《1.3交集、并集》教學案

1、交集、并集教學案學習目標1.知識與技能(1)理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的交集與并集.(2)能使用Venn圖表達集合的運算，體會直觀圖示對理解抽象概念的作用.2.過程與方法學生通過觀察和類比，借助 Venn圖理解集合的基本運算.3.情感、態(tài)度與價值觀(1)進一步樹立數(shù)形結合的思想.進一步體會類比的作用.(3)感受集合作為一種語言，在表示數(shù)學內(nèi)容時的簡潔和準確.教學重點、難點重點：交集與并集的概念.難點：理解交集與并集的概念、符號之間的區(qū)別與聯(lián)系.教學過程1.關于交集與并集概念的教學建議教師一方面可通過 Venn圖畫兩集合所表示的兩條封閉曲線“相離”、“相交”、“內(nèi)含”、“相

2、重合”等情形，全面揭示兩集合的交集或并集的所有情形；另一方面，在交集、并集概念的教學中，對“且”和“或”這兩個聯(lián)結詞必須使學生明確其涵義，學會正確使用,使學生對交集、并集的定義有一個準確的認識.2.關于集合運算時的常用技巧的教學建議教師通過教學引導學生進行集合運算時一般先化簡再運算.當給出的集合形式較為復雜時，注意先化簡，化簡時注意保證化簡前后集合的等價性.另外須注意對于含有參數(shù)的方程問題，一般需對參數(shù)進行討論.要特別注意檢驗集合的元素是否滿足“三性”，還要提防“空集”這一隱形陷阱.1.理解交集與并集的概念，以及符號之間的區(qū)別與聯(lián)系(重點).課標解讀2 .掌握求兩個簡單集合的交集與并集的方法(

3、重點).3.會借助Venn圖理解集合的交并運算，培養(yǎng)數(shù)形結合的思想(難點).知識點1交集與交集的性質(zhì)【提示】C中的元素屬于集合A或屬于集合B.【問題導思】已知集合 A = - 1, 1, 2, 3, B = 0，- 1 , 1 , C = - 1 , 1.1.集合A與集合B有公共元素嗎？它們組成的集合是什么?【提示】有 - 1 , 1.2集合C中的元素與集合A、B有何關系?【提示】集合C中的元素屬于A且屬于B.1.交集(1) 文字語言：一般地，由所有屬于集合A且屬于集合B的元素構成的集合，稱為 A與B的交集，記作An B(讀作“ A交B”).(2)符號語言:An B= x|x A,且 x B,

4、Ve nn圖AB)2.交集的性質(zhì)(1)An B = Bn A；(2)An B?_A ； (3)An BjB； (4)An A= A; (5)A n ? = ?知識點2并集與并集的性質(zhì)【問題導思】已知集合 A = - 1, 2, 6 , B= - 2，- 1, 4, 6, C= - 1 , - 2, 2, 4, 6.1. 集合A與B中的公共元素是什么?【提示】-1, 6.2.集合C中的元素與集合A、B有什么關系?1.并集(1)文字語言：一般地，由所有屬于集合A或者屬于集合B的元素構成的集合，稱為 A與B的并集，記作AU B(讀作“A并B”).(2)符號語言:AU B= x|x A或x B.Ve

5、nn圖2.并集的性質(zhì)(1)AU B = BU A；(2)AJAU B ； (3)B?_A U B； (4)AU A= A; (5)A U ? = A.設a, b R，且ab,規(guī)定:a,a,(a,a,知識點3區(qū)間b = x|awxw b, (a, b) = xpvxvb,b) = x|awxb, (a, b = x|aa, ( s, b)= x|x1 , B = x|- 1x1 n x| 1x2 = x|1x2.(2) 法一 A n B = 1, 1, 2, 4 n 1, 0, 2 = 1 , 2.法二如圖所示:A n B= 1, 2.【答案】(1)x|1x2(2) 1, 2規(guī)律方法求兩個集合的

6、交集就是找出這兩個集合的公共元素:(1)對于用描述法表示的實數(shù)組成的數(shù)集一般利用數(shù)軸分析求解;(2)對于用列舉法表示的實數(shù)組成的數(shù)集一般利用定義或Venn圖法求解.知識點5集合的并集運算例2 設A= x|2x2 px+ q= 0, B = x|6x2+ (p + 2)x + 5+ q = 0,若An B = ?,求AU B.【思路探究】利用交集的定義，可以得到兩個含有P, q的方程，并解出它們，可以進步求出集合A,B,在求并集時，必須注意并集中元素應該滿足互異性.【自主解答】111.A n B = 2,.2 3, 2 出.將2分別代入方程 2x2 px+ q = 0及6x2+ (p + 2)x

7、+ 5+ q= 0中,門11 2 2P+ q = 0,聯(lián)立得方程組312 + 2(P + 2 )+ 5+ q= 0,P=乙 解得q= 4.1-A = x|2x + 7x 4 = 0 = 4, 2,B= x|6x2 5x+ 1 = 0 = i, 3,1 1A d 4, 2, 3 規(guī)律方法1.解答本題關鍵是確定出集合 A, B中的元素.2. 求集合的并集時，若集合是用列舉法給出的，可直接利用并集的定義求解，需特別 注意相同元素只能按一個書寫；若集合是用描述法表示的無限集，求解時可借助數(shù)軸完成,需特別注意界點的虛實.知識點6交集、并集的性質(zhì)及應用例3 集合 A= x|x2 3x+ 2 = 0 , B

8、= x|2x2 4x+ a = 0，若 AU B = A，求實數(shù) a的取值范圍.【思路探究】AUB = AB? A fB= ?或BM ?f結論A= xx2 3x+ 2 = 0 = 1 , 2,【自主解答】A.2(1) 當B = ?時，A= ( 4) 4X 2a = 16 8a2 ；當B中只有一個元素時,即B= 1或2時,= 16 8a = 0, /a = 2,2此時，B= x|2x 4x+ 2 = 0 = 1，符合題意;(3)當 B = 1 , 2時,21, 2是方程2x 4X+ a= 0的兩根,4應有1+ 2 = V，顯然不成立,此種情況不存在.綜上，實數(shù)a的取值范圍為a|a2.規(guī)律方法在集

9、合與集合的關系中， 若集合B為雙元素集合，且A? B,則可對集合A按元素的個數(shù)分類，即A為空集，A為單元素集合，A為雙元素集合；若集合B為三元素集合，則可依此類推.這 樣才能標準統(tǒng)一，不重不漏.變式訓練設A= xlx2 + 4x= 0, B = xlx2 + 2(a + 1)x + a2 1 = 0.(1)若A n B= B，求a的取值范圍;若AU B= B，求a的值.【解】 A = 0 , 4.(1) -.An B= B,.B? A. 若0出，則a2 1 = 0，解得a= 1.當 a= 1 時，B = x|x2 + 4x= 0 = A；當 a= 1 時，B= 0 A.若4田，則a2 8a +

10、 7= 0，解得a= 7或a= 1.當 a= 7時，B = x|x2 + 16x + 48 = 0 = 12, 4 g A.2 2 若 B= ?，則 A= 4(a + 1) 4(a 1)0，解得 a 1.綜上所述，a w 1或a = 1.ALB =B.A = 0 , 4，而B中最多有兩個元素,:A = B，即 卩 a = 1.知識點7已知集合的交集、并集求參數(shù)范圍例4 已知集合A= x|2x4，B= x|ax0.此時，又分兩種情況： B在A的左邊，如圖中B所示; B在A的右邊，如圖中B 所示.3a 2集合B在圖中B或B 位置均能使A n B= ?成立,2即04,解得 04.另一類是B = ?，

11、即aw 0時，顯然An B= ?成立.2綜上所述，a的取值范圍是a|aw 3或a 4.規(guī)律方法1.若A n B= ?，則A、B可能的情況為：(1)A、B非空但無公共元素；(2)A、B均為空集;(3) A與B中只有一個是空集.2.依據(jù)數(shù)形結合的數(shù)學思想，利用數(shù)軸分析法是解決有關交集、并集問題，特別是 些字母范圍問題的常用方法.互動探究將本題條件“ An B = ?”改為“ A n B= x|3x4 ”，如何求a的值?【解】 因為A= x|2x4 , An B = x|3x4，如圖所示.集合B若要符合題意，顯然有a = 3,此時，B = x|3x9，所以a= 3為所求.錯誤理解交、并集的概念致誤典

12、例 設 A = 2 , 1, X2 X+ 1, B = 2y , 4 , x+ 4, C= 1, 7,且 A n B= C , 求X, y的值.【錯解】令7= x2 X+1,解得x= 2,或x= 3,7令2y=乙解得y= 2,1令2y= 1，解得 y= 2，而由 x+ 4= 7得x= 3,由 X+ 4 = 1 得 x= 5.71綜上可知 x= 2,或 x= 3,或 x= 5, y= 2,或 y = 2.【錯因分析】沒有正確理解An B= C即集合A B中有且僅有1, 7這兩個公共元素, 在求出X, y的值后應進行檢驗.【防范措施】正確理解集合中交、并集的概念，若給出集合與集合的交集或并集，求

13、解過程中應注意檢驗.【正解】-.A = 2 , 1 , x2 X+ 1, B= 2y, 4, x+ 4, C= 1 , 7,又A n B = C,.76A, 7田,-1B.2當73時，有 x X+ 1= 7,解得x= 2,或x= 3.F面檢驗x= 2與x= 3的合理性:若x=- 2,則在 B中，x+ 4= 2 + 4= 2,則 2 出.2(A,.2 (A n B= C = 1 , 7，這是矛盾的,X 豐2,當x= 3時，在B中，X+ 4 = 7,符合題意,12y= 1，解得 y= 2.1綜上可得x= 3, y= 2.、“或”,本節(jié)的重點是交集與并集的概念，只要結合圖形，抓住概念中的關鍵詞“且” 理解它們并不困難.(1)A與B的交集是由A與B所有的公共元素組成的集合.當兩個集合A與B無公共元素時,An B = ?.(2) A與B的并集是由A的所有元素和B的所有元素組成的集合，當兩個集合有公共元素 時，公共元素在A U B中只能出現(xiàn)一次.(3) 利用數(shù)形結合，將滿足條件的集合用Venn圖或數(shù)軸一一表示出來，從而求出集合的 交集、并集.這是既簡單直觀且最基本、最常見的方法，要注意靈活運用1.集合x|2xw 5用區(qū)間表示為【解析】x|2x 5 = (2, 5.【答案】(2, 52.已知集合 A =x|(x 1)(x + 2)= 0, B = x|(x + 2)(x 3) = 0，則集