《2.3映射的概念》教學案

1、映射的概念教學案教學目標1 知識與技能(1) 了解映射的概念及表示方法；(2) 結(jié)合簡單的對應(yīng)圖表，理解 一一映射的概念.2. 過程與方法(1) 函數(shù)推廣為映射，只是把函數(shù)中的兩個數(shù)集推廣為兩個任意的集合；(2) 通過實例進一步理解映射的概念；(3) 會利用映射的概念來判斷“對應(yīng)關(guān)系”是否是映射.3. 情感、態(tài)度與價值映射在近代數(shù)學中是一個極其重要的概念，是進一步學習各類映射的基礎(chǔ).教學重點、難點重點：映射的概念.難點：映射的概念.教學過程1. 關(guān)于映射概念的教學建議教師適當引導學生多舉一些實際例子，從中體會其中的對應(yīng)關(guān)系，深刻理解映射的概念.2. 關(guān)于函數(shù)與映射關(guān)系的教學建議教師引導學生在理

2、解概念的基礎(chǔ)上，逐步體會理解映射是一種特殊的一對一或多對一的對應(yīng)，而函數(shù)則是建立在兩個非空數(shù)集之間的映射.課標解讀1了解映射的概念及表示方法(重點).2 .會判斷一個對應(yīng)是否為映射(難點).【問題導思】若集合 A= 0，- 3, - 2, 1, 2, 3，集合 B= 0, 1 , 4, 5, 9.1. 對于A中每一個數(shù)平方，在集合 B中都有數(shù)與之對應(yīng)嗎？【提示】有2. 問題1中提到的對應(yīng)是唯一的嗎？【提示】是唯一的.映射：一般地，設(shè)A, B是兩個非空集合，如果按某種對應(yīng)法則f,對于A中的每一個元素，在B中都有唯一的元素與之對應(yīng)，那么，這樣的單值對應(yīng)叫做集合A到集合B的映射.記作：f: At B

3、.例1在下列對應(yīng)關(guān)系中，哪些對應(yīng)法則是集合A到集合B的映射？(1) A= 0, 1，2，3，B= 1 , 2, 3, 4，對應(yīng)法則 f :“加 1”；(2) A= (0,), B= R,對應(yīng)法則f:“求平方根”；(3) A= N , B= N,對應(yīng)法則 f： “3倍”；(4) A= R, B= R,對應(yīng)法則f: “求絕對值”;(5) A= R, B= R,對應(yīng)法則f： “求平方的倒數(shù)”. 依據(jù)映射【思路探究】|明確對應(yīng)法則| t |分析給出的對廠|t依據(jù)映射|作出判斷【自主解答】 (1)集合A中的每一個元素通過關(guān)系f作用后，在集合B中都有唯一的一個兀素與之對應(yīng)，顯然，對應(yīng)關(guān)系 f是A到B的映射

4、.在集合B中都有兩個元素與之對應(yīng)，顯然對(2)集合A中的每一個兀素通過關(guān)系f作用后，應(yīng)關(guān)系f不是A到B的映射.(3)集合A中的每一個兀素通過關(guān)系f作用后，在集合B中都有唯一的元素與之對應(yīng)，故對應(yīng)關(guān)系f是從A到B的映射.(4)集合A中的每一個兀素通過關(guān)系f作用后，在集合B中都有唯一的元素與之對應(yīng)，故關(guān)系f是從A到B的映射.丄(5)當x = 0 A時，X2無意義，故關(guān)系f不是從A到B勺映射.理解不清映射的概念致誤典例 下列集合A到集合B的對應(yīng)中，哪些是 A到B的映射？(1) A= N , B= Z, f: xt x;1(2) A= R, B= R, f: xtx；*(3) A= N , B = 0

5、 , 1 , 2, f :除以 3得的余數(shù)；1(4) A= 4, - 1 , 1, 4, B = 2 , - 1 , 1 , 2, f: xtx?.【錯解】不是是不是是【錯因分析】(2)中，0 A，但0不存在倒數(shù)，即A中的元素0在B中沒有元素與之對應(yīng),故不是映射.(4)由于負數(shù)沒有偶次方根，所以A中的一4 , 1在B中無元素與之對應(yīng).【防范措施】映射實質(zhì)上是按照某種對應(yīng)關(guān)系從一個集合到另一個集合的單值對應(yīng)，對映射f: AtB而言，集合A中的任一元素在集合B中都有唯一確定的元素與之對應(yīng)在解題 過程中防止忽略 “A中任意，B中唯一”而導致錯誤.【正解】是 不是 是 不是1 關(guān)于映射，和函數(shù)不同的地

6、方是集合A、B是非空集合即可，不一定是數(shù)集對于映射f: At B，要求集合A中沒有多余的元素，允許集合B中有多余的元素，對應(yīng)方式可以是“多 對一”或“一對一”，不能是“一對多” 2一個對應(yīng)法則是否能構(gòu)成映射，關(guān)鍵是看它是否對 A中的任意一個元素在 B中都有唯 一的一個元素與之對應(yīng)； 一個法則是否能構(gòu)在函數(shù)， 首先是看它是否為映射， 其次是看他是 否為非空數(shù)集之間的映射知識拓展一、象與原象映射f: At b中，與A中的元素a對應(yīng)的B中的元素b叫做在映射f作用下的象，a叫做b的原 象其中A叫做映射f的定義域(函數(shù)定義域的推廣)，由所有象f(a)構(gòu)成的集合叫做映射f的值 域，通常記作f(A).注意：

7、對于一個從集合A到集合B的映射來說，A中的每一個元素在B中必有唯一的元素 與之對應(yīng)，并且對A中不同的元素，在B中可以有相同的象，但 B中的每一個元素卻不一定都 有原象，如果有，也不一定只有一個，這就是說，從集合A到集合B的映射，要求A中的每個元素在集合B中都有象，并且象是唯一的，但不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原 象.二、映射設(shè)A, B是兩個集合，f: AtB是集合A到集合B的映射，如果在這個映射下，對于集合 A 中的不同元素，在集合 B中有不同的象，而且 B中每一個元素都有原象，那么這個映射叫做 A 到B上的映射.一一映射是一種特殊的映射，它必須具備兩點：集合A中不同的元素，在集合

8、 B中有不同的象(即不能是“多對一 ”)；集合B中的每一個元素都有原象 (即B中不能有“多余” 的元素)，即 映射是指：從集合 A到集合B是映射且從集合B到集合A也是映射.函數(shù)的定義域是指函數(shù) y= f(x)中自變量x的允許取值范圍確定函數(shù)的定義域是進 一步研究函數(shù)其他性質(zhì)的前提， 而研究函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)性質(zhì)解決數(shù)學問題是中學數(shù)學 的重要組成部分.所以熟悉函數(shù)定義域的求法，對于函數(shù)綜合問題的解決起著至關(guān)重要的作 用.例1求下列函數(shù)的定義域：(1) y= .'x 2+ 3 x；1x.【思路點撥】本題考查函數(shù)的定義域,求函數(shù)的定義域，就是求使函數(shù)關(guān)系式有意義的自變量X的取值范圍，在求定

9、義域中，一個有利的工具就是數(shù)軸.x 20,【規(guī)范解答】(1)由XM 0得X> 2,且x豐3,.函數(shù)的定義域為2 , 3)U (3 , +8 ).3 x<2,且xm 0即函數(shù)2x+ 3> 0,要使函數(shù)有意義，只需2 x>°，Q 0,13+ x的定義域為x| 2wx<2，且xm 0.例2 設(shè)函數(shù) f(x) = x2 2xi1( 3w x< 3).(1) 證明：f(x)是偶函數(shù)；指出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間，并說明在各個單調(diào)區(qū)間上f(x)是增函數(shù)還是減函數(shù)；(3) 求函數(shù)的值域.【思路點撥】解答本題首先根據(jù)f( x)與f(x)的關(guān)系判斷奇偶性，然后討論X的

10、范圍寫出相應(yīng)解析式，畫出函數(shù)圖象，根據(jù)圖象判斷單調(diào)區(qū)間，求值域.【規(guī)范解答】(1)f( x) = ( x)2 2| x| 1=x2 2|x| 1 = f(x),即f( x) = f(x),且定義域3, 3關(guān)于原點對稱， f(x)是偶函數(shù).2 2(2) 當 0 w xw 3 時，f(x)= x 2x 1 = (x 1) 2;當3w x<0 時，f(x) = x2 + 2x 1 = (x+ 1)2 2.0 1 2 20w xw 3即f(x)= x + 1 2 2 3w x<0根據(jù)二次函數(shù)的作圖方法，可得函數(shù)圖象，如圖所示.函數(shù) f(x)的單調(diào)區(qū)間為3, 1, ( 1, 0, (0, 1

11、, (1, 3, f(x)在區(qū)間3, 1, (0, 1上為減函數(shù)，在(一1, 0, (1 , 3上為增函數(shù).(3) 當 0 < xw 3 時，函數(shù)f(x) = (x- 1)2 2的最小值為f(1) = - 2,最大值為f(3) = 2;當一3w x<0時，函數(shù)f(x) = (x+ 1)2-2的最小值為f(- 1) =- 2,最大值為f( - 3) = 2.故函數(shù)f(x)的值域為2, 2.變式訓練求出關(guān)于x的方程x2+ 2x - 3|= a的實根的個數(shù).【解】 令g(x)= a, f(x) = lx2 + 2x-3|, f(x)的圖象是將y= x2 + 2x- 3的圖象在落由及其上方

12、的部分不變，x軸下方的部分以x軸為對稱軸，對稱地翻折到上方，如圖所示.由圖可知：當a<0時，原方程無實根；當a= 0時，原方程有2個實根；當0<a<4時，原方程有4個實根；當a= 4時，原方程有3個實根；當a>4時，原方程有2個實根.函數(shù)單調(diào)性和奇偶性是函數(shù)的兩個重要的性質(zhì)，反映函數(shù)圖象的變化趨勢和對稱性，充分體現(xiàn)了數(shù)與形相互轉(zhuǎn)化的思想，是進行數(shù)學分析和數(shù)學研究的有力工具之一，對函數(shù)部分知識體系的綜合應(yīng)用具有紐帶作用.函數(shù)性質(zhì)是每年的必考內(nèi)容之一， 解題的關(guān)鍵是理解函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的定義，解題時需要注意單調(diào)性和奇偶性證明的一般步驟.2 a例已知函數(shù)f(x) = x +

13、 x(xM 0,常數(shù)a R).(1)討論f(x)的奇偶性，并說明理由；若f(x)在x 2,+m )上為單調(diào)增函數(shù)，求 a的取值范圍.【思路點撥】本題考查了函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用.解答本題可分別根據(jù)函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的定義進行判定與求解.【規(guī)范解答】(1)當 a= 0時，f(x)= x，對任意 x (-a, 0) U (0 ,+), f( x)= ( x)2 2=x = f(x), f(x)為偶函數(shù)；2 a當0時，f(x)= x2 + x(a 0,0),取x= ±1,得f(- 1) + f(1) = 2工0, f(- 1)-f(1) =- 2a工0, f(- 1)工一f(1),

14、f(- 1)工f(1),函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).(2)設(shè) 2W xi<X2，則2 a 2旦f(xi) - f(X2)= Xl + X1 X2 -X2Xi X2=X1X2 X1X2 (xi + X2) a,要使函數(shù)f(x)在x 2 , + g)上為單調(diào)增函數(shù)，則需f(xl ) f(X2)<0恒成立.Xi + X2>4 , X1X2>4 , XlX2(Xl+ X2)>16. a的取值范圍是(一g, 16.函數(shù)思想方法，即是先構(gòu)造輔助函數(shù)，將所給問題轉(zhuǎn)化為構(gòu)造的輔助函數(shù)的性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、最值等)研究后，得出所需的結(jié)論.與函數(shù)思想相聯(lián)系的就是方程思

15、想.所謂方程思想，就是在解決問題時，用事先設(shè)定的未知數(shù)表示問題中所涉及的各量間的制約關(guān)系，列出方程(組)，從而求出未知數(shù)及各量的值，使問題得到解決.函數(shù)與方程思想主要應(yīng)用在兩個方面：一是借助有關(guān)初等函數(shù)的性質(zhì)，解有關(guān)求值、解(證)不等式、解方程以及討論參數(shù)的取值范圍等問題；二是通過建立函數(shù)關(guān)系式或構(gòu)造中間 函數(shù)，把所研究的問題轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)的問題，達到化難為易，化繁為簡的目的.例4 已知二次函數(shù)f(x)= ax2 + bx(a, b是常數(shù)且a工0)滿足條件：f(2) = 0且方程f(x) = x有 兩相等實根.(1) 求f(x)的解析式；是否存在實數(shù)m, n(m<n)使f(x)的定義域和值域分別為m, n和2m, 2n?若存在，求 出m, n的值；若不存在，說明理由.【思路點撥】(1)利用f(2)= 0及方程f(x) = x的4=0可求得a, b的值.先判斷f(x)在m, n上的單調(diào)性，再列方程組求解.【規(guī)范解答】(1)依題意，方程ax2 + (b 1)x= 0有兩相等實根，. A= (b 1)2= 0, b= 1.又 f(2) =