中考專題待定系數(shù)法應(yīng)用

1、中考專題之：待定系數(shù)法在數(shù)學(xué)問題中，若得知所求結(jié)果具有某種確定的形式，則可設(shè)定一些尚待確定的系數(shù)(或參數(shù))來表示這樣的結(jié)果，這些待確定的系數(shù)(或參數(shù))，稱作待定系數(shù)。然后根據(jù)已知條件，選用恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ瑏泶_定這些系數(shù)，這種解決問題的方法叫待定系數(shù)法。待定系數(shù)法是數(shù)學(xué)中的基本方法之一。它滲透于初中數(shù)學(xué)教材的各個(gè)部分，在中考中有著廣泛應(yīng)用。應(yīng)用待定系數(shù)法解題以多項(xiàng)式的恒等知識(shí)為理論基礎(chǔ)，通常有三種方法：比較系數(shù)法；代入特殊值法；消除待定系數(shù)法。比較系數(shù)法通過比較等式兩端項(xiàng)的系數(shù)而得到方程（組），從而使問題獲解。例如：“已知x2-3=（1-A）·x2BxC，求A，B，C的值”，解答此題，并不

2、困難，只需將右式與左式的多項(xiàng)式中對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)加以比較后，就可得到A，B，C的值。這里的A，B，C就是有待于確定的系數(shù)。代入特殊值法通過代入特殊值而得到方程（組），從而使問題獲解。例如：“點(diǎn)（2，3）在正比例函數(shù)圖象上，求此正比例函數(shù)”，解答此題，只需設(shè)定正比例函數(shù)為y=kx，將（2，3）代入即可得到k的值，從而求得正比例函數(shù)解析式。這里的k就是有待于確定的系數(shù)。消除待定系數(shù)法通過設(shè)定待定參數(shù)，把相關(guān)變量用它表示，代入所求，從而使問題獲解。例如：“已知，求的值”，解答此題，只需設(shè)定，則，代入即可求解。這里的k就是消除的待定參數(shù)。 應(yīng)用待定系數(shù)法解題的一般步驟是：（1）確定所求問題的待定系數(shù)，建立

3、條件與結(jié)果含有待定的系數(shù)的恒等式；（2）根據(jù)恒等式列出含有待定的系數(shù)的方程（組）；（3）解方程（組）或消去待定系數(shù)，從而使問題得到解決。在初中階段和中考中應(yīng)用待定系數(shù)法解題常常使用在代數(shù)式變型、分式求值、因式分解、求函數(shù)解析式、求解規(guī)律性問題、幾何問題等方面。下面通過中考的實(shí)例探討其應(yīng)用。一.待定系數(shù)法在代數(shù)式變型中的應(yīng)用：在應(yīng)用待定系數(shù)法解有關(guān)代數(shù)式變型的問題中，根據(jù)右式與左式多項(xiàng)式中對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等的原理列出方程（組），解出方程（組）即可求得答案。典型例題：例：若是完全平方式，則=【 】A9 B9C±9D±3 練習(xí)題：1.已知x216xk是完全平方式，則常數(shù)k等于【 】

4、A64 B48 C32 D162.二次三項(xiàng)式x2kx+9是一個(gè)完全平方式，則k的值是 。3.將代數(shù)式化成的形式為【 】 A. B. C. D.二.待定系數(shù)法在分式求值中的應(yīng)用：在一類分式求值問題中，已知一比例式求另一分式的值，可設(shè)定待定參數(shù)，把相關(guān)變量用它表示，代入所求分式，從而使問題獲解。典型例題：例：已知，則的值是【 】A B C D練習(xí)題：1. 已知，求代數(shù)式的值。2. 若，則= 。三.待定系數(shù)法在因式分解中的應(yīng)用：在因式分解問題中，除正常應(yīng)用提取公因式法、應(yīng)用公式法、十字相乘法、分組分解法等解題外還可應(yīng)用待定系數(shù)法求解，特別對(duì)于三項(xiàng)以上多項(xiàng)式的分解有很大作用（如：x36x2+11x6，

5、目前這類考題很少，但不失為一種有效的解題方法）。典型例題：例1：分解因式： 。注：本題實(shí)際用十字相乘法解題更容易，但作為一種解法介紹于此。例2：分解因式： 。練習(xí)題：1. 分解因式： = 。2. 分解因式：x34x212x= 。3. 分解因式： 。四.待定系數(shù)法在求函數(shù)解析式中的應(yīng)用：待定系數(shù)法是解決求函數(shù)解析式問題的常用方法，求函數(shù)解析式是初中階段待定系數(shù)法的一個(gè)主要用途。確定直線或曲線方程就是要確定方程中x的系數(shù)與常數(shù)，我們常常先設(shè)它們?yōu)槲粗獢?shù)，根據(jù)點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程的關(guān)系，將已知的條件代入方程，求出待定的系數(shù)與常數(shù)。這是平面解析幾何的重要內(nèi)容，是求曲線方程的有效方法。初中階段主

6、要有正比例函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)這幾類函數(shù)，前面三種分別可設(shè)y=kx，y=kx+b，的形式(其中k、b為待定系數(shù)，且k0)。而二次函數(shù)可以根據(jù)題目所給條件的不同，設(shè)成一般式y(tǒng)=ax2+bx+c(a、b、c為待定系數(shù))，頂點(diǎn)式y(tǒng)=a (xh) 2+k(a、k、h為待定系數(shù))，交點(diǎn)式y(tǒng)=a (xx1)(xx2)( a 、x1、x2為待定系數(shù))三類形式。根據(jù)題意(可以是語句形式，也可以是圖象形式)，確定出a、b、c、k、x1、x2等待定系數(shù)，求出函數(shù)解析式。典型例題：例1：無論a取什么實(shí)數(shù)，點(diǎn)P(a1，2a3)都在直線l上，Q(m，n)是直線l上的點(diǎn)，則(2mn3)2的值等于 例2：如

7、圖，直線AB與x軸交于點(diǎn)A（1，0），與y軸交于點(diǎn)B（0，2）（1）求直線AB的解析式；（2）若直線AB上的點(diǎn)C在第一象限，且SBOC=2，求點(diǎn)C的坐標(biāo)例3：游泳池常需進(jìn)行換水清洗，圖中的折線表示的是游泳池?fù)Q水清洗過程“排水清洗灌水”中水量y（m3）與時(shí)間t（min）之間的函數(shù)關(guān)系式（1）根據(jù)圖中提供的信息，求整個(gè)換水清洗過程水量y（m3）與時(shí)間t（min）的函數(shù)解析式；（2）問：排水、清洗、灌水各花多少時(shí)間？例4：如圖，拋物線yx2bxc與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)E在拋物線上，點(diǎn)F在x軸上，四邊形OCEF為矩形，且OF2，EF3，(1)求拋物

8、線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；(2)求ABD的面積；(3)將AOC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)G，問點(diǎn)G是否在該拋物線上？請(qǐng)說明理由練習(xí)題：1. 某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，當(dāng)生產(chǎn)數(shù)量至少為10噸，但不超過50噸時(shí)，每噸的成本y（萬元/噸）與生產(chǎn)數(shù)量x（噸）的函數(shù)關(guān)系式如圖所示（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；（2）當(dāng)生產(chǎn)這種產(chǎn)品的總成本為280萬元時(shí)，求該產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量（注：總成本=每噸的成本×生產(chǎn)數(shù)量）2. 如圖，一次函數(shù)的圖象分別與軸、軸交于點(diǎn)A、B，以線段AB為邊在第一象限內(nèi)作等腰RtABC，BAC=90°求過B、C兩點(diǎn)直線的解析式5. 如圖，頂點(diǎn)

9、坐標(biāo)為(2，1)的拋物線yax2bxc(a0)與y軸交于點(diǎn)C(0，3)，與x軸交于A、B兩點(diǎn)(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與直線BC交于點(diǎn)D，連接AC、AD，求ACD的面積；(3)點(diǎn)E為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作y軸的平行線EF，與拋物線交于點(diǎn)F問是否存在點(diǎn)E，使得以D、E、F為頂點(diǎn)的三角形與BCO相似？若存在，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由五.待定系數(shù)法在求解規(guī)律性問題中的應(yīng)用： 近幾年中考數(shù)學(xué)中常會(huì)出現(xiàn)一種尋找規(guī)律的題型，其中有一類實(shí)際是高中數(shù)學(xué)中的等差數(shù)列或二階等差數(shù)列，由于初中沒有學(xué)習(xí)它們的通項(xiàng)公式和遞推法求二階等差數(shù)列的通項(xiàng)，因此中考學(xué)生在確定數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)有一定的

10、困難。對(duì)于等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 (其中a1為首項(xiàng)，d為公差，n為正整數(shù))，若將n看成自變量， an看成函數(shù)，則an是關(guān)于n的一次函數(shù)；若一列數(shù)a1,a2,an滿足 (其中k,b為常數(shù))，則這列數(shù)是二階等差數(shù)列，即每一后項(xiàng)減去前項(xiàng)得到一新的數(shù)列，這一新數(shù)列是等差數(shù)列。它的通項(xiàng)是關(guān)于n的二次函數(shù)。前面，我們講過用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，由于數(shù)列是特殊的函數(shù)，因此我們可以用待定系數(shù)法來確定等差數(shù)列和二階等差數(shù)列的通項(xiàng)。典型例題：例1：2008年北京成功舉辦了一屆舉世矚目的奧運(yùn)會(huì)，今年的奧運(yùn)會(huì)將在英國倫敦舉行，奧運(yùn)會(huì)的年份與屆數(shù)如下表所示：年份1896190019042012屆數(shù)123n表中n的值等于

11、 例2：如圖，是由形狀相同的正六邊形和正三角形鑲嵌而成的一組有規(guī)律的圖案，則第n個(gè)圖案中陰影小三角形的個(gè)數(shù)是 例3：1，3，7，13，的第五個(gè)數(shù)應(yīng)是 練習(xí)題：1. 問題情境：用同樣大小的黑色棋子按如圖所示的規(guī)律擺放，則第2012個(gè)圖共有多少枚棋子？2.按照如圖所示的方法排列黑色小正方形地磚，則第14個(gè)圖案中黑色小正方形地磚的塊數(shù)是 .3.下圖是在正方形網(wǎng)格中按規(guī)律填成的陰影，根據(jù)此規(guī)律，則第n個(gè)圖中陰影部分小正方形的個(gè)數(shù)是 4.觀察下列一組圖形：它們是按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律，第n個(gè)圖形中共有 個(gè)5.用同樣大小的黑色棋子按如圖所示的規(guī)律擺放：（1）第5個(gè)圖形有多少黑色棋子？（2）第幾個(gè)圖形

12、有2013顆黑色棋子？請(qǐng)說明理由六.待定系數(shù)法在幾何問題中的應(yīng)用： 在幾何問題中，常有一些比例問題（如相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，平行線截線段成比例，銳角三角函數(shù)等），對(duì)于這類問題應(yīng)用消除待定系數(shù)法，通過設(shè)定待定參數(shù)，把相關(guān)變量用它表示，代入所求，從而使問題獲解。典型例題：例1：如圖，菱形紙片ABCD中，A=600，將紙片折疊，點(diǎn)A、D分別落在A、D處，且AD經(jīng)過B，EF為折痕，當(dāng)DFCD時(shí)，的值為【 】A. B. C. D. 例2：如圖，將矩形ABCD沿CE折疊，點(diǎn)B恰好落在邊AD的F處，如果，那么tanDCF的值是例3：如圖，定義：在直角三角形ABC中，銳角的鄰邊與對(duì)邊的比叫做角的余切，記作c

13、tan，即ctan=，根據(jù)上述角的余切定義，解下列問題：（1）ctan30°= ；（2）如圖，已知tanA=，其中A為銳角，試求ctanA的值例4：等邊ABC的邊長為2，P是BC邊上的任一點(diǎn)（與B、C不重合），連接AP，以AP為邊向兩側(cè)作等邊APD和等邊APE，分別與邊AB、AC交于點(diǎn)M、N（如圖1）。（1）求證：AM=AN；（2）設(shè)BP=x。若，BM=，求x的值；記四邊形ADPE與ABC重疊部分的面積為S，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式以及S的最小值；連接DE，分別與邊AB、AC交于點(diǎn)G、H（如圖2），當(dāng)x取何值時(shí)，BAD=150？并判斷此時(shí)以DG、GH、HE這三條線段為邊構(gòu)成的三角形是什么特殊三角形，請(qǐng)說明理由。練習(xí)題：1. 小明在學(xué)習(xí)“銳角三角函數(shù)”中發(fā)現(xiàn)，將如圖所示的矩形紙片ABCD沿過點(diǎn)B的直線折疊，使點(diǎn)A落在BC上的點(diǎn)E處，還原后，再沿過點(diǎn)E的直線折疊，使點(diǎn)A落在BC上的點(diǎn)F處，這樣就可以求出67.5°角的正切值是【 】A1 B1 C2.5 D2. 如圖，在矩形ABCD中，ADAB，將矩形ABCD折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，折痕為MN，連結(jié)CN若CDN的面