概率統(tǒng)計期末考試卷(附參考答案)

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計期末考試卷注：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)值4（1.0） =0.8413, ：“2.575） =0.9950 中（2.81） = 0.9975 ：，（2.42） = 0.99224（1.285） =0.9, 中（1.645） = 0.95, 4（1.96）= 0.975,力（2.33） = 0.9911一、（10分）假設(shè)一枚彈道導(dǎo)彈擊沉航空母艦的概率為1 ,擊傷的概率為1 ,擊不中的321概率為1,并設(shè)擊傷兩次也會導(dǎo)致航空母艦沉沒，求發(fā)射 4枚彈道導(dǎo)彈能擊沉航空母6艦的概率？二、（12分）在某種牌賽中，5張牌為一組，其大小與出現(xiàn)的概率有關(guān)。一付 52張的牌（四種花色：黑桃、紅心、方塊

2、、梅花各 13張，即2-10、J=11、Q=12、K=13、A=14）,求（1）同花順（5張同一花色連續(xù)數(shù)字構(gòu)成）的概率；（2） 3張帶一對（3張數(shù)字相同、2張數(shù)字相同構(gòu)成）的概率；（3） 3張帶2散牌（3張數(shù)字相同、2張數(shù)字不同構(gòu)成）的概率。三、（10分）某安檢系統(tǒng)檢查時，非危險人物過安檢被誤認(rèn)為是危險人物的概率是0.02;而危險人物又被誤認(rèn)為非危險人物的概率是0.05。假設(shè)過關(guān)人中有 96%是非危險人物。問：（1）在被檢查后認(rèn)為是非危險人物而確實是非危險人物的概率？（2）如果要求對危險人物的檢出率超過0.999概率，至少需安設(shè)多少這樣的檢查關(guān)卡？四、(8分)隨機(jī)變量X服從N(N,tj2),

3、求Y = aX (a>0)的密度函數(shù)五、(12分)設(shè)隨機(jī)變量 X、Y的聯(lián)合分布律為:X-1012-2a000-10.14b0000.010.020.03010.120.130.140.15已知 E(X+Y)=0，求：(1)a, b; (2) X 的概率分布函數(shù)；(3) E(XY)。六、（10分）某學(xué)校北區(qū)食堂為提高服務(wù)質(zhì)量，要先對就餐率p進(jìn)行調(diào)查。 決定在某天中午，隨機(jī)地對用過午餐的同學(xué)進(jìn)行抽樣調(diào)查。設(shè)調(diào)查了 n個同學(xué)，其中在北區(qū)食堂用過餐的學(xué)生數(shù)為m,若要求以大于95%的概率保證調(diào)查所得的就餐頻率與p之間的誤差上下在 10%以內(nèi)，問n應(yīng)取多大？七、（10分）設(shè)二維隨機(jī)變量（X,Y）在區(qū)

4、域：0<x<a, 0<y< b上服從均勻分布。（1）(2)已知 DX =12,DY =36,求參數(shù) a、b; (3)求（X,Y）的聯(lián)合概率密度及邊緣概率密度； 判斷隨機(jī)變量X與Y是否相互獨立?八、（8分）證明：對連續(xù)型隨機(jī)變量 以如果E |1|3= c存在，則,>0 , P（|之|>t） 邛。九、（12分）設(shè)（X, Y）的密度函數(shù)為f(x,y)=Axy,00 ： x 二 1,0 ： y ：二 1其他tX sY.求(1)常數(shù) A; (2) P(X<0.4, Y<1.3) ; (3) Ee ; (4) EX, DX , Cov(X , Y)。十、(8

5、分)電視臺有一節(jié)目“幸運觀眾有獎答題”：有兩類題目，A類題答對一題獎勵1000元，B類題答對一題獎勵 500元。答錯無獎勵，并帶上前面得到的錢退出；答對后可繼續(xù)答題，并假設(shè)節(jié)目可無限進(jìn)行下去(有無限的題目與時間)，選擇A、B類型題目分別由拋均勻硬幣的正、反面決定。已知某觀眾A類題答對的概率都為 0.4,答錯的概率都為 0.6; B類題答對的概率都為0.6,答錯的概率都為 0.4。(1)求該觀眾答對題數(shù)的期望值。(2)求該觀眾得到獎勵金額的期望值。參考答案 一、，一、，一1 1,.一、(10分)假設(shè)一枚彈道導(dǎo)彈擊沉航空母艦的概率為-,擊傷的概率為 -,擊不中的321概率為1,并設(shè)擊傷兩次也會導(dǎo)致

6、航空母艦沉沒，求發(fā)射4枚彈道導(dǎo)彈能擊沉航空母6艦的概率？解：設(shè)A = 第i枚彈道導(dǎo)彈擊沉航空母艦 , Bi = 第i枚彈道導(dǎo)彈擊傷航空母艦Ci = 第i枚彈道導(dǎo)彈沒有擊中航空母艦, i=1, 2, 3, 4D= 發(fā)射4枚彈道導(dǎo)彈能擊沉航空母艦111P(A )=二，P(Bi 十二,P(Ci )=-, i = 1, 2, 3, 4326P D )：=P C1c2c3C4P B1c2c3C4PC1B2c3C4P C1C2B3C4P C1c2c3B413P D 1=1 -P D j>1 - - = 0.9964二、（12分）在某種牌賽中，5張牌為一組，其大小與出現(xiàn)的概率有關(guān)。一付 52張的牌（四

7、種花色：黑桃、紅心、方塊、梅花各 13張，即2-10、J、Q、K、A）,求（1）同花順（5張同一花色連續(xù)數(shù)字構(gòu)成）的概率;（2） 3張帶一對（3張數(shù)字相同、2張數(shù)字相同構(gòu)成）的概率;（3） 3張帶2散牌（3張數(shù)字相同、2張數(shù)字不同構(gòu)成）的概率。 解：（1） A= 同花順（5張同一花色連續(xù)數(shù)字構(gòu)成）4 (13-4)C2_ 36= _ 5C52（2） A= 3張帶一對（3張數(shù)字相同、2張數(shù)字相同構(gòu)成）1312C13c4c12c4C52（3） A= 3張帶2散牌（3張數(shù)字相同、2張數(shù)字不同構(gòu)成）1 3211C13c4c12c4c4C52三、（10分）某安檢系統(tǒng)檢查時，非危險人物過安檢被誤認(rèn)為是危險人

8、物的概率是0.02;而危險人物又被誤認(rèn)為非危險人物的概率是0.05。假設(shè)過關(guān)人中有 96%是非危險人物。問：（1）在被檢查后認(rèn)為是非危險人物而確實是非危險人物的概率？（2）如果要求對危險人物的檢出率超過0.999概率，至少需安設(shè)多少道這樣的檢查關(guān)卡？解：（1）設(shè)人=被查后認(rèn)為是非危險人物, B= 過關(guān)的人是非危險人物,則P A = PBPAB P B P AB = 0.96 0.98 0.04 0.05 = 0.9428,、P（B P（A|B）P（B A ）= = 0.998P（A）（2）設(shè)需要n道卡，每道檢查系統(tǒng)是相互獨立的，則Ci=第i關(guān)危險人物被誤認(rèn)為非危險人物, pLiCn = 0.0

9、5n，所以ln 0.0001ILln 0.0051=3.0745+1 = 4nln 0.0001 口1 -0.05 之 0.999 , n 之,即 n =ln 0.05四、（8分）隨機(jī)變量X服從N（N,。2）,求丫 = 2、舊>0的密度函數(shù)解：當(dāng) a=1 時，Y =1,則 FY(y )=，01當(dāng) 0 <a<1 時，當(dāng) y W0 時，F(xiàn)Y(y)=P(Y <y)=0, fY (y ) = dFdy-L 0 dy當(dāng) y >0 時，F(xiàn)Y(y )=P(aX <y )=P(Xina <in y)In y、''FY(y )=P X >- 1=1

10、 -P X <IIna JIIn y1 ：，In aUna JfY y =dFY ydy(yJ2In a 2C當(dāng) a>1時，當(dāng) yE0時，F(xiàn)Y(y 尸 P(Y <y)=0, fY(y )= dF"y)= 0dy當(dāng)y >0時,FY(y)=P(XM射'0由1 In a J ln a，(婦J2ln a-2p-1012-2a000-10.14b0000.010.020.03010.120.130.140.15dy yln a；【2二五、(12分)設(shè)隨機(jī)變量 X、Y的聯(lián)合分布律為:已知 E(X+Y)=0，求：(1)a, b; (2) X 的概率分布函數(shù)；(3)

11、E(XY)。 解：(1) E(X+Y)=-3a - 2 0.14 -b -1 0.01 1 0.03 1 0.13 2 0.14 3 0.15=-3a -b 0.6 =0a 0.14 b 0.01 0.02 0.03 0.12 0.13 0.14 0.15 = a b 0.74 =1聯(lián)立解得：a =0.17, b =0.09(2) X的概率分布函數(shù)：X-2-1010.170.230.060.54(3) E(XY) = 2乂0.17+1黑0.141父0.12+1黑0.14 + 2黑0.15 = 0.8六、(10分)某學(xué)校北區(qū)食堂為提高服務(wù)質(zhì)量，要先對就餐率p進(jìn)行調(diào)查。決定在某天中午,隨機(jī)地對用過

12、午餐的同學(xué)進(jìn)行抽樣調(diào)查。設(shè)調(diào)查了 n個同學(xué)，其中在北區(qū)食堂用過餐的學(xué)生數(shù)為m,若要求以大于95%的概率保證調(diào)查所得的就餐頻率與p之間的誤差上下在 10%以內(nèi)，問n應(yīng)取多大？mppp解:Pm_p <0.1?之 0.95,因n. N(0,1)Jn,(pc-p),n0.1 " u 0.975 p 1 - p= 1.96n >（19.6 f p0 - p ）;因為 p（1 p ）E1/4 ,取 n 之（19.6 f /4=96.04 即 n = 97七、（10分）設(shè)二維隨機(jī)變量（X,Y）在區(qū)域：Gcxca, 0<y <b上服從均勻分布。（1）求（X,Y）的聯(lián)合概率密度

13、及邊緣概率密度；（2）已知DX =12,DY =36,求參數(shù)a、b; （3）判斷隨機(jī)變量X與Y是否相互獨立？解：（1）二維隨機(jī)變量（X,Y）的聯(lián)合概率密度:f(x, y) =«1/ab,0 : x :二 a,0 二 y :二 bothers邊緣概率密度：fx（X）=«7/a, .0，0cx < a others JY(y)= 1/ b, 0 < y < b、0, others DX =(1/12)a2 =12,DY =(1/12)b2 =36, a=12,b=12收（3）隨機(jī)變量X與丫相互獨立，因為f（x, y）= fX（x）fY（y）八、(8分)證明：如

14、果E|"3 = c存在，則P(| |>t) <3-Ixl3Ixl3E I I3解：P(| | t) = dF(x) ； "dF(x)三.WdF(x)=- |x| t|x| t t|x| 0 tt九、(12分)設(shè)(X, Y)的密度函數(shù)為Axy, 0<x<1,0<y<1f(x，y) = ：0其他ct3求(1)常數(shù) A; (2) P(X<0.4 , Y<1.3) ; (3) EetX +丫；(4) EX, DX , Cov(X , Y)。1解：(1) f f (x, y)dxdy=二二,二二0(沁ydy：dx=? = 1, A= 4

15、x = 0.160.4(2) P(X<0.4, Y<1.3)=(3) EetX 新etx 由y4xydy dxtx e4xsy 1ye-;tesydy dxs=4 -s11=0.02st t(4) EX4x ydy dx = - , EXj.&ydy dx = 22DX = EX2214- EX =2一99，e(xy)=10 941 2 24x2y2Cov X,Y = EXY - EX EY2 2c 03 3十、（8分）電視臺有一節(jié)目“幸運觀眾有獎答題”：有兩類題目，A類題答對一題獎勵1000元，B類題答對一題獎勵 500元。答錯無獎勵，并帶上前面得到的錢退出；答對后可繼續(xù)答，選擇A、B類型題目分別由拋硬題，并假設(shè)節(jié)目可無限進(jìn)行下去（有無限的題目與時間） 幣的正、反面決定。已知某觀眾A類題答對的概率都為0.4,答錯的概率都為0.6; B類題答對的概率都為 0.6,答錯的概率都為 0.4。（1）求該觀眾答對題數(shù)的期望值。（2）求該觀眾得到獎勵金額的期望值。解：（1）設(shè)亡表示該觀眾答對題數(shù)，0 =0,1,2，則第$1次解答答錯（即首次出錯） 答對一題的概率為P（答對題）=P（答對A題選擇A題P（選擇A題片P（答對B題選擇B題P選擇B題） =0.4 0.5 0.6 0.5 =0.5答錯一題的概率為0.5所以