大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計公式定理全套匯編

1、大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計公式全集一、隨機事件和概率1、隨機事件及其概率運算律名稱表達式交換律ABBAAB BA結(jié)合律(AB)CA(BC) ABC(AB)C A(BC) ABC分配律A(B C) AB ACA (BC) (A B)(A C)德摩根律A B ABAB A B2、概率的定義及其計算公式名稱公式表達式求逆公式P(A) 1 P(A)加法公式P(A B) P(A) P(B) P(AB)條件概率公式P(B|A) 91P(A)乘法公式P(AB) P(A)P(BA)P(AB) P(B)P(AB)全概率公式nP(B)P(Ai)P(BAi)i 1貝葉斯公式（逆概率公式）P(Aj)P(BAj)P(Aj|B

2、)1P(Aj)P(BA) i 1伯努利概型公式Pn(k)Ckpk(1 p)nk,k 0,1, n兩件事件相互獨立相應(yīng)公式P(AB) P(A)P(B) ； P(B|A) P(B) ； P(BA) P(BA) ；P(b|a) P(B A) 1；P(BA) P(B A) 1、隨機變量及其分布1、分布函數(shù)性質(zhì)P(X b) F(b) P(a X b) F(b) F(a)2、離散型隨機變量分布名稱分布律0- 1 分布 B(1,p)P(X k) pk(1 p)1k, k 0,1二項分布B(n,p)P(X k)Ckpk(1p)n k, k 0,1, ,n泊松分布P()kP(X k) e , k 0,1,2,

3、k!幾何分布G(p)P(X k) (1 p)k1p, k 0,1,2,超幾何分布H(N,M,n)P k P n kP(X k) M F M ,k l,l 1, ,min(n,M) Cn3、連續(xù)型隨機變量分布名稱密度函數(shù)分布函數(shù)均勻分布u (a, b)1,a x b f(x) b a0,其他0, x a x a F(x) , a x bb a 1,x b指數(shù)分布E()e x, x 0 f(x)Q 其他0,x 0F(xxn1 e , x 0正態(tài)分布N( , 2)(x )212 2f (x). exV2(t)21x2-F (x):e 2 d tJ 2標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)2 x(、1T(x)方=e

4、x(t)21x2 2F (x)士ed tJ2三、多維隨機變量及其分布1、離散型二維隨機變量邊緣分布PiP(X Xi)P(X Xi,Y yj)pjPj p(y yj)P(XXi,Y yj)Pij2、離散型二維隨機變量條件分布pijP(X XiY yj)P(X Xi,Y yj)曳,ip(丫 yj)Pj1,2Pjip(丫 yj x xoP(X Xi,Y yj)PijZ7T：,JP(X Xi)Pi1,23、連續(xù)型二維隨機變量(X,Y )的聯(lián)合分布函數(shù)F(X,y)yf (u, v)dvdu4、連續(xù)型二維隨機變量邊緣分布函數(shù)與邊緣密度函數(shù)邊緣分布函數(shù):XFx (x)f (u, v)dvdu邊緣密度函數(shù):f

5、x (X)f(x,v)dv5、yFy(y)f(u,v)dudv二維隨機變量的條件分布fYx(yX)半決fx(X)fxY(Xy) 3fY(y)fY(y)f (u,y)du四、隨機變量的數(shù)字特征1、數(shù)學(xué)期望離散型隨機變量：E(X)XkPk連續(xù)型隨機變量：E(X) xf(x)dxk 12、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)(1) E(C) C,C為常數(shù) EE(X) E(X) E(CX) CE(X)(2) E(X Y) E(X) E(Y) E(aX b) aE(X) bE(CiXiCnXn) CiE(Xi)CnE(Xn)若XY相互獨立則：E(XY) E(X)E(Y)(4) E(XY)2 E2(X)E2(Y)3、方差：D(

6、X) E(X2) E2(X)4、方差的性質(zhì)(1) D(C) 0DD(X) 0 D(aX b) a2D(X) D(X) E(X C)2 D(X Y) D(X) D(Y) 2Cov(X,Y)若 XY相互獨立則：D(X Y) D(X) D(Y)5、協(xié)方差：Cov(X,Y) E(X,Y) E(X)E(Y) 若 XY相互獨立則：Cov(X,Y) 06、相關(guān)系數(shù)：XY (X,Y)4X2若XY相互獨立則：XY。即XY不相關(guān).D(X) , D(Y)7、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)(1) Cov(X,X) D(X) Cov(X,Y) Cov(Y,X)(2) Cov(X1 X2，Y) Cov(X1，Y) Cov(X2，

7、Y) Cov(aX c,bY d) abCov(X,Y)8、常見數(shù)學(xué)分布的期望和方差分布數(shù)學(xué)期望方差0-1 分布 B(1, p)Pp(1 p)二行分布B(n,p)npnp(1 p)泊松分布P()幾何分布G(p)1p1 p2 p超幾何分布H(N,M,n)Mn 一NMM N mn N (1N ) N 1均勻分布U(a,b)a b2(b a)212止態(tài)分布N( , 2)2指數(shù)分布E()11五、大數(shù)定律和中心極限定理1、切比雪夫不等式若 E(X) ,D(X)2,對于任意0 有 PX E(X) DX) 或 PX E(X) 1 又口4 n4 n2、大數(shù)定律：若Xi Xn相互獨立且n 時，-Xi D - E

8、(Xi) n i in i in n(1)右 Xi Xn 相互獨X,E(Xi)i,D(Xi) i 且 i M 則： Xi E(X)(n)n-ni ii in _右Xi Xn相互獨立同分布，且E(Xi)i則當(dāng)n 時：-Xin i i3、中心極限定理(i)獨立同分布的中心極限定理：均值為 ，方差為2。的獨立同分布時，當(dāng)n充分 大時有：N(0,i)n Xk n v k i Ynn(2)拉普拉斯定理：隨機變量t2lim P n np x不Le 2 dtx .np(i p).2(n i,2(X)B(n,p)則對任意X有:n(3)近似計算：P(a Xk b) P(一 k ir nnXk nk ibn) (

9、b n )(a n )nn )( n )( . n )六、數(shù)理統(tǒng)計1、總體和樣本總體X的分布函數(shù)F(x)樣本(Xi，X2 Xn)的聯(lián)合分布為F(Xi,X2 Xn)" F(Xk)k 12、統(tǒng)計量nnn 樣本平均值：X 1 Xi (2)樣本方差：s2 (Xi X)2 (Xi2 nX )n i 1n 1 i 1n 1 i 1(3)樣本標(biāo)準(zhǔn)差:ns信“方樣本k階原點距:nAk1 Xik,k 1,2n i 1n_樣本k階中心距：Bk Mk - (XiX)k,k 2,3n i 1(6)次序統(tǒng)計量：設(shè)樣本(X1，X2 Xn)的觀察值(X1,X2Xn),將X1,X2 Xn按照由小到大的次序重新排列，

10、得到xXq)x(n),記取值為x(i)的樣本分量為X6，則稱X(1) Xj)X(n)為樣本(X1,X2 Xn)的次序統(tǒng)計量。X(1) min(X1,X2 Xn)為最小次序統(tǒng)計量； X(n) max(X1,X2 Xn)為最大次序統(tǒng)計量。3、三大抽樣分布(1) 2分布：設(shè)隨機變量X1,X2Xn相互獨立，且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1),則隨機變量2 X12 X2X2所服從的分布稱為自由度為n的2分布，記為2 2(n)T房所服從性質(zhì)：E 2(n) n,D 2(n) 2n設(shè)X2(m),Y2(n)且相互獨立,則X Y 2(m n)t分布：設(shè)隨機變量XN(0,1),Y2(n),且X與Y獨立，則隨機變量:的

11、分布稱為自由度的n的t分布，記為Tt(n)(X )2性質(zhì)： Et(n) 0,Dt(n) ,(n 2) limt(n) N(0,1)e 2 2n 2n2F分布：設(shè)隨機變量U2(n1),V 2(n2),且U與V獨立，則隨機變量F(”2) "1所V r)2服從的分布稱為自由度(r)1,n2)的F分布，記為FF(n1,n2)性質(zhì)：設(shè) XF(m,n),貝！J2F(n,m)X七、參數(shù)估計1、參數(shù)估計 定義：用(Xi，X2，Xn)估計總體參數(shù)，稱(Xi,X2, Xn)為 的估計量，相應(yīng)的(X3X2, Xn)為總體 的估計值。(2)當(dāng)總體是正態(tài)分布時，未知參數(shù)的矩估計值=未知參數(shù)的最大似然估計值2、點估計中的矩估計法：(總體矩=樣本矩)n離目攵型樣本均值：X E(X) - Xi連續(xù)型樣本均值：X E(X) xf(x, )dx n i 1/ n離散型參數(shù)：E(X2) Xi2n i 13、點估計中的最大似然估計最大似然估計法：Xi,X2, Xn取自X的樣本，設(shè)X f(x,)或P(X