初中數(shù)學(xué)因式分解(含答案)競(jìng)賽題精選1

1、學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考初中數(shù)學(xué)因式分解( 一 )因式分解是代數(shù)式恒等變形的基本形式，是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的有力工具是掌握因式分解對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生解題技能，思維能力，有獨(dú)特作用1運(yùn)用公式法整式乘法公式，反向使用，即為因式分解(1)a 2-b 2 =(a+b)(a-b)；(2)a 2±2ab+b2=(a ±b) 2；(3)a 3+b3 =(a+b)(a 2-ab+b 2) ；(4)a 3-b 3 =(a-b)(a2+ab+b2) 幾個(gè)常用的公式：(5)a 2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-

2、ab-bc-ca) ；(7)an-b n=(a-b)(an-1 +an-2 b+an-3 b2+abn-2+bn-1 ) 其中 n 為正整數(shù)；(8)an-b n=(a+b)(an-1 -a n-2 b+an-3 b2-+abn-2-b n-1 ) ，其中 n 為偶數(shù)；(9)an+bn=(a+b)(an-1 -a n-2 b+an-3 b2-ab n-2+bn-1 ) ，其中 n 為奇數(shù)分解因式，根據(jù)多項(xiàng)式字母、系數(shù)、指數(shù)、符號(hào)等正確恰當(dāng)?shù)剡x擇公式例 1 分解因式：(1)-2x5n-1 yn+4x3n-1 yn+2-2x n-1 yn+4；(2)x3-8y 3-z 3-6xyz ；(3)a 2+

3、b2 +c2-2bc+2ca-2ab ；(4)a 7-a 5b2+a2b5-b 7學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考例 2 分解因式： a3+b3+c3-3abc 例 3 分解因式： x15+x14+x 13+x2+x+1學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考2拆項(xiàng)、添項(xiàng)法因式分解是多項(xiàng)式乘法的逆運(yùn)算在多項(xiàng)式乘法運(yùn)算時(shí)，整理、化簡(jiǎn)常將幾個(gè)同類項(xiàng)合并為一項(xiàng)，或?qū)蓚€(gè)僅符號(hào)相反的同類項(xiàng)相互抵消為零在對(duì)某些多項(xiàng)式分解因式時(shí)，需要恢復(fù)那些被合并或相互抵消的項(xiàng)，即把多項(xiàng)式中的某一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)，或者在多項(xiàng)式中添上兩個(gè)僅符合相反的項(xiàng)，前者稱為拆項(xiàng)，后者稱為添項(xiàng)拆項(xiàng)、添項(xiàng)的目的是使多項(xiàng)式能用分組分解法進(jìn)行

4、因式分解例 4 分解因式： x3-9x+8 例 5 分解因式：(1)x 9+x6 +x3-3 ；(2)(m2- 1)(n 2-1)+4mn ；(3)(x+1)4+(x 2-1) 2+(x-1) 4；(4)a3b-ab 3+a2+b2+1學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考3換元法換元法指的是將一個(gè)較復(fù)雜的代數(shù)式中的某一部分看作一個(gè)整體，并用一個(gè)新的字母替代這個(gè)整體來(lái)運(yùn)算，從而使運(yùn)算過(guò)程簡(jiǎn)明清晰例 6 分解因式： (x 2+x+1)(x 2+x+2)-12 例 7 分解因式： (x 2+3x+2)(4x 2+8x+3)-90 例 8 分解因式： (x 2+4x+8)2+3x(x 2+4x+8)+

5、2x 2學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考例 9 分解因式： 6x4+7x3-36x 2-7x+6 例 10 分解因式： (x 2+xy+y 2)-4xy(x2+y2) 練習(xí)一1分解因式：(2)x10+x5-2 ；(4)(x5+x4+x3+x2+x+1) 2-x 5學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考2分解因式：32；4222(1)x +3x -4(2)x -11xy +y ；(3)x 3+9x2+26x+24；(4)x 4-12x+323 3分解因式：(1)(2x2-3x+1) 2-22x 2+33x-1 ；(2)x4+7x3+14x 2+7x+1；(3)(x+y)3+2xy(1-x-y)

6、-1；(4)(x+3)(x2-1)(x+5)-20初中數(shù)學(xué)因式分解 ( 一) 答案學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考多項(xiàng)式的因式分解是代數(shù)式恒等變形的基本形式之一，它被廣泛地應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)之中，是我們解決許多數(shù)學(xué)問(wèn)題的有力工具因式分解方法靈活，技巧性強(qiáng)，學(xué)習(xí)這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內(nèi)容所必需的，而且對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的解題技能，發(fā)展學(xué)生的思維能力，都有著十分獨(dú)特的作用初中數(shù)學(xué)教材中主要介紹了提取公因式法、運(yùn)用公式法、 分組分解法和十字相乘法本講及下一講在中學(xué)數(shù)學(xué)教材基礎(chǔ)上，對(duì)因式分解的方法、技巧和應(yīng)用作進(jìn)一步的介紹1運(yùn)用公式法在整式的乘、除中，我們學(xué)過(guò)

7、若干個(gè)乘法公式，現(xiàn)將其反向使用，即為因式分解中常用的公式，例如：(1)a22-b) ；-b =(a+b)(a(2)a 2±2ab+b2 =(a ±b) 2；(3)a33=(a+b)(a22；+b-ab+b )(4)a3322-b =(a -b)(a+ab+b )下面再補(bǔ)充幾個(gè)常用的公式：(5)a 2+b2 +c2 +2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 2；333222(6)a +b +c -3abc=(a+b+c)(a+b+c -ab-bc-ca) ；nn=(a -b)(an-1+an-2n-32n-2+bn-1) 其中 n 為正整數(shù)；(7)a -bb+ab + +ab

8、nn=(a+b)(an-1n-2n-32n-2n-1) ，其中 n 為偶數(shù)；(8)a -b-ab+ab- +ab-bnn=(a+b)(an-1n-2n-3b2n-2+bn-1) ，其中 n 為奇數(shù)(9)a +b-ab+a- -ab運(yùn)用公式法分解因式時(shí)，要根據(jù)多項(xiàng)式的特點(diǎn)，根據(jù)字母、系數(shù)、指數(shù)、符號(hào)等正確恰當(dāng)?shù)剡x擇公式例 1分解因式：(1) -2x5n-1n3n-1yn+2n-1yn+4；y +4x- 2x(2)x333-8y -z -6xyz ；(3)a 2+b2 +c2-2bc+2ca -2ab；(4)a752257-ab +a b-b解 (1) 原式 =-2xn-1 yn(x 4 n-2x

9、 2ny2+y4)=-2xn-1 yn(x 2 n) 2-2x2ny2 +(y 2) 2 =-2xn-1 yn(x 2 n-y 2) 2=-2xn-1 yn(x n -y) 2(x n+y) 2(2)333-Z)原式 =x +( -2y) +( -z) - 3x( -2y)(=(x - 2y- z)(x2+4y2 +z2 +2xy+xz -2yz) (3)222原式 =(a -2ab+b )+( -2bc+2ca)+c (a - b) 2 +2c(a - b)+c 2=(a -b+c)2本小題可以稍加變形，直接使用公式(5) ，解法如下：原式 =a2+( -b) 2+c2+2( -b)c+2c

10、a+2a( - b)學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考=(a -b+c) 2(4) 原式 =(a752257-a b )+(ab-b )=a 5 (a 2-b2)+b 5(a 2-b2)=(a2255-b )(a+b )=(a+b)(a432234-b)(a+b)(a-a b+a b -ab+b )=(a+b)2(a -b)(a432234- a b+a b-ab+b )例 2 分解因式： a3 +b3 +c3 -3abc本題實(shí)際上就是用因式分解的方法證明前面給出的公式(6) 分析 我們已經(jīng)知道公式(a+b) 3 =a3+3a2b+3ab2 +b3的正確性，現(xiàn)將此公式變形為a3 +b3 =(

11、a+b) 3-3ab(a+b) 這個(gè) 式也是一個(gè)常用的公式，本題就借助于它來(lái)推導(dǎo)33解 原式 =(a+b) -3ab(a+b)+c - 3abc= (a+b)3+c 3 -3ab(a+b+c)=(a+b+c) (a+b) 2-c(a+b)+c2 - 3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a 2 +b2 +c2-ab-bc-ca) 說(shuō)明 公式 (6) 是一個(gè)應(yīng)用極廣的公式，用它可以推出很多有用的 結(jié)論，例如：我們將公式(6) 變形為a3 +b3 +c3-3abc3333333333abc，而顯然，當(dāng) a+b+c=0 時(shí)，則 a +b +c =3abc；當(dāng) a+b+c0時(shí)，則 a +b +c-3a

12、bc 0，即 a+b +c且，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c 時(shí)，等號(hào)成立如果令 x=a 3 0，y=b3 0，z=c3 0，則有等號(hào)成立的充要條件是x=y=z 這也是一個(gè)常用的結(jié)論例 3 分解因式： x15+x14 +x13+ +x2+x+1分析這個(gè)多項(xiàng)式的特點(diǎn)是：有16 項(xiàng)，從最高次項(xiàng)x 15 開始， x 的次數(shù)順次遞減至0，由此想到應(yīng)用公n n式 a -b 來(lái)分解解 因?yàn)閤16- 1=(x -1)(x 15+x14+x13+x2 +x+1) ，所以學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考說(shuō)明在本題的分解過(guò)程中，用到先乘以(x -1) ，再除以 (x -1) 的技巧，這一技巧在等式變形中很常用2拆項(xiàng)、添項(xiàng)

13、法因式分解是多項(xiàng)式乘法的逆運(yùn)算在多項(xiàng)式乘法運(yùn)算時(shí)，整理、化簡(jiǎn)常將幾個(gè)同類項(xiàng)合并為一項(xiàng)，或?qū)蓚€(gè)僅符號(hào)相反的同類項(xiàng)相互抵消為零在對(duì)某些多項(xiàng)式分解因式時(shí)，需要恢復(fù)那些被合并或相互抵消的項(xiàng)，即把多項(xiàng)式中的某一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)，或者在多項(xiàng)式中添上兩個(gè)僅符合相反的項(xiàng)，前者稱為拆項(xiàng)，后者稱為添項(xiàng)拆項(xiàng)、添項(xiàng)的目的是使多項(xiàng)式能用分組分解法進(jìn)行因式分解例 4 分解因式： x3 -9x+8分析 本題解法很多，這里只介紹運(yùn)用拆項(xiàng)、添項(xiàng)法分解的幾種解法，注意一下拆項(xiàng)、添項(xiàng)的目的與技巧解法 1 將常數(shù)項(xiàng)8 拆成 - 1+9原式 =x3 -9x-1+93=(x -1) - 9x+9=(x -1)(x 2 +x+1) -9

14、(x - 1)=(x -1)(x 2 +x- 8) 解法 2 將一次項(xiàng) -9x 拆成 -x-8x原式 =x3 -x-8x+83=(x -x)+( -8x+8)=x(x+1)(x-1) -8(x -1)=(x -1)(x 2 +x- 8) 解法 3 將三次項(xiàng)3拆成 9x33x-8x33原式 =9x -8x -9x+8=(9x33+8)-9x)+( - 8x=9x(x+1)(x- 1) - 8(x -1)(x 2+x+1)=(x -1)(x 2 +x- 8) 解法 4添加兩項(xiàng) -x2+x2 原式 =x3-9x+8322=x-x +x-9x+8=x2(x -1)+(x - 8)(x -1)=(x -

15、1)(x2 +x- 8) 說(shuō)明 由此題可以看出，用拆項(xiàng)、添項(xiàng)的方法分解因式時(shí)，要拆哪些項(xiàng)，添什么項(xiàng)并無(wú)一定之規(guī)，主要的是要依靠對(duì)題目特點(diǎn)的觀察，靈活變換，因此拆項(xiàng)、添項(xiàng)法是因式分解諸方法中技巧性最強(qiáng)的一種學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考例 5 分解因式：(1)x 9+x6 +x3 -3；(2)(m 2 -1)(n 2 -1)+4mn；(3)(x+1)4+(x 2 -1) 2+(x - 1) 4 ；(4)a 3b-ab3 +a2+b2+1解 (1) 將 -3 拆成 - 1-1-1963原式 =x +x+x-1-1-1=(x963-1)+(x-1)+(x-1)=(x363333-1)(x+x

16、+1)+(x-1)(x+1)+(x-1)=(x3-1)(x6+2x3+3)=(x -1)(x 2 +x+1)(x 6+2x3 +3) (2) 將 4mn拆成 2mn+2mn22原式 =(m -1)(n- 1)+2mn+2mn2222+1+2mn+2mn=mn-m- n2222=(m n +2mn+1)-(m-2mn+n)=(mn+1)22-(m- n)=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)(3) 將(x22拆成2(x2-1)222-1)-(x-1)422224原式 =(x+1) +2(x-1) - (x-1)+(x -1)= (x+1) 4+2(x+1) 2 (x -1) 2 +(x -1

17、) 4 -(x 2 -1) 2= (x+1)22222+(x -1)-(x-1)222222=(2x +2)-(x-1)=(3x+1)(x +3)(4) 添加兩項(xiàng) +ab- ab原式 =a3b-ab3 +a2 +b2+1+ab- ab=(a 3b-ab3)+(a 2 -ab)+(ab+b 2+1)=ab(a+b)(a - b)+a(a - b)+(ab+b 2+1)=a(a -b) b(a+b)+1+(ab+b2 +1)=a(a -b)+1(ab+b 2 +1)=(a22-ab+1)(b+ab+1)說(shuō)明 (4)是一道較難的題目，由于分解后的因式結(jié)構(gòu)較復(fù)雜，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加

18、項(xiàng)后分成的三項(xiàng)組又無(wú)公因式，而是先將前兩組分解，再與第三組結(jié)合，找到公因式這道題目使我們體會(huì)到拆項(xiàng)、添項(xiàng)法的極強(qiáng)技巧所在，同學(xué)們需多做練習(xí)，積累經(jīng)驗(yàn)3換元法學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考換元法指的是將一個(gè)較復(fù)雜的代數(shù)式中的某一部分看作一個(gè)整體，并用一個(gè)新的字母替代這個(gè)整體來(lái)運(yùn)算，從而使運(yùn)算過(guò)程簡(jiǎn)明清晰例 6 分解因式： (x 2 +x+1)(x 2+x+2) -12分析將原式展開，是關(guān)于x 的四次多項(xiàng)式，分解因式較困難我們不妨將x 2+x 看作一個(gè)整體，并用字母 y 來(lái)替代，于是原題轉(zhuǎn)化為關(guān)于y 的二次三項(xiàng)式的因式分解問(wèn)題了解 設(shè) x2 +x=y，則原式 =(y+1)(y+2)-12=y

19、2 +3y-10=(y -2)(y+5)=(x2+x-2)(x 2 +x+5)=(x -1)(x+2)(x2 +x+5) 說(shuō)明本題也可將x2 +x+1 看作一個(gè)整體，比如今x2 +x+1=u，一樣可以得到同樣的結(jié)果，有興趣的同學(xué)不妨試一試?yán)?7 分解因式：(x 2 +3x+2)(4x 2 +8x+3) - 90分析先將兩個(gè)括號(hào)內(nèi)的多項(xiàng)式分解因式，然后再重新組合解 原式 =(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90=(x+1)(2x+3)(x+2)(2x+1)-90=(2x 2+5x+3)(2x 2 +5x+2) -90令 y=2x 2 +5x+2，則原式 =y(y+1) -90=y2

20、+y- 90 =(y+10)(y -9)=(2x 2+5x+12)(2x 2 +5x-7)=(2x 2+5x+12)(2x+7)(x-1) 說(shuō)明對(duì)多項(xiàng)式適當(dāng)?shù)暮愕茸冃问俏覀冋业叫略?y) 的基礎(chǔ)例 8 分解因式：(x 2 +4x+8)2+3x(x 2+4x+8)+2x 2 解 設(shè) x2 +4x+8=y，則原式 =y2+3xy+2x 2=(y+2x)(y+x)=(x 2+6x+8)(x 2 +5x+8)=(x+2)(x+4)(x2 +5x+8) 說(shuō)明 由本題可知，用換元法分解因式時(shí)，不必將原式中的元都用新元代換，根據(jù)題目需要，引入必要的新元，原式中的變?cè)托伦冊(cè)梢砸黄鹱冃危瑩Q元法的本質(zhì)是簡(jiǎn)化多項(xiàng)式例 9 分解因式：6x432