《理論力學》靜力學典型習題+答案

1、1-3試畫出圖示各結構中構件 AB的受力圖(al(a)(M(町C(c)1-4試畫出兩結構中構件 ABCD的受力圖只 8 n I31-5試畫出圖a和b所示剛體系整體各個構件的受力圖1-5ab5-1E兀1-解：桿AB , BC, CD為二力桿，受力方向分別沿著各桿端點連線的方向。 解法1（解析法）假設各桿受壓，分別選取銷釘 B和C為研究對象，受力如圖所示:由共點力系平衡方程，對B點有：Fx 0F2 FbCcos45° 0對C點有：Fx 0Fbc R cos300 0解以上二個方程可得：f11.63F2解法2（幾何法）分別選取銷釘B和C為研究對象，根據(jù)匯交力系平衡條件，作用在B和C點上的力

2、構成封閉的力多邊形，如圖所示對B點由幾何關系可知：F2對C點由幾何關系可知：FBCF1 cos30°解以上兩式可得：F11.63F22-3在圖示結構中，二曲桿重不計，曲桿 點處的約束力。AB上作用有主動力偶 M試求A和C解：BC為二力桿（受力如圖所示），故曲桿AB在B點處受到約束力的方向沿 BC 兩點連線的方向。曲桿 AB受到主動力偶M的作用，A點和B點處的約束力必須 構成一個力偶才能使曲桿AB保持平衡。AB受力如圖所示，由力偶系作用下剛體 的平衡方程有（設力偶逆時針為正）：M 0 Fa 10a Sin( 45°) M 0Fa 0.354m1其中：tan。對bc桿有：F3C

3、A，C兩點約束力的方向如圖所示。Fb Fa 0.354 m2-4解：機構中AB桿為二力桿，點A,B出的約束力方向即可確定。由力偶系作用下 剛體的平衡條件，點 0,C處的約束力方向也可確定，各桿的受力如圖所示。對BC桿有：M0FbBC對AB桿有：FbFa對OA桿有：M0M1Fa求解以上三式可得：M13Nm，F(xiàn)absin 300 M 20OA 0FO FC 5N，方向如圖所示。/2-6求最后簡化結果XX1 / (a)(b)解: 2-6a坐標如圖所示，各力可表示為：1 313Fi -Fi Fj， F2 Fi，F(xiàn)3-Fi Fj2 2 2 2先將力系向A點簡化得（紅色的）：Fr Fi 3Fj， Ma F

4、ak2方向如左圖所示。由于Fr M a，可進一步簡化為一個不過 A點的力（綠色的），主矢不變，其作用線距A點的距離d 3a，位置如左圖所示。42-6b同理如右圖所示，可將該力系簡化為一個不過 A點的力（綠色的），主矢為:Fr2Fi其作用線距A點的距離d 二a，位置如右圖所示。4簡化中心的選取不同，是否影響 最后的簡化結果？是 2-13解：整個結構處于平衡狀態(tài)。選擇滑輪為研究對象，受力如圖，列平衡方程（坐 標一般以水平向右為x軸正向，豎直向上為y軸正向，力偶以逆時針為正）：Fx0Psi nFbx0Fy0FByPPcos0選梁AB為研究對象，受力如圖,列平衡方程:Fx0FaxF Bx0Fy0FAy

5、F By0Ma0MaF Byl 0求解以上五個方程，可得五個未知量 FFAy, FBx, FBy,M A分別為:Fax FBxPsi n（與圖示方向相反）FAy FBy P（1 cos ）（與圖示方向相同）MA P（1 cos ）1 （逆時針方向） 2-18R解：選AB桿為研究對象，受力如圖所示，列平衡方程：aiMa 0NDG cosF I cos 0cos2Fy 0ND cos G F 0求解以上兩個方程即可求得兩個未知量 Nd，其中：arccos歸餌(2F G)l未知量不一定是力。以下幾題可看一看！2-27解：選桿AB為研究對象，受力如下圖所示。列平衡方程：(運用力對軸之矩！)1My 0

6、P cta n FBC cos c FBC s incta n02Fbc60.6N1Mx' 0 P a Fb c Fbc sina 0fb 100N2由 Fy 0和 Fz 0可求出FAy,FAz。平衡方程Mx 0可用來校核思考題：對該剛體獨立的平衡方程數(shù)目是幾個？2-29解：桿1, 2, 3, 4, 5, 6均為二力桿，受力方向沿兩端點連線方向，假設各桿 均受壓。選板ABCE為研究對象，受力如圖所示，該力系為空間任意力系。采用 六矩式平衡方程：M DE0F2 cos4500F20M ao0F6 cos450aF cos450 cos450 a 0F62F（受拉）2M BH0F4 cos

7、450aF6 cos450 a 0F42F（受壓）2M AD0F1aF6 cos450 a F sin450 a0£ 12f（受壓）2M cd0F1aF3 aFsi n450a 0F茬（受拉）M BC0F3aF5 aF4 cos450a 0F50本題也可以采用空間任意力系標準式平衡方程，但求解代數(shù)方程組非常麻煩。類似本題的情況采用六矩式方程比較方便，適當?shù)倪x擇六根軸 保證一個方程求解一 個未知量，避免求解聯(lián)立方程。2-31 力偶矩 M 1500 N cm解：取棒料為研究對象，受力如圖所示。列平衡方程F1pcos45°N20F2psi n 450N10(F1F溝M0Fx 0F

8、y 0Mo 0補充方程:FifsNiF2fsN五個方程，五個未知量Fi,Ni,F2,N2, fs，可得方程:2M fS22p D fS 2M 04.491時有:解得 fS10.223, fS2 4.491。當 fS2N1P(1_fs2)12(622)即棒料左側脫離V型槽，與提議不符，故摩擦系數(shù) fS 0.223。2-33解：當45°時，取桿AB為研究對象，受力如圖所示列平衡方程：Fx 0Fy 0Ma 0Fn T sin 0FS T cos p 0T cos AC sinT sin AC cosAB .p sin2附加方程：FS fSFN四個方程，四個未知量Fn,Fs,T, fs，可求

9、得fs 0.646。2-35C解：選棱柱體為研究對象，受力如圖所示。假設棱柱邊長為 方程：a,重為P,列平衡Ma 0Mb 0Fx0aFnb a P cos -2Psi na 023aa小FNA a P cosPsin 022、3Fa Fb Psin0如果棱柱不滑動，則滿足補充方程Fafs1FNA時處于極限平衡狀態(tài)。解以上Fbs2FNB五個方程，可求解五個未知量Fa, Fna, Fb, Fnb,，其中:tan3( fs1 fs2)fs2fs1 2 3(1)當物體不翻倒時Fnb 0，貝U：tan 600即斜面傾角必須同時滿足（1）式和 式，棱柱才能保持平衡ADHFByBx00F02F0000R7F

10、 CyF CxDFdFAyF DxF AxF Bxa F aFeyF cxMbMbMaFyMhFdx a F 2a2a Fdx a 0FBy 2 a 0Fdx aFBx2a 0FBy0FAyFDyFBy0Me 0取桿AB為研究對象，受力如圖所示，列平衡方程:F （與假設方向相反）3-12解：取整體為研究對象，受力如圖所示，列平衡方程:3-10解：假設桿AB， DE長為2a。取整體為研究對 象，受力如右圖所示，列平衡方程：取桿DE為研究對象，受力如圖所示，列平 衡方程：F （與假設方向相反）F （與假設方向相反）M e 0 Fd b F x 0fdx FbMC 0FA sin45° a

11、 FA cos450 b M 0取桿AB為研究對象，受力如圖所示，列平衡方程:M a 0FB b F x 0FBXFb桿AB為二力桿，假設其受壓。取桿 AB和AD構成的組合體為研究對象，受力 如圖所示，列平衡方程：Me 0(Fb Fd) b F (b X) Fac b 02 2 2解得Fac F，命題得證。注意：銷釘A和C聯(lián)接三個物體。3-14解：取整體為研究對象，由于平衡條件可知該力系對任一點之矩為零，因此有：Ma 0 Ma(Fb) M M 0即fb必過A點，同理可得FA必過B點。也就是FA和Fb是大小相等，方向相反且共線的一對力，如圖所示。取板AC為研究對象，受力如圖所示，列平衡方程:I解

12、得：fa x 2M （方向如圖所示）A a b3-20解：支撐桿1, 2, 3為二力桿，假設各桿均受壓。選梁 BC為研究對象，受力如 圖所示。其中均布載荷可以向梁的中點簡化為一個集中力，大小為 2qa,作用在 BC桿中點。列平衡方程：Mb 0 FsSin45° a 2qa a2qa）（受壓）選支撐桿銷釘D為研究對象，受力如右圖所示。列平衡方程：Fx 0 h F3COS450 0f, 2qa（受壓） aFy 0F2 F3Si n450 0 f2（ 2qa）（受拉）a選梁AB和BC為研究對象，受力如圖所示。列平衡方程:Fx0FAxF3 cos4500F Ax(Ma2qa）（與假設方向相反

13、）Fy0FAyF2F3sin450P4qa 0FAy P4qaMA0MAF2 aP 2a4qa 2aFsSi n4503a M 0MA4qa22Pa M（逆時針）3-21解：選整體為研究對象，受力如右圖所示。 列平衡方程：M a 0 FBy 2a F 2a 0 FbFM b 0FAy 2a F 2a 0 FaDF BxFAy11ErFx 0 Fax Fbx F 0(1)由題可知桿DG為二力桿，選GE為研究對象，作用于其上的力匯交于點 G,受力如圖所示，畫出力的三角形，由幾何關系可得:Fe取CEB為研究對象，受力如圖所示。列平衡方程:Me 0 Fbxa FBy aFEsi n450F Bx代入公

14、式(1)可得：fAx3-24B解：取桿AB為研究對象，設桿重為P，Ma 0N13r P 3rcos600 0 M 6.93(N)2Fx 0Fax NiSi n60° 06(N)Fy 0FAy Ni cos600 P 0FAy 12.5'(N)取圓柱C為研究對象，受力如圖所示。列平衡方程：Fx 0Nicos30° Tcos300 0T 6.93(N)注意：由于繩子也拴在銷釘上，因此以整體為研究對象求得的A處的約束力不是桿AB對銷釘?shù)淖饔昧Α?-27解：取整體為研究對象，設桿長為 L,重為P,受力如圖所示。列平衡方程：LPMa 0Fn 2Lsin 2P cos 0 Fn

15、(1)22ta n取桿BC為研究對象，受力如圖所示。列平衡方程：Mb 0Fn Lsin P 丄cosFs Lcos 0Fs P 2FAy補充方程：Fs fs Fn，將式和(2)式代入有：tan 主，即100。23-29 ()證明：(1)不計圓柱重量法1:取圓柱為研究對象，圓柱在 C點和D點分別受到法向約束力和摩擦力的作用，分別以全約束力Frc,Frd來表示，如圖所示。如圓柱不被擠出而處于平衡狀態(tài)，則Frc,Frd等值，反向，共線。由幾何關系可知，F(xiàn)rc,Frd與接觸點C，D處法線方向的夾角都是，因此只要接觸面的摩擦角大于不論F多大，圓柱不2 2首先取整體為研究對象，受力如圖所示列平衡方程:再取

16、桿AB為研究對象，受力如圖所示。列平衡方程:F ND aMa 0 Fnd a Fl 0Ma 0Fnc a F l 0 Fnc -FFnda取圓柱為研究對象，受力如圖所示。假設圓柱半徑為R,列平衡方程:Mo 0Fsc R Fsd R 0FscFsdsin1 cosF NCsin1 cosF NDFx0Fnc sinFsc cos Fsd 0由補充方程：Fscfsc Fnc,FsdfsD Fnd，可得如果:sinrtan ,fsD1 cos22則不論F多大，圓柱都不被擠出，而處于自鎖狀態(tài) 證明：（2）圓柱重量P時取圓柱為研究對象，此時作用在圓柱上的力有重力 P，C點和D點處的全約束力Frc,FrD

17、。如果圓柱保持平衡，則三力必匯交于D點（如圖所示）。全約束力Frc與C點處法線方向的夾角仍為因此如果圓柱自鎖在2C點必須滿足:(1)fsc竺 ta -1 cos2該結果與不計圓柱重量時相同只滿足（1）式時C點無相對滑動，但在D點有可-F，能滑動（圓柱作純滾動）。再選桿AB為研究對象，對A點取矩可得Fnc由幾何關系可得：ta -2LfaFlcos2法1 （幾何法）：Frc F rd圓柱保持平衡，則作用在其上的三個力構成封閉得力三角形， 如圖所示。由幾何關系可知：PFrcsin 180°(1800 -)sin將(2)式代入可得：tanFl sin(Pa Fl )(1 cos )因此如果圓

18、柱自鎖在D點必須滿足：f tanFl sinSD(Pa Fl )(1 cos )即當同時滿足式和(3)式時，圓柱自鎖，命題得證。法2 (解析法)：取圓柱為研究對象，受力如圖所示，列平衡方程：Fx0Fnc SinFSC cosFy0F nd PFsc sin解得：F SCFsdtan -F，2aF NDFsd0Fnc cosFl (cossin tan)2SDFl sin tan(Pa Fl)(1 cos )代入補充方程：Fsd fsD Fnd，可得如果圓柱自鎖在D點必須滿足: 即當同時滿足(1)式和(3)式時，圓柱自鎖，命題得證3-30解：取整體為研究對象，受力如圖所示，列平衡方程：Fx 0F

19、sd Fse 0Fy 0 FndFneF 2P 0由題可知，桿AC為二力桿。作用在桿BC上的力有主動力F，以及B和C處 的約束力FB和Fac，由三力平衡匯交，可確定約束力 FB和Fac的方向如圖所示，取輪A為研究對象，受力如圖所示，設Fac的作用線與水平面交于F點，列平衡方程：M a 0FsdR M d0Mf 0(FndP) RMd 0其中:tan1，桿AC受壓3取輪B為研究對象，受力如圖所示，設 FB的作用線與水平面交于 G點，列平衡 方程：Mb 0 Me Fse R 0Mg 0 M e (P Fne) Rtan 0解以上六個方程，可得：13FndP -F， Fne P -F，4411Fsd

20、 Fse -F， Md Me 一 FR44若結構保持平衡，則必須同時滿足:MdFnd ， M eN E 'fsFFsefsFNE4 fsP 4fsP f?1 3fs即：F min P,4P,R R 31FsdFse 0.091(N)， Md Me0.91(N cm)因此平衡時F的最大值Fmax0.36，此時:3-35解：由圖可見桿桁架結構中桿 CF, FG, EH為零力桿。用剖面SS將該結構分為 兩部分，取上面部分為研究對象，受力如圖所示，列平衡方程：FxFyF1 sinF3FhF2 F1 cosFg 0Fi14.58(kN)(受拉)F331.3(受拉)18.3(受壓)3-38解：假設

21、各桿均受壓取三角形BCG為研究對象，受力如圖所示。列平衡方程:oF Fcd 0DBGABF （受壓）Fx0取節(jié)點C為研究對象，受力如圖所示。列平衡方程:FxFy0Fbc COS45FcdFcg COS00Fbc s in450 FCG s in 0其中：tan1 2，解以上兩個方程可得：Fbc 0.586 F （受壓）2 23-40解：取整體為研究對象，受力如圖所示。列平衡方程:Ma 0 Fb 2a F 2a F 3a 0 Fb 2.5FS用截面S-S將桁架結構分為兩部分，假設各桿件受拉，取右邊部分為研究對象, 受力如圖所示。列平衡方程：Me 0Fb a F a F2 3a 0f2 7F（受拉

22、）6Fx 0 2F Fi F2 0F1 5F（受拉）64-1t Fm解：1. 選定由桿OA OC, DE組成的系統(tǒng)為研究對象，該系統(tǒng)具有理想約束。作用在 系統(tǒng)上的主動力為F , Fm。2. 該系統(tǒng)的位置可通過桿OA與水平方向的夾角B完全確定，有一個自由度。選 參數(shù)B為廣義坐標。3.在圖示位置，不破壞約束的前提下，假定桿OA有一個微小的轉角SB，相應的各點的虛位移如下：5 O AO BrD6DrBL，rDrE代入可得：rA30rE4.由虛位移原理W ( Fi)0有：FrAFmrE(30FFm)rE 0對任意rE 0有：Fm 30F，物體所受的擠壓力的方向豎直向下4-4解：4a1. 選桿AB為研究

23、對象，該系統(tǒng)具有理想約束。設桿重為 P,作用在桿上的主動力 為重力。2. 該系統(tǒng)的位置可通過桿AB與z軸的夾角B完全確定，有一個自由度。選參數(shù)B為廣義坐標。由幾何關系可知：h tan桿的質心坐標可表示為：ZCtan1cos23.在平衡位置，不破壞約束的前提下，假定桿 AB逆時針旋轉一個微小的角度SB,則質心C的虛位移：1 .sin2Zc 2sin4.由虛位移原理 W(FJ 0有:對任意PZc0有：a 2sina 2sin2sin )1sin 02即桿AB平衡時：a聞(節(jié)。解：4b1. 選桿AB為研究對象，該系統(tǒng)具有理想約束。設桿重為 P,作用在桿上的主動力 為重力。2. 該系統(tǒng)的位置可通過桿A

24、B與z軸的夾角B完全確定，有一個自由度。選參數(shù)B為廣義坐標。由幾何關系可知：zAsin桿的質心坐標可表示為：ZcRsin1cos203. 在平衡位置，不破壞約束的前提下，假定桿SB,則質心C的虛位移：AB順時針旋轉一個微小的角度Zc. 2sincos1 .sin24.由虛位移原理W ( Fi) 0有:PZcP (R2 sin )對任意0有：R 2 sincossin 022cossinI2即平衡時角滿足：2 R cos I sin304-5解：1.選整個系統(tǒng)為研究對象，此系統(tǒng)包含彈簧。設彈簧力F, F2，且F, F2，將彈簧力視為主動力。此時作用在系統(tǒng)上的主動力有F, F2，以及重力P o2該

25、系統(tǒng)只有一個自由度，選定為廣義坐標。由幾何關系可知：zA zB a sin3. 在平衡位置，不破壞約束的前提下，假定有一個微小的虛位移S9，則質心的 虛位移為：ZcZaZb a COS彈簧的長度|2 a sin 一，在微小虛位移sb下:2a cos 4.由虛位移原理 W(FJ 0有:P zC F2 l (Pa cosF2a cos )2其中Fk(2a sin 2a)，代入上式整理可得:22 P coska (2sincos ) a2 2由于a 0 ,對任意0可得平衡時彈簧剛度系數(shù)為:,2 P coska (2 sin cos )24-6解：解除A端的約束，代之以Fax , FAy , M A，

26、并將其視為主動力，此外系統(tǒng)還 受到主動力F1, F2,F3, M的作用。系統(tǒng)有三個自由度，選定 A點的位移xA, yA和梁AC的轉角為廣義坐標。1 在不破壞約束的前提下給定一組虛位移xA0,y0,0，如圖所示。由虛位移原理W (Fi)0 有：F Axx A0對任意xA0可得：Fax02 在不破壞約束的前提下給定一組虛位移xA0,yA0,0，如下圖所示。由虛位移原理W (Fi)0 有:FAy yA R %F 2y2F 3y3M0(1)11ycyA33代入(1)式：(FAyF1"2F31-M ) yA033對任意Xa0可得：FAy3.在不破壞約束的前提下給定一組虛位移xA0, yA 0,

27、上圖所示。由虛位移原理W(Fi)0有：M AF1屮F 2y 2F 3y 3M有幾何關系可得各點的虛位移如下：論2y3yc 3y2代入式:(M a 2F1F2 3F3M )0對任意0可得：Ma 7(kNm),逆時針方向由幾何關系可得各點的虛位移如下:目iy y3 yA3 yA4( kN )，方向如圖所示。4-7解：將均布載荷簡化為作用在 CD中點的集中載荷f3 ,大小為6q1.求支座B處的約束力解除B點處的約束，代之以力FB，并將其視為主動力，系統(tǒng)還受到主動力F, F2, F3, M的作用，如圖所示。在不破壞約束的前提下，桿AC不動，梁CDB由虛位移原理W(FJ0有：Fb rB cos 450M

28、F2y2 cos 150 0F3y30 (1)各點的虛位移如下：b62y29y33代入(1)式整理可得：9 3(6Fb M2F2 3F3)0對任意0可得：Fb18 .6(kN)，方向如圖所示。只能繞C點轉動。系統(tǒng)有一個自由度，選轉角為廣義坐標。給定虛位移2. 求固定端A處的約束力解除A端的約束，代之以FaxFAy , M A，并將其視為主動力，系統(tǒng)還受到主動力F, F2, F3, M的作用。系統(tǒng)有三個自由度，選定A點的位移xa, yA和 梁AC的轉角為廣義坐標。2a.求 FAx在不破壞約束的前提下給定一組虛位移XA 0, yA 0,0，此時整個結構平移，如上圖所示。由虛位移原理W(FJ 0有:

29、FAx xA F1x1F2x2 cos 120 0 0各點的虛位移如下：XiXa代入(2)式整理可得：(FaxF1 0.5F2)Xa 0對任意Xa0可得:Fax 2(kN )，方向如圖所示2b.求 Fay在不破壞約束的前提下給定一組虛位移XA 0, yA 0,此時梁AC向上平移，梁W(FJ 0 有：CDB繞D點轉動，如上圖所示。由虛位移原理F Ay y A F3 y 3 F2 y2 COS 30M各點的虛位移如下:1111y2y3yCyA-y-y2236代入(3)式整理可得：1L31 _、(FAyF 3F2-M )討 a0246對任意yA 0可得： FAy 3.8(kN )，方向如圖所示uTT

30、I8&2c.求 M A在不破壞約束的前提下給定一組虛位移XA0, yA 0,0，此W(Fi)0時梁AC繞A點轉動，梁CDB平移，如上圖所示。由虛位移原理有:F1 X1F2x2 cos 120 0各點的虛位移如下:x13X2Xc 6代入(4)式整理可得：(M a3Fi3F2)對任意0可得:24 (kN m)，順時針方向。4-8解：假設各桿受拉，桿長均為a。由虛位移原理 W ( Fi)0 有:1 求桿1受力去掉桿1,代之以力巳，系統(tǒng)有一個自由度，選AK與水平方向的夾角 為 廣義坐標，如上圖所示。在不破壞約束的條件下給定一組虛位移，此時三角形 ADK形狀不變，繞A點轉動，因此有 rD AD,

31、 rKA K，且：d a ,3a滑動支座B處只允許水平方向的位移，而桿BK上K點虛位移沿鉛垂方向，故B 點不動。三角形BEK繞B點旋轉e BE，且：j 5 a對剛性桿CD和桿CE由于rDCD, rECE，因此rC0。由虛位移原理 W(FJ 0有：(F1 P1) rD cos 600 P1 rE cos 60 0 0代入各點的虛位移整理可得：(F12R) aE1 (受壓)。對任意0可得：Pi2 求桿2受力去掉桿2,代之以力P2，系統(tǒng)有一個自由度，選BK與水平方向的夾角 為廣義坐標，如上圖所示。在不破壞約束的條件下給定一組虛位移，桿AK繞A點轉動，因此有rK AK，且：rK3a同理可知B點不動，三角形BEK繞B點旋轉 * BE，且：桿AD繞A點轉動rD移方向如圖所示，且：AD，由剛性桿DE上點E的虛位移可確定D點位F1 rD cos 120 0P2 rD cos 150 0P2 r