專(zhuān)題16圓與三角函數(shù)(解析版)

1、九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)解法技巧思維培優(yōu)專(zhuān)題16 圓與三角函數(shù)題型一利用銳角三角函數(shù)值求有關(guān)線(xiàn)段的長(zhǎng)3【典例1】（2019?碑林區(qū)校級(jí)模擬）如圖，已知 OAB中，OA=OB=10, sinB=工，以點(diǎn)。為圓心，125為直徑的。交線(xiàn)段OA于點(diǎn)C,交直線(xiàn)OB于點(diǎn)E、D,連接CD, EC.（1）求證：AB為。的切線(xiàn)；（2）在（1）的結(jié)論下，連接點(diǎn) E和切點(diǎn)，交OA于點(diǎn)F,求CF的長(zhǎng).【點(diǎn)撥】（1）過(guò)點(diǎn)。作OGLAB,垂足為G,由條件求出 OG,根據(jù)切線(xiàn)的判定方法判斷即可;（2）先求出CE長(zhǎng)，證明OG/EC,得到 FOGsfce,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)定理得? ?一 一=,可 ? ?得OF?CE = OG?CF,

2、設(shè)CF = x,則可彳導(dǎo)關(guān)于 x的方程，解方程即可得解.【解析】（1）證明：如圖，過(guò)點(diǎn) 。作OGLAB,垂足為G, OA = OB,3sin B=5 ./ OGA = Z OGB = 90,? ? ? 23 一 一-0G= 5X10=6,，半徑r為6,-0G=r=6,又 OGLAB, AB為OO的切線(xiàn)；(2)解：: DE為。0的直徑,.Z ECD= 90 ,CD /AB,.Z CDE = Z ABD,?/2 ? 5'? 312 - 5 '?2 殂_ .5 ,. - OA = OB, AG = BG,Z AOG = Z BOG ,.OE = OC,2 .Z OEC = Z OCE

3、,3 . Z AOB = Z OEC+Z OCE,4 .Z AOG = Z OCE,OG / EC,.FOGAFCE,? ? ?OF?CE = OG?CF,設(shè) CF = x,則 36 X (6 - ?)= 6?解得：x= 31，CF= 36-.11【典例2】(2019?碑林區(qū)校級(jí)一模)如圖，在 ABC中，/ ACB=90° ,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，以AD是直徑的。交AC于點(diǎn)E, OO的切線(xiàn)EF交CD于點(diǎn)F,(1)求證：EFXCD;(2)若 AC=10, cosA=-,求線(xiàn)段 DF 的長(zhǎng).6【點(diǎn)撥】(1)連接DE, OE,由條件知 DA=DC, ZAED = 90° ,貝U AE

4、= EC,可證明OE/ DC ,得出/EFC = 90° ;(2)可求出 AE=5,求出 DE,在RtA DEF中，cosA= cos/ DEF=可求出 EF長(zhǎng)，則 DF長(zhǎng)可求.6【解析】(1)證明：連接DE, OE,/ACB=90° , D 是 AB 的中點(diǎn)，DA = DC,.AD是。O的直徑,，/AED=90° , . AE= EC, OA = OD,OE / DC,EF是圓的切線(xiàn), ./ OEF= 90° , ./ OEF = Z EFC =90° , EFXCD;(2)解：AC=10,AE= CE=5,cosA= 5 =6? ?AD =

5、 6, .?，?？ ？?=32 - 52 = V115在 RtADEF 中，cosA=cos/ DEF=6，5 -EF= |v11 ,DF= a/?2 ?= V(v11)2 - (|v11)2 = 16-.【典例3】(2019?雨花區(qū)校級(jí)期中)已知：如圖，在 OAB中，OA=OB,。經(jīng)過(guò)線(xiàn)段AB的中點(diǎn)C與OB交于點(diǎn)D,且與BO的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn) E,連接EC, CD.(1)求證：直線(xiàn)AB與。相切；(2)若tanE= ；, BD = 1,求。半徑的長(zhǎng)度. 3【點(diǎn)撥】(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出OCLAB,即可解答本題；(2)根據(jù)三角形的相似可以求得 BE的長(zhǎng)，從而可以得到 OD的長(zhǎng).【解析】(1)

6、證明：如圖，連接 OC.,. OA = OB, C為AB的中點(diǎn)， OCXAB. . AB是。O的切線(xiàn)；(2)解：: ED是。O的直徑， ./ ECD= 90° . / E+/ ODC = 90° .又 / BCD + ZOCD =90° , / OCD = /ODC, ./ BCD = Z E.又. / CBD = Z EBC, . BCDs bec.? ? ? ? ?BC2=BD?BE.1 . tanE= , 3? 1?= 3 .-/ BCDA BEC,? ? ? 1? ? ? 3 .BC=3BD=3, BE=3BC=9,ED = BE- BD=9- 1 = 8

7、,1 OD= ,ED = 4,即。半徑的長(zhǎng)度為4.題型二 利用圓中已知條件求銳角三角函數(shù)值【典例4】(2019?長(zhǎng)春模擬)如圖，在 ABC中，AB = AC,以AB為直徑的。交BC于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作DEL AC 于點(diǎn) E.(1)求證：直線(xiàn)DE是。的切線(xiàn);(2)若 BC=8, tanC= 4,求 tan/ DOE 的值.【點(diǎn)撥】（1）連接OD,求出AC/OD,求出ODLDE,根據(jù)切線(xiàn)的判定推出即可；（2）連接AD,求出BD=CD=4, AD=3,求出OD = 2.5,解直角三角形求出 DE,再求出答案即可.1）證明：連結(jié) .OB = OD, ./ B=Z ODB, AB= AC, ./ B=Z C

8、, ./ ODB =/ C, .OD / AC, DE LAC, ./ DEC = 90° , ./ ODE =/ DEC = 90° ODXDE,. 0D是半徑，DE是。的切線(xiàn);(2)解：連結(jié)AB是OO的直徑,.ZADB=90 ,AB= AC, BD = CD,1.? ? 4,7?AD = 3,在RtAADB中，由勾股定理得： AB= V32 + 42 = 5,AO = BO=2.5,.?;?在 RtADEC 中,?.1 3?= )5419?2：''''5 '? 2425 '【典例5】（2019?荊門(mén)）已知銳角 ABC的外接

9、圓圓心為 O,半徑為R.(1)求證：?=2R;?(2)若 ABC 中/ A=45° , / B=60° , AC= v3,求 BC 的長(zhǎng)及 sinC 的值.ADC,【點(diǎn)撥】（1）如圖1,連接AO并延長(zhǎng)交。于D,連接CD,于是得到/ ACD=90° , /ABC =根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論；BC=2R,?行 由？?巳 同理可得： 赤?=?巳 于是得到2R= ?（=02即可得到?sinA= 2sin45° = v2,如圖2,過(guò)C作CEAB于E,解直角三角形即可得到結(jié)論.【解析】解：（1）如圖1,連接AO并延長(zhǎng)交。于D,連接CD,則/ACD=90

10、6; , /ABC=/ADC,. sin/ABC = sin/ADC =? ? ?f 2?行?鏟?.?廣，?同理可得： =?”？=?平,-2R= ?6o2?BC= 2R?sinA= 2sin45° = v2,如圖2,過(guò)C作CEAB于E, . BE= BC?cosB=6cos60° = , AE=AC?cos45° =,22 . AB= AE+BE=v6+ V2魂+ V2 4 AB= 2R?sinC,.八? sinC= "c = 2?【典例6】(2019?泗水縣二模)【問(wèn)題學(xué)習(xí)】小蕓在小組學(xué)習(xí)時(shí)問(wèn)小娟這樣一個(gè)問(wèn)題：已知“為銳角，且sin a = 1,求 s

11、in2 a 的值. 5小娟是這樣給小蕓講解的：? 3如圖，在。中，AB是直徑，點(diǎn)C在。上，所以/ ACB = 90 .設(shè)/ BAC=a,則sina= ?= 3.易? 5得/BOC=2a.設(shè) BC=3x,貝U AB=5x【問(wèn)題解決】(1)請(qǐng)按照小娟的思路，利用圖 求出sin2a的值.(寫(xiě)出完整的解答過(guò)程)1(2)已知，如圖 ，點(diǎn)M, N, P為。上的二點(diǎn)，且/ P= 3, sin3=,求sin2 3的值.【點(diǎn)撥】（1）如圖，設(shè)/ BAC = a,根據(jù)圓周角定理得到/ COB = 2/，/ACB=90° ,利用正弦的定義得到sina=疑卷.則設(shè)BC=3x,AB = 5x,利用勾股定理得到

12、AC=4x,作CD LAB于D,如圖，根據(jù)12面積法得CD= 12x,然后在RtA COD中利用正弦的定義可求出sin2 a的值;5（2）如圖，作直徑NQ,連接QN、OM,作MHLNQ于H,根據(jù)圓周角定理得到/ NMQ = 90° , /MON = 2/P, / Q = Z P= 3,利用 sinQ= sin 3 = ?=：，設(shè) MN=t,則 NQ=4t,則 MQ=/t,根據(jù)面積法得到 MH= 乎8 然后在 RtAOMH中利用正弦的定義求出 sin/HOM即可.【解析】解：（1）如圖， 設(shè)/ BAC=a,則/ COB =2 a,AB為直徑, ./ACB=90° ,在 RtA

13、ACB 中，. sinan 篇 |. 設(shè) BC=3x, AB=5x, . AC= 4x,作CDXAB于D,如圖,11 入.一CD?AB= -AC?BC, 223?4? 12-CD=虧=/在 RHCOD 中，sin/COD=兩=L?125 _212即 sin2 a =;25(2)如圖，作直徑NQ,連接QN、OM,NQ為直徑,NMQ = 90° ,設(shè) MN = t,則 NQ = 4t,MQ=，（4?青-?= vi5t,11 c八-MH?NQ=1MN?MQ, 22，mh=竽= 3?書(shū)?在 RtAOMH 中，sin/HOM=而?=告. / MON = 2/ P,sin2 3 =0鞏固練習(xí)1.

14、 （2019?海淀區(qū)期末）如圖， AB是。O的弦，半徑 OEAB, P為AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，PC與。O相切于 點(diǎn)C, CE與AB交于點(diǎn)F.(1)求證：PC = PF;(2)連接 OB, BC,若 OB/ PC, BC=3* tanP= 3,求 FB 的長(zhǎng).【點(diǎn)撥】(1)連接 OC,根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)以及 OELAB,可知/ E+/EFA= / OCE+ZFCP=90° ,從而 可知/ EFA=Z FCP,由對(duì)頂角的性質(zhì)可知/ CFP = Z FCP ,所以PC=PF;(2)過(guò)點(diǎn)B作BGLPC于點(diǎn)G,由于OB/ PC,且OB=OC, BC=3 v2 ,從而可知 OB=3,易證四邊形OBGC

15、是正方形，所以 OB=CG = BG = 3,所以？?= 3,所以PG=4,由勾股定理可知：PB= 5,所以 ? 4FB= PF - PB=7- 5=2.【解析】解：(1)連接OC, PC是。的切線(xiàn)， ./ OCP= 90° , .OE = OC, ./ E=Z OCE, OEXAB,.Z E+Z EFA=Z OCE + Z FCP = 90° , ./ EFA=Z FCP ,. / EFA=Z CFP ,CFP = Z FCP,PC= PF;(2)過(guò)點(diǎn)B作BGPC于點(diǎn)G,. OB / PC, ./ COB = 90° ,-. OB = OC, BC=3v2,OB

16、 = 3, BGXPC,四邊形OBGC是正方形，.-.OB = CG=BG = 3,tanP= 3, 4? 3二、? 4PG = 4,，由勾股定理可知：PB=5, PF= PC=7,FB= PF - PB= 7-5=2.2. (2019?碑林區(qū)校級(jí)模擬) 如圖，在 ABC中，AC = AB,以AB為直徑的。分別與BC. AC相交于點(diǎn) D,E,且，過(guò) D 作 DF ±ACT F.(1)求證：DF是。的切線(xiàn)；1(2)若 AD = 4, tan/CDF = 2,求。的半徑.【點(diǎn)撥】(1)連接OD,由等腰三角形的性質(zhì)得出/ ABC = /C, /ODB = /ABC,得出/ ODB = /C

17、,證出OD/AC,因此ODLDF,即可得出 DF是。的切線(xiàn);? ?. 一 一,(2)由圓周角定理得出/ ADB=90 =/ DFC,證明 DFCAADB ,得出一=,由三角函數(shù)得出 ? ? 1, ,11 -汨?= 2，求出BD= 2AD= 2X4=2,由勾股定理得出AB=，？? ? = 2v5,即可得出O0的半徑.【解析】(1)證明：連接OD,如圖所示: AB= AC, ./ ABC = / C, .OD = OB, ./ ODB =Z ABC,ODB =Z C,OD / AC,DF ±AC, ODXDF,DF是。O的切線(xiàn)；(2)解：.AB是。O的直徑， ./ ADB= 90

18、6; =Z DFC, . / ABC = / C,.,.DFCA ADB, ? ?一？? ? 1 . tan/ CDF= '？ 1 ,? 2? 1 ?- 2'11BD= 2AD= 1 X4=2, AB =，？?+ ?2?= V22 + 42 = 2v5,3. （2019?鎮(zhèn)江）如圖，在 ABC中，AB = AC,過(guò)AC延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn) O作ODAO,交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn) D, 以O(shè)為圓心，OD長(zhǎng)為半徑的圓過(guò)點(diǎn) B.(1)求證：直線(xiàn)AB與。O相切；2(2)若 AB=5,。的半徑為 12,則 tan/BDO= -3 一【點(diǎn)撥】（1）連接 OB,由等腰三角形的性質(zhì)得出/ABC = /ACB

19、, /OBD = / D,證出/ OBD + /ABC= 90° ,得出ABXOB,即可得出結(jié)論；（2）由勾股定理得出 OA=，?4 ? = 13,得出OC=OA-AC=8,再由三角函數(shù)定義即可得出結(jié)果.【解析】（1）證明：連接 OB,如圖所示： AB= AC, ./ ABC = / ACB, . / ACB = / OCD, ./ ABC = / OCD, .ODXAO, ./ COD =90° ,. D + ZOCD = 90° , OB = OD, ./ OBD = / D,OBD + /ABC= 90° ,即/ABO=90° , ABX

20、OB,點(diǎn)B在圓O上，直線(xiàn)AB與。O相切；(2)解：. / ABO = 90° ,OA=，?= ?=，52 + 122 = 13,AC= AB=5,.OC = OA-AC=8,3-44. （2019?思明區(qū)質(zhì)檢）如圖，在 ABC中，AB = AC,。是4ABC的外接圓，AEAB交BC于點(diǎn)D,交OO于點(diǎn)E, F在DA的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且 AF=AD.若 AF=3, tanZ ABD =【點(diǎn)撥】如圖，連接BE.利用等腰三角形“三線(xiàn)合一”的性質(zhì)得到BF = BD;然后根據(jù)圓周角定理推知Z FBA = Z ABC = Z C=Z E, BE是。O的直徑.利用銳角三角函數(shù)的定義可以來(lái)求BE的長(zhǎng)度.【解

21、析】解：如圖，連接BE.AF= AD, ABXEF,BF= BD.AB= AC, ./ FBA = Z ABC = Z C=Z E. . tanZ ABD= 7, 4tanZ E= tanZ FBA= 4在 RtAABF 中，Z BAF=90° . tanZ FBA=嬴AF=3,AB= 4./ BAE = 90 ° ,BE是。O的直徑.3. tanZ E=tanZ FBA= j AB= 4,，設(shè) AB = 3x, AE=4x,BE= 5x,3x=4,BE= 5x=203，,220即。O的直徑是.335.（2019?長(zhǎng)寧區(qū)一模）如圖， AB是圓。的一條弦，點(diǎn) O在線(xiàn)段AC上，

22、AC=AB, OC=3, sinA= - -5求：（1）圓O的半徑長(zhǎng)；（2） BC的長(zhǎng).【點(diǎn)撥】（1）過(guò)點(diǎn)。作OHLAB,垂足為點(diǎn) H,設(shè)OH = 3k, AO=5k,則AH=，？為1 ?,得到AB= 2AH = 8k,求得AC=AB=8k,列方程即可得到結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)C作CGXAB,垂足為點(diǎn) G,在 RtAACG中，/ AGC=90° ,解直角三角形即可得到結(jié)論.【解析】解：（1）過(guò)點(diǎn)。作OHLAB,垂足為點(diǎn)H,在 RtAOAH 中中，/ OHA=90° ,sinA=? 3= ? 5設(shè) OH = 3k, AO = 5k,則 AH = M?2 ? OH LAB,AB= 2AH = 8k,AC= AB=8k,.-8k=5k+3,. .k= 1,AO = 5,即。O的半徑長(zhǎng)為5;(2)過(guò)點(diǎn) C 作 CGAB,垂足為點(diǎn) G,在 RtACG 中，/ AGC=90° ,.? 3 SinA= ?= 5 'AC= 8, .CG= 24-, AG=，? ?二手 BG= 5在 RtACGB 中，/ CGB = 90° ,BC=，？否? =嗚2+(和8,1056. (2019?武昌區(qū)模擬)如圖1, 4ABC是等腰三角形，O是底邊BC中點(diǎn)，腰AB與。相切于點(diǎn)D(1)求證：AC是。的切線(xiàn)；(2)如圖2,連接CD,若