二次函數等腰三角形與直角三角形存在性問題(有答案)

1、Word資料等腰三角形成角三龜形存在性問題典例1,如圖，二次函數'="工+ '：-"的圖象與X軸交于點A、B兩點,且A 點生標為(T 0),與y軸交于點0(0,3).求出這個二次密散的斛析式；(2)直接寫出點B的坐標為在x軸是否存在一點P,便是等腰三角形？若存在，求出滿足條件的P A 生標;若不存在,靖說明理由；(4)在笫一象限中的拋物戲上是否存在一點Q.使得四邊形ABQC的面也景文?若存在,請求出Q點生標及面積的景大值:若不存在,情說明理由.H Ob x答案詳箸(6：0)入TL 解.(),W = a，+ z +( a -.c = 341'!J =

2、A *所求解析式為：4答:這個二次超效的解析式是的圖象經過4S °(0, 3)./ + 1 + 3§?/ = _；/ + 1 + 3y解：60）, 故答案為：。）.FitAOC 中 AO = 2 0(7 = 3 ：.AC= 7130，當PM = 40時（0】在X軸的負半軸）,P«2 - go）：當口28=/1。時儼2在X軸的正半軸）,6（力-2、0）；當RC = AC時（凸在X軸的正車軸）,瑪°）;當RC = P1八時（R在x軸的正半軸）.在 RfAPQC 中，設 PQ =巴則（ + 2產=x2 + 325 x =- 解得：心巴（1.0）4 ；答:在X軸

3、存在一疝P.使A'CP是等腰三角形，滿足條件的P點坐標是（-2 - v/13.0）5 貳（回-2或（2成匕，。）,2 + 7 + 3上，1（X ?/）y = ix解:如圖，設Q點生標為' >，因為點Q在 4(N, 一彳？ + 3)即:Q點生標為4連接OQ,S 四邊形= SaaOC + Saoqc + s40BQ-濘+>+1242/a < 0, q_ 75Q四邊形A加，'瓜大佰=Tzo I?Q點金標為'4答:在第一象限中的她物愛上存在一點Q,使得四邊形ABQC的面也最大,Q點生（3 史）I5標是 4,面積的最大值是4.析：2因為" =+

4、"+"的圖象經過工（一2 °）,°（0,3）,代人求出j a的值,即可得列答案；杷“二°代人求出x的值,即可得到蒸嚏:在小工中根據勾股定理求出AC,根據等腰三角形的性質求出,當尸爪=AC 時（R在X軸的負半軸），P1（一2 - /13,0）:當P2A = ,4。時仍2在X軸的正半 物）,乃（，13_2,0）；當RC = XC時（用右X粘的正率粘）.為;當PC=P"1時仍在 尸4'。）X軸的正半軸），4 .即可得出答案；（x 7/）y = - ! a?2 + 7 + 3（4）設Q點生標因為點Q在4上，得出Q點坐標勢-+ N +

5、3）4 ,連接。Q.根 據S四邊形從右QC' = SAOC + S&OQC + SOBQ代人求出即可本題主要考杳對用特定條數法求二次函效的解折式，等腰三角形的判定,三角形的 面積.二次函數圖象上點的坐標特征、二次的數的聚值等知在點的理解和掌握，珠 合運用這些性質遂行計算是蟹此題的關鍵.題型較好，綜合性強.如圖，已知她物愛” = ". + + 3(。#°)與x軸交于點41，°)打點 仇一與丫軸交于點匚(1)求拋物戰(zhàn)的解析式；(2)設施物戰(zhàn)的對稱軸與x軸交于點M,問在對稱軸上是否存在點P,使I"。為等腰三角形？若存在，請求出符合條件的點P的生

6、標:若不存在，靖說明理由二.她物線辨析式為盤=一,一21+ 3,其對稱物/=/=-1.設P點生林為（T"）,務，=0時.?/ = 3二。(0,3) 名 CP = PM時、(-1)2 + (3 - a)2 = a努得"=§.為5)：擊 CA/=冏/時,(T)2 + 3? =J,群得。 = 土，話,，p點生標為:pg i,而）或以- l -、而）： 擊。&/= CP時,由勾股定理得：（T尸+ 3?= （-1/+（3 一可2網得0 = 6,綜上所述存在符合條件的點P,其生瓊為Rf E）或Rf 一面）或RT或"f 3<努折：已如拋物線itA、B兩點

7、,可將兩點的生標代入她物線的辨析式中,用存定條敷出即可求出 二次加我的解析式：（2）可根據的函數屏折式得出拋物袋的對稱黑也就得出了 M點的坐標.由于C是拋物線與 y軸的交點,因此C的生標為（&3）,根據m、C的生標可求出CM的能霄.然后分三種陸況 此行討論：擊°F= PA/時,p&于cm的垂直平分線上.求p點生忐關鈍是求p的縱生林，過p作 &L/軸于q,如果設PA/= GP= I,那么直角三角形cpq中0P= 7qm 的長,可根據M的生林得出.T ',因此可根據勾股定理求出X的位.P點的橫生林與M的橫生標相同，縱坐林為X.由此可得出P的生林.擊CA，=

8、 MP時、根據cm的長即可求出p的儀生標、也就得出了 p的生根（要注意 分上下兩點）名CM = CP因為c的坐標為（°），那會直為”二3必垂直平分pM,因此p的縱生 林是6.由此可得出P的坐標；本題主要考杳了二次函數的琮合知識,要注意的是中,不確定等膜三角形哪條邊是底邊的 情況下要分類進行求解.不要漏解.Word資料典例2,©如圖，拋物線)=一+4一3與彳軸交于4、3兩點(A在B的左邊)，與y軸交于點D.在 拋物線上是否存在一點P,使得BDP是直角絲角形？若存在，請求出點P的坐標;若不存在，請 說明理由. 由,=一/+。-3 =- Cr I)(工- 3), f!J 1X0.

9、 - 3)、A(1. 0)、3(3, 0).所以。B = 8 - 3, BD與坐標軸的夾角為45。.設點P的坐標為(八 T+ 4/-3).BDP是直角三角形分三種情況討論：如圖 1 當 NPBD = 90° 時.NPBO 450,所以 P” BH.解方程一.一+。 3 - 31得2或” = 3(與幣?介舍大).此時P(2.I).如圖 2,當 ZPBD = 90時,NPDM 45，所以 PM = DM.解方程x- 3 ( M + 4才-3),得K = 5,或l, = 0(與D-合,舍去)此時P(5, 一 8).DF如圖 3.當= 90° 時PE/6sZD"L所以石：

10、.lih rr解方程七”"= 七 ,"J甲.也產一51+ 5 - 0.解得書疸./-3一./ + 4/2練習：如圖，在平面直角生標系中，拋物線/ = a/+加 + c產關與與才軸相交于A, 兩 點,與U軸相交于點C,直線三無+北沙黃0)經過B, C兩點，已知出1，C(0,3), 且 BC = 5。(1J分別求直線和拋物發(fā)的解析式(關東式J。(2)在拋物狗的對稱軸上是否存在點P,便得以口，°, 0三皮為頂點的三角形 是直角三角形？若存在，請求出皮的生標；若不存在，靖說明理由。()在根.函中,因為43, BC=5,所以OH /哈-”即點B的生標為“叫。將和點C的坐標代

11、人宜愛BC的斛析式得上”，斛得上二i,即立為的斛析式為“不 將點以、點B和點C的生標代人施物淺的解析式得住/:，斛得1：匚溝 即他物線的 臀析式為4%(2)存在。如圖所示，記她物線對稱軸與克發(fā)BC的交點為疝/由梃物發(fā)的斛 .15析式可知其對稱軸為目。所以玄的縱生標為一MY,即點必的生標為的，因為 點P在拋物線的對稱軸上，故設點P的生標為"。因為是女角三角形，所以樓 t角頂點的不同進行分類討論。當點C為直角頂點時,記此時的點"為生，在ftOT中,根據勾股定理可知皿所以吟於針叫伊鋁.針好.針% 斛得"孔當點8為,左角頂點時，記此時的點'”為內，在中，根據句股定理可知2.3叫所以時用叫<>% 斛得* 當點尸為直角頂點時，記此時的點P為%,在皿皿中，根據勾股京理可知心.記+丹%所以人彳-小佃”嗚-MS-% 即"囪-H,斛得/或“；&5 3綜上所述，點尸的坐標辦?；騧或弟用或。弓，5 一8)解析本題主要考杳二次函數的應用。flj根據疝C的坐標和BC的長度求出點B的生標