借助方程求解數(shù)軸上動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

1、借助方程求解數(shù)軸上動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題離不開(kāi)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離。為了便于初一年級(jí)學(xué)生對(duì)這類問(wèn)題的分析，不妨先明確以下幾個(gè)問(wèn)題：1 數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離， 即為這兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)差的絕對(duì)值， 也即用右邊的數(shù)減去左邊的數(shù)的差。即數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離 = 右邊點(diǎn)表示的數(shù) 左邊點(diǎn)表示的數(shù)。2 點(diǎn)在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于數(shù)軸向右的方向?yàn)檎较颍虼讼蛴疫\(yùn)動(dòng)的速度看作正速度，而向作運(yùn)動(dòng)的速度看作負(fù)速度。 這樣在起點(diǎn)的基礎(chǔ)上加上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路程就可以直接得到運(yùn)動(dòng)后點(diǎn)的坐標(biāo)。即一個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)為a，向左運(yùn)動(dòng) b 個(gè)單位后表示的數(shù)為 a b ；向右運(yùn)動(dòng) b個(gè)單位后所表示的數(shù)為a+b。3 數(shù)軸是數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物，分析數(shù)軸上

2、點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，點(diǎn)在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)形成的路徑可看作數(shù)軸上線段的和差關(guān)系。例 1 已知數(shù)軸上有A 、B 、C 三點(diǎn)，分別代表 24 ， 10 ，10 ，兩只電子螞蟻甲、乙分別從 A 、 C 兩點(diǎn)同時(shí)相向而行，甲的速度為4 個(gè)單位 / 秒。問(wèn)多少秒后，甲到A 、 B 、C 的距離和為40 個(gè)單位？若乙的速度為6 個(gè)單位 / 秒，兩只電子螞蟻甲、 乙分別從A、C 兩點(diǎn)同時(shí)相向而行，問(wèn)甲、乙在數(shù)軸上的哪個(gè)點(diǎn)相遇？在的條件下，當(dāng)甲到A 、B 、 C 的距離和為40 個(gè)單位時(shí)，甲調(diào)頭返回。問(wèn)甲、乙還能在數(shù)軸上相遇嗎？若能，求出相遇點(diǎn)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由。分析 ：如圖 1 ，易求得AB=14， BC

3、=20， AC=34設(shè) x 秒后，甲到 A 、 B、 C 的距離和為40 個(gè)單位。此時(shí)甲表示的數(shù)為 24+4x 。甲在 AB 之間時(shí)，甲到A 、B 的距離和為 AB=14甲到 C 的距離為 10 （ 24+4x ） =34 4x依題意， 14+ （ 34 4x ） =40 ，解得 x=2甲在 BC 之間時(shí)，甲到B 、 C 的距離和為 BC=20 ，甲到 A 的距離為 4x依題意， 20+4x ） =40，解得 x=5即 2 秒或 5 秒，甲到 A、 B 、 C 的距離和為 40 個(gè)單位。是一個(gè)相向而行的相遇問(wèn)題。設(shè)運(yùn)動(dòng)t秒相遇。依題意有， 4t+6t=34，解得 t=3.4相遇點(diǎn)表示的數(shù)為 2

4、4+4× 3.4= 10.4（或： 10 6×3.4=10.4 ）甲到 A 、B 、 C 的距離和為 40 個(gè)單位時(shí)，甲調(diào)頭返回。而甲到A 、 B、 C 的距離和為 40個(gè)單位時(shí)，即的位置有兩種情況，需分類討論。甲從 A 向右運(yùn)動(dòng) 2秒時(shí)返回。設(shè)y 秒后與乙相遇。此時(shí)甲、乙表示在數(shù)軸上為同一點(diǎn)，所表示的數(shù)相同。甲表示的數(shù)為： 24+4× 2 4y ；乙表示的數(shù)為： 10 6×2 6y依題意有， 24+4×2 4y=10 6× 2 6y ，解得 y=7相遇點(diǎn)表示的數(shù)為： 24+4× 2 4y= 44 （或： 10 6×

5、; 2 6y= 44）甲從 A 向右運(yùn)動(dòng) 5秒時(shí)返回。設(shè) y 秒后與乙相遇。甲表示的數(shù)為： 24+4× 5 4y ；乙表示的數(shù)為： 10 6×5 6y依題意有， 24+4×5 4y=10 6× 5 6y ，解得 y= 8 （不合題意，舍去）即甲從 A 點(diǎn)向右運(yùn)動(dòng)2 秒后調(diào)頭返回，能在數(shù)軸上與乙相遇，相遇點(diǎn)表示的數(shù)為44 。點(diǎn)評(píng) ：分析數(shù)軸上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，要結(jié)合數(shù)軸上的線段關(guān)系進(jìn)行分析。點(diǎn)運(yùn)動(dòng)后所表示的數(shù)，以起點(diǎn)所表示的數(shù)為基準(zhǔn)， 向右運(yùn)動(dòng)加上運(yùn)動(dòng)的距離， 即終點(diǎn)所表示的數(shù)；向左運(yùn)動(dòng)減去運(yùn)動(dòng)的距離，即終點(diǎn)所表示的數(shù)。例 2 如圖， 已知 A、B 分別為數(shù)軸上兩

6、點(diǎn)，A 點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為 20 ，B 點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為100 。求 AB 中點(diǎn) M 對(duì)應(yīng)的數(shù)；現(xiàn)有一只電子螞蟻 P 從 B 點(diǎn)出發(fā)， 以 6個(gè)單位 / 秒的速度向左運(yùn)動(dòng)， 同時(shí)另一只電子螞蟻Q 恰好從 A 點(diǎn)出發(fā)，以 4個(gè)單位 / 秒的速度向右運(yùn)動(dòng)， 設(shè)兩只電子螞蟻在數(shù)軸上的C 點(diǎn)相遇，求 C 點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)；若當(dāng)電子螞蟻 P 從 B 點(diǎn)出發(fā)時(shí)， 以 6 個(gè)單位 / 秒的速度向左運(yùn)動(dòng)， 同時(shí)另一只電子螞蟻 Q恰好從 A 點(diǎn)出發(fā)，以 4 個(gè)單位 / 秒的速度也向左運(yùn)動(dòng)， 設(shè)兩只電子螞蟻在數(shù)軸上的D 點(diǎn)相遇，求 D 點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)。分析 ：設(shè) AB 中點(diǎn) M 對(duì)應(yīng)的數(shù)為 x ，由 BM=MA所以 x （ 20 ）

7、 =100 x ，解得 x=40即 AB 中點(diǎn) M 對(duì)應(yīng)的數(shù)為 40易知數(shù)軸上兩點(diǎn) AB 距離， AB=140，設(shè) PQ 相向而行 t 秒在 C 點(diǎn)相遇，依題意有， 4t+6t=120，解得 t=12（或由 P、 Q 運(yùn)動(dòng)到 C 所表示的數(shù)相同，得 20+4t=100 6t ， t=12 ）相遇 C 點(diǎn)表示的數(shù)為： 20+4t=28（或 100 6t=28 ）設(shè)運(yùn)動(dòng) y 秒，P、Q 在 D 點(diǎn)相遇，則此時(shí) P 表示的數(shù)為 100 6y ，Q 表示的數(shù)為 20 4y 。P、 Q 為同向而行的追及問(wèn)題。依題意有， 6y 4y=120，解得 y=60（或由 P、 Q 運(yùn)動(dòng)到 C 所表示的數(shù)相同，得

8、20 4y=100 6y ， y=60 ）D 點(diǎn)表示的數(shù)為： 20 4y= 260（或 100 6y= 260 ）點(diǎn)評(píng) ：熟悉數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離以及數(shù)軸上動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)的表示方法是解決本題的關(guān)鍵。是一個(gè)相向而行的相遇問(wèn)題；是一個(gè)同向而行的追及問(wèn)題。在、 中求出相遇或追及的時(shí)間是基礎(chǔ)。例 3 已知數(shù)軸上兩點(diǎn) A 、 B 對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為 1 ， 3 ，點(diǎn) P 為數(shù)軸上一動(dòng)點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的數(shù)為 x 。若點(diǎn) P 到點(diǎn) A、點(diǎn) B 的距離相等，求點(diǎn)P 對(duì)應(yīng)的數(shù)；數(shù)軸上是否存在點(diǎn)P，使點(diǎn) P 到點(diǎn) A 、點(diǎn) B 的距離之和為5？若存在，請(qǐng)求出x 的值。若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由？當(dāng)點(diǎn) P 以每分鐘一個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從O 點(diǎn)

9、向左運(yùn)動(dòng)時(shí)， 點(diǎn) A 以每分鐘左運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B 一每分鐘20 個(gè)單位長(zhǎng)度向左運(yùn)動(dòng)，問(wèn)它們同時(shí)出發(fā)，幾分鐘后點(diǎn) B 的距離相等？5個(gè)單位長(zhǎng)度向P 點(diǎn)到點(diǎn) A、分析 ：如圖，若點(diǎn)P 到點(diǎn) A 、點(diǎn) B 的距離相等， P 為 AB 的中點(diǎn)， BP=PA 。依題意， 3 x=x （ 1 ），解得x=1由 AB=4 ，若存在點(diǎn)P 到點(diǎn) A、點(diǎn) B 的距離之和為5 ，P 不可能在線段AB 上，只能在A點(diǎn)左側(cè)，或B 點(diǎn)右側(cè)。P 在點(diǎn) A 左側(cè)， PA= 1 x ， PB=3 x依題意，（ 1 x ） + （ 3 x ）=5 ，解得x= 1.5P 在點(diǎn) B 右側(cè)， PA=x （ 1 ） =x+1， PB=x 3依

10、題意，（ x+1 ） + （ x 3 ） =5 ，解得x=3.5點(diǎn) P、點(diǎn) A 、點(diǎn) B 同時(shí)向左運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B 的運(yùn)動(dòng)速度最快，點(diǎn)P 的運(yùn)動(dòng)速度最慢。故P 點(diǎn)總位于 A 點(diǎn)右側(cè)， B 可能追上并超過(guò)A。 P 到 A 、 B 的距離相等，應(yīng)分兩種情況討論。設(shè)運(yùn)動(dòng) t 分鐘，此時(shí)P 對(duì)應(yīng)的數(shù)為 t ， B 對(duì)應(yīng)的數(shù)為3 20t ， A 對(duì)應(yīng)的數(shù)為 1 5t 。B 未追上 A 時(shí)， PA=PA ，則 P 為 AB 中點(diǎn)。 B 在 P 的右側(cè)， A 在 P 的左側(cè)。PA= t （ 1 5t ） =1+4t， PB=3 20t （ t ） =3 19t依題意有， 1+4t=3 19t ，解得 t=B 追上

11、 A 時(shí)， A、 B 重合，此時(shí)PA=PB 。 A、 B 表示同一個(gè)數(shù)。依題意有， 1 5t=3 20t ，解得t=即運(yùn)動(dòng)或分鐘時(shí)， P 到 A、 B 的距離相等。點(diǎn)評(píng) ：中先找出運(yùn)動(dòng)過(guò)程中 P、 A、B 在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)，再根據(jù)其位置關(guān)系確定兩點(diǎn)間距離的關(guān)系式，這樣就理順了整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程。例 4 點(diǎn) A 1、A2 、A 3、 A（n n 為正整數(shù)）都在數(shù)軸上， 點(diǎn) A1 在原點(diǎn) O 的左邊，且 A1 O=1 ，點(diǎn) A2 在點(diǎn) A1 的右邊，且 A2A1=2 ，點(diǎn) A3 在點(diǎn) A2 的左邊，且 A3A2=3 ，點(diǎn) A4 在點(diǎn) A3 的右邊，且 A 4A 3 =4 ， ，依照上述規(guī)律點(diǎn) A 200

12、8、 A2009所表示的數(shù)分別為（）。A 2008 ， 2009B 2008 ， 2009 C 1004， 1005 D 1004， 1004分析 ：如圖，點(diǎn) A 1表示的數(shù)為 1 ；點(diǎn) A 2表示的數(shù)為 1+2=1 ；點(diǎn) A 3表示的數(shù)為 1+23= 2；點(diǎn) A 4表示的數(shù)為 1+2 3+4=2點(diǎn) A 2008 表示的數(shù)為 1+2 3+4 2007+2008=1004點(diǎn) A 2009 表示的數(shù)為 1+2 3+4 2007+2008 2009=1005點(diǎn)評(píng) ：數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)為a ，向左運(yùn)動(dòng) b 個(gè)單位后表示的數(shù)為a b ；向右運(yùn)動(dòng) b 個(gè)單位后所表示的數(shù)為 a+b 。運(yùn)用這一特征探究變化規(guī)律時(shí)，要注意在循環(huán)往返運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的方向變化。練習(xí)題 ：1 已知數(shù)軸上 A 、 B 兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)數(shù)分別為 2 ， 4 ， P 為數(shù)軸上一動(dòng)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)數(shù)為x 。若 P 為線段 AB 的三等分點(diǎn)，求 P 點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)。數(shù)軸上是否存在 P 點(diǎn)，使 P 點(diǎn)到 A、 B 距離和為 10 ？若存在，求出x 的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。若點(diǎn) A 、點(diǎn) B 和 P 點(diǎn)（ P 點(diǎn)在原點(diǎn)）同時(shí)向左運(yùn)動(dòng)。它們的速度分別為1、2、1 個(gè)單位長(zhǎng)度 / 分鐘，則第幾分鐘時(shí) P 為 AB 的中點(diǎn)？（參考答案：0 或 2；4 或 6；2）2 電子跳蚤落在數(shù)軸上的某點(diǎn)K 0，第一步從 K