(x)在a1,b1上連續(xù)，在(a1,b1 )內有一階、二階導數(shù)且f f (b) 0, f (a) 0,a1 abb,試證在開區(qū)間(a, b)內至少存在一點使f ( ) 0分析

22、由f (a)0知在a點的右鄰域內存在一點c,使得f(c) 0,a c b。又f(a) f(b) 0自然想到將a,b分成a,c , c,b二個區(qū)間，在每個區(qū)間上對f(X)應用拉格朗日中值定理，找到f ( 1), f ( 2)。選定1 , 2】閉區(qū)間，再次應用拉格朗日中值定理即可得到結果。又，由于f (x)在a,b內二階可導，f(a) f(b) 0 ,且研究的結論是f() 0,而泰勒公式中包含二階導數(shù)，自然想到也可以用泰勒公式證明。證法1用拉格朗日中值定理。由 f (a) |im f(X) f(a)|im 丄兇 0 可知，存在 0，當 c (a,a )x a x axaXa時，丄 0，從而，f(c

23、) 0,在a,c，c,b上f (x)滿足拉格朗日中值定理條件,x a故在a,c上有(a1c)(c2b)1，2 上有f (c) f (a) f f(c)f ( i)，c ac a在b 上有 f(b) f(c) f () f(c)在c,b上有f ( 2)b cb c又f (X)在1，2上滿足拉格朗日中值定理條件，故在f ( 2) f ( 1)2 1因為f (c) 0, c a 0, b c 0 ,所以f ( 1) 0, f ( 2) v0又因2 0, f ( 2) f ( 1) v 0，所以 f ( ) v 0。證法2 用泰勒公式。由題設(a)limx af(x) f(a)x alimx af(x

24、)x a0得到，在(a,b)內必存一點c使得f(c) 0,a c b。設f (x)在x點取得最大值，f (x) 0,a X。b, f() f(c) 0,f (x)f (X0) f(X0)(X X0)十(X X0),(在 x 與 X0之間)f ( )2令 x a，則有 f (a)f (xo) f (xo)(a x)(a x)f ()2f( )2f(xo)2(a X。)，即2F(a X。)f (xo) o，所以 f ( ) v o。小結證明包含二階以上導數(shù)的有關結論，如果用拉格朗日中值定理，就要分析題目條件選定二個以上適合中值定理條件的區(qū)間，多次應用拉格朗日中值定理。泰勒公式中含有 各階導數(shù)值，也

25、可以用來證明與二階以及以上導數(shù)有關的命題。例9 求函數(shù)f (x) sin x cosx的極值(ow x o,4此題為可導函數(shù)且在駐點處便。2xx已知函數(shù)f (x)x 1,f (x)2x2x(11,f (0)limx of(x)所以,limx o所以f(4)所以fq)f (x) o,. 2為極大值。、2為極小值。所以找出駐點后，用第二充分條件進行判斷方o,問x為何值時,o,f(x)取得極值。In x), xf(o)x o2x2x(1 ln x)o，當x=o時,olim -X o x1,f(o)limof(x) f(o)x olimx ox2x 1當x=o時，f (x)不存在。令 f (x)=o,

26、即 2x2x(1 ln x) =o，得駐點 x順序排列，把函數(shù)的定義域(11 、,(將可疑點x =o及x 按大小 ee)分成三個部分區(qū)間，討論在各部分區(qū)間上一階導數(shù)的符號。)11當 x v 0 時，f (x) 0 ；當 0v x v 時，f (x) 0 ；當 x 時，f(x)0 時，4f (x) g (x)。因此，當 x 0 時，f(x) g(x),曲線 y f (x)及 yg(x)不會相交；當x0時，方程無實根，故方程以0為其最大實根。(2) g(x) sinx cosx2sin(x)為周期 T=2 的周期函數(shù),它在直線y 2 及4y2間來回振動。而f (x) e2x，當 x時，f(x)0,

27、即曲線 y f(x)以x軸為漸近線，故兩曲線y f(x)及 yg(x)在(,0)內無限多次相交,所以原方程有無限多個根。例192證明不等式x si nxx 當 0x 2時成立。證令 f (x) x sin x，則 1f (x)1 cosx0,x(0,2)所以f (x)在0,空上單調增，當02(2)令 g(x) sinx x，則 g (x)(0, )內不單調，要證當:2令sin xx 3時 f(x) f (0) =0 即 x sinxcosx 在(0,)可正可負，因此 g(x)在22 sinx 2 jx，證即可。為此，g(x) x，而 g (x)xcosx2xsin xcosx2 (x tanx) x由于當0x 時，cosx 0,tanx2x，所以g (x)0。函數(shù) g(x)在(0,)內單調減小,因此，當0 x 2時，有 g(x) g(彳，即sinx 2x所以-x si nx x(0例20若0 x 1及p 1,求證:12卩1xp (1 x)p 1分析因中間部分是x的函數(shù)，兩端是常數(shù)且式中出現(xiàn)等號，故可聯(lián)想到閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，在該區(qū)間上一定能取得最值，且其函數(shù)值介于最小值與最大值之間